Polygon

Ein Polygon ist eine ebene Form (zweidimensional) mit geraden Seiten. Beispiele sind Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke usw.

Normal

A „Normales Polygon „hat: alle Seiten gleich und alle Winkel gleich. Andernfalls ist es unregelmäßig.

Normales Pentagon Unregelmäßiges Pentagon

Hier sehen wir uns nur reguläre Polygone an.

Eigenschaften

Worüber können wir also Bescheid wissen? regelmäßige Polygone? Zunächst können wir Winkel berechnen.

Außenwinkel Der Außenwinkel ist der Winkel zwischen einer beliebigen Seite einer Form und einer Linie, die von der nächsten Seite ausgeht.

Alle Außenwinkel eines Polygons addieren sich zu 360 °, also:

Jeder Außenwinkel muss 360 ° / n betragen.

(wobei n die Anzahl der Seiten ist)

Drücken Sie die Wiedergabetaste, um zu sehen.

Innenwinkel Der Innenraum Ang Datei und Außenwinkel werden von derselben Linie aus gemessen, sodass sie sich zu 180 ° addieren.

Innenwinkel = 180 ° – Außenwinkel

Wir kennen den Außenwinkel = 360 ° / n, also:

Innenwinkel = 180 ° – 360 ° / n

Und nun zu einigen Namen:

„Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …“

Klingt ziemlich musikalisch, wenn Sie es einige Male wiederholen, aber es sind nur die Namen der „äußeren“ und „inneren“ „Kreise (und jeder Radius), die auf einem Polygon wie folgt gezeichnet werden können:

Der „äußere“ Kreis wird als Kreis bezeichnet und verbindet alle Eckpunkte (Eckpunkte) des Polygons.

Der Radius des Kreises ist auch der Radius des Polygons.

Der „innere“ Kreis wird als Kreis bezeichnet und berührt nur jede Seite des Polygons in seiner Mitte.

Der Radius des Kreises ist das Apothem des Polygons.

(Nicht alle Polygone haben diese Eigenschaften, Dreiecke und reguläre Polygone jedoch.)

Aufbrechen in T. Dreiecke

Wir können viel über reguläre Polygone lernen, indem wir sie in Dreiecke wie z dies:

Beachten Sie Folgendes:

• Die „Basis“ des Dreiecks ist eine Seite des Polygons.
• die „Höhe“ des Dreiecks ist das „Apothem“ des Polygons

Nun ist die Fläche eines Dreiecks die Hälfte der Basis mal Höhe, also:

Fläche eines Dreiecks = Basis × Höhe / 2 = Seite × Apothem / 2

Um die Fläche des gesamten Polygons zu erhalten, addieren Sie einfach die Flächen aller kleinen Dreiecke („n“ davon):

Fläche des Polygons = n × Seite × Apothem / 2

Und da der Umfang alle Seiten = n × Seite ist, erhalten wir:

Fläche des Polygons = Umfang × Apothem / 2

Ein kleineres Dreieck

Durch Halbieren des Dreiecks erhalten wir Folgendes:

( Hinweis: Die Winkel sind im Bogenmaß und nicht in Grad angegeben.

Das kleine Dreieck ist rechtwinklig, sodass wir Sinus, Cosinus und Tangens für fi verwenden können Und wie die Seite, der Radius, das Apothem und n (Anzahl der Seiten) zusammenhängen:

Es gibt viel mehr Beziehungen wie diese (die meisten von ihnen sind nur „Neuanordnungen“), aber diese reichen aus jetzt.

Weitere Flächenformeln

Damit können wir die Fläche berechnen, wenn wir nur das Apothem kennen:

Und es gibt 2 solcher Dreiecke pro Seite, oder 2n für das gesamte Polygon:

Fläche des Polygons = n × Apothem2 × tan (π / n)

Wenn wir das Apothem nicht kennen, können wir dieselbe Formel verwenden aber überarbeitet für Radius oder für Seite:

Fläche des Polygons = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)

Fläche des Polygons = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

Eine Wertetabelle

Und hier ist eine Tabelle von Seite, Apothem und Fläche im Vergleich zu einem Radius von „1“ unter Verwendung der Formeln we habe ausgearbeitet: