Sandsynlighedsfordeling

Materiale og fotoner er bølger, hvilket antyder, at de er spredt ud over en vis afstand. Hvad er positionen for en partikel, såsom en elektron? Er det i centrum af bølgen? Svaret ligger i, hvordan du måler en elektrons position. Eksperimenter viser, at du finder elektronen på et bestemt sted i modsætning til en bølge. Men hvis du indstiller nøjagtig den samme situation og måler den igen, vil du finde elektronen et andet sted, ofte langt uden for enhver eksperimentel usikkerhed i din måling. Gentagne målinger viser en statistisk fordeling af placeringer, der virker bølgelignende. (Se figur 1.)

Efter at de Broglie foreslog bølgernes natur, var der mange fysikere, herunder Schrödinger og Heisenberg, udforskede konsekvenserne. Tanken kom hurtigt frem, at en partikels bane og destination på grund af sin bølgekarakter ikke kan forudsiges præcist for hver partikel individuelt. Imidlertid går hver partikel til et bestemt sted (som illustreret i figur 1). Efter at have samlet nok data får du en distribution relateret til partikelens bølgelængde og diffraktionsmønster. Der er en vis sandsynlighed for at finde partiklen på et givet sted, og det samlede mønster kaldes en sandsynlighedsfordeling. De, der udviklede kvantemekanik, udtænkte ligninger, der forudsagde sandsynlighedsfordelingen under forskellige omstændigheder.

Det er noget foruroligende at tro, at du ikke kan forudsige nøjagtigt, hvor en individuel partikel vil hen, eller endda følge den til sin destination. Lad os undersøge, hvad der sker, hvis vi prøver at følge en partikel. Overvej de dobbeltslidsmønstre, der er opnået for elektroner og fotoner i figur 2. Først bemærker vi, at disse mønstre er identiske efter d sin θ = mλ, ligningen for dobbeltslids konstruktiv interferens udviklet i fotonenergier og det elektromagnetiske spektrum, hvor d er spalteseparationen, og λ er elektron- eller fotonbølgelængden.

Begge mønstre opbygges statistisk, når individuelle partikler falder på detektoren. Dette kan observeres for fotoner eller elektroner – lad os nu koncentrere os om elektroner. Du kan forestille dig, at elektronerne forstyrrer hinanden, som enhver bølge gør. For at teste dette kan du sænke intensiteten, indtil der aldrig er mere end en elektron mellem spalterne og skærmen. Det samme interferensmønster opbygges! Dette indebærer, at en partikels sandsynlighedsfordeling spænder over begge spalter, og at partiklerne faktisk interfererer med sig selv. Betyder dette også, at elektronen går gennem begge spalter? En elektron er en grundlæggende enhed af stof, der ikke kan deles. Men det er et retfærdigt spørgsmål, og derfor skal vi se på, om elektronen krydser den ene spalte eller den anden eller begge dele. En mulighed er at have spoler omkring spalterne, der registrerer ladninger, der bevæger sig gennem dem. Hvad der observeres er, at en elektron altid går gennem den ene spalte eller den anden; det deler sig ikke for at gå gennem begge dele. Men der er en fangst. Hvis du bestemmer, at elektronen gik gennem en af spalterne, får du ikke længere et dobbelt spaltemønster – i stedet får du interferens med en enkelt spalte. Der er ingen flugt ved at bruge en anden metode til at bestemme, hvilken spalte elektronen gik igennem. At vide, at partiklen gik gennem en spalte, tvinger et mønster med en enkelt spalte. Hvis du ikke observerer, hvilken spalte elektronen går igennem, opnår du et dobbelt spaltemønster.

Heisenberg Usikkerhed

Hvordan ændrer det sig at vide, hvilken spalte elektronen passerer igennem? Svaret er grundlæggende vigtigt – måling påvirker det system, der observeres. Information kan gå tabt, og i nogle tilfælde er det umuligt at måle to fysiske størrelser samtidigt til nøjagtig præcision. For eksempel kan du måle placeringen af en bevægende elektron ved at sprede lys eller andre elektroner fra den.Disse sonder har momentum selv, og ved at sprede sig fra elektronen ændrer de dens momentum på en måde, der mister information. Der er en grænse for absolut viden, selv i princippet.

Det var Werner Heisenberg, der først erklærede denne grænse for viden i 1929 som et resultat af hans arbejde med kvantemekanik og bølgefunktioner for alle partikler . (Se figur 3). Overvej specifikt samtidig at måle positionen og momentet for en elektron (det kan være en hvilken som helst partikel). Der er en usikkerhed i position Δx, der er omtrent lig med bølgelængden af partiklen. Det vil sige Δx ≈ λ.

Som beskrevet ovenfor er en bølge ikke placeret et sted i rummet. Hvis elektronens position måles gentagne gange, vil en spredning i placeringer blive observeret, hvilket indebærer en usikkerhed i position Δx. For at detektere partikelens position skal vi interagere med den, f.eks. At have den kollideret med en detektor. Ved kollisionen mister partiklen momentum. Denne ændring i momentum kan være hvor som helst fra tæt på nul til partikelens samlede momentum, p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Det er ikke muligt at fortælle, hvor meget momentum der vil blive overført til en detektor, og så er der også en usikkerhed i momentum Δp. Usikkerheden i momentum kan faktisk være så stor som selve momentumet, hvilket i ligningsform betyder, at \ Delta {p} \ approx \ frac {h} {\ lambda} \\.

Usikkerheden i position kan reduceres ved anvendelse af en elektron med kortere bølgelængder, da Δx ≈ λ. Men ved at forkorte bølgelængden øges usikkerheden i momentum, da p = \ frac {h} {\ lambda} \\. Omvendt kan usikkerheden i momentum reduceres ved hjælp af en elektron med længere bølgelængde, men dette øger usikkerheden i position. Matematisk kan du udtrykke denne kompromis ved at gange usikkerheden. Bølgelængden annulleres og efterlader ΔxΔp ≈ h.

Så hvis den ene usikkerhed reduceres, skal den anden øges, så deres produkt er ≈h.

Dette er kendt som Heisenberg usikkerhedsprincippet . Det er umuligt at måle position x og momentum p samtidigt med usikkerhed Δx og Δp, der multipliceres til at være mindre end \ frac {h} {4 \ pi} \\. Hverken usikkerhed kan være nul. Hverken usikkerhed kan blive lille uden at den anden bliver stor. En lille bølgelængde tillader nøjagtig positionsmåling, men det øger sondens momentum til det punkt, at det yderligere forstyrrer momentet i et system, der måles. For eksempel, hvis en elektron er spredt fra et atom og har en bølgelængde, der er lille nok til at detektere elektronernes position i atomet, kan dens momentum banke elektronerne fra deres baner på en måde, der mister information om deres oprindelige bevægelse. Det er derfor umuligt at følge en elektron i sin bane omkring et atom. Hvis du måler elektronens position, finder du den et bestemt sted, men atomet vil blive forstyrret. Gentagne målinger på identiske atomer vil producere interessante sandsynlighedsfordelinger for elektroner rundt om atomet, men de producerer ikke bevægelsesinformation. Sandsynlighedsfordelingerne kaldes elektronskyer eller orbitaler. Formerne på disse orbitaler vises ofte i generelle kemitekster og diskuteres i The Wave Nature of Matter Causes Quantization.

Hvorfor bemærker vi ikke Heisenbergs usikkerhedsprincip i hverdagen? Svaret er, at Plancks konstant er meget lille. Således er den nedre grænse i usikkerheden ved måling af store genstanders position og momentum ubetydelig. Vi kan registrere sollys reflekteret fra Jupiter og følge planeten i sin bane omkring Solen. Det reflekterede sollys ændrer Jupiters momentum og skaber en usikkerhed i dens momentum, men dette er totalt ubetydeligt sammenlignet med Jupiters enorme momentum. Korrespondanceprincippet fortæller os, at forudsigelser af kvantemekanik ikke kan skelnes fra klassisk fysik for store objekter, hvilket er tilfældet her.

Heisenberg Usikkerhed for energi og tid

Der er en anden form af Heisenbergs usikkerhedsprincip for samtidige målinger af energi og tid. I ligningsform, \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, hvor ΔE er usikkerheden i energi og Δt er usikkerheden i tiden.Dette betyder, at det inden for et tidsinterval Δt ikke er muligt at måle energi nøjagtigt – der vil være en usikkerhed ΔE i målingen. For at måle energi mere præcist (for at gøre ΔE mindre) skal vi øge Δt. Dette tidsinterval kan være den tid, vi tager at foretage målingen, eller det kan være den tid, en bestemt tilstand eksisterer, som i det næste eksempel 2.

Usikkerhedsprincippet for energi og tid kan have stor betydning, hvis et systems levetid er meget kort. Derefter er Δt meget lille, og ΔE er derfor meget stor. Nogle kerner og eksotiske partikler har ekstremt korte levetider (så små som 10-25 s), hvilket medfører usikkerhed i energi så stor som mange GeV (109 eV). Lagret energi fremstår som øget hvilemasse, og det betyder, at der er betydelig usikkerhed i hvilemassen for kortvarige partikler. Ved gentagne målinger opnås en spredning af masser eller henfaldsenergier. Spredningen er ΔE. Du kan spørge, om denne usikkerhed i energi kunne undgås ved ikke at måle levetiden. Svaret er nej. Naturen kender levetiden, og dets kortfattethed påvirker partikelens energi. Dette er så veletableret eksperimentelt, at usikkerheden i henfaldsenergi bruges til at beregne levetiden for kortvarige tilstande. Nogle kerner og partikler er så kortvarige, at det er svært at måle deres levetid. Men hvis deres henfaldsenergi kan måles, er dens spredning ΔE, og dette bruges i usikkerhedsprincippet \ left (\ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \ right) \\ for at beregne levetiden Δt.

Der er en anden konsekvens af usikkerhedsprincippet for energi og tid. Hvis energi er usikker af ΔE, kan bevarelse af energi overtrædes af ΔE i en tid Δt. Hverken fysikeren eller naturen kan fortælle, at energibesparelsen er blevet krænket, hvis overtrædelsen er midlertidig og mindre end usikkerheden i energi. Selvom dette lyder uskyldigt nok, skal vi se i senere kapitler, at det tillader midlertidig skabelse af stof fra ingenting og har konsekvenser for, hvordan naturen transmitterer kræfter over meget små afstande.

Bemærk endelig, at i diskussionen om partikler og bølger, har vi erklæret, at individuelle målinger giver præcise eller partikellignende resultater. En bestemt position bestemmes hver gang vi f.eks. Observerer en elektron. Men gentagne målinger producerer et spredning i værdier, der er i overensstemmelse med bølgeegenskaber. Den store teoretiske fysiker Richard Feynman (1918–1988) kommenterede: “Hvad der er, er partikler.” Når du observerer nok af dem, fordeler de sig, som du ville forvente for et bølgefænomen. Men hvad der er, når de rejser, kan vi ikke fortælle, fordi når vi prøver at måle, påvirker vi rejsen.

Sektionssammendrag

• Materiale viser sig at have de samme interferensegenskaber som enhver anden bølge.
• Der er nu en sandsynlighedsfordeling for placeringen af en partikel snarere end en bestemt position.
• En anden konsekvens af bølgekarakteren for alle partikler er Heisenberg usikkerhedsprincippet, som begrænser den præcision, hvormed visse fysiske størrelser kan kendes samtidigt. For position og momentum er usikkerhedsprincippet \ Delta { x} \ Delta {p} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\, hvor Δx er usikkerheden i position, og Δp er usikkerheden i momentum.
• For energi og tid er usikkerhedsprincippet er \ Delta {E} \ Delta {t} \ ge \ frac {h} {4 \ pi} \\ hvorΔE er usikkerheden i energi, ogΔt er usikkerheden i tiden.
• Disse små grænser er grundlæggende vigtige på kvantemekanisk skala.

Ordliste

Heisenbergs usikkerhedsprincip: en grundlæggende grænse for præcisionen med hvilke størrelsespar (momentum og position og energi og tid) kan måles

usikkerhed i energi: mangel på præcision eller manglende viden om præcise resultater i målinger af energi

usikkerhed i tid: mangel på præcision eller manglende viden om præcise resultater i målinger af tid

usikkerhed i momentum: mangel på præcision eller manglende viden om præcise resultater i målinger af momentum

usikkerhed i position: mangel på præcision eller manglende viden om præcise resultater i målinger af position

sandsynlighedsfordeling: den samlede rumlige fordeling af sandsynligheder for at finde en partikel på et givet sted