polygon

En polygon er en plan form (to-dimensionel) med lige sider. Eksempler inkluderer trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter og så videre.

Regelmæssig

A “Almindelig polygon “har: alle sider ens og alle vinkler ens. Ellers er det uregelmæssigt.

Normal Pentagon Uregelmæssig Pentagon

Her ser vi kun på almindelige polygoner.

Egenskaber

Så hvad kan vi vide om regelmæssige polygoner? Først og fremmest kan vi udarbejde vinkler.

Udvendig vinkel Den udvendige vinkel er vinklen mellem en hvilken som helst side af en form, og en linje udvidet fra den næste side.

Alle polygonens udvendige vinkler tilføjes op til 360 °, så:

Hver udvendige vinkel skal være 360 ° / n

(hvor n er antallet af sider)

Tryk på afspil-knappen for at se.

Indvendige vinkler Interiøret Ang le og udvendige vinkler måles fra samme linje, så de føjes op til 180 °.

Indvendig vinkel = 180 ° – udvendig vinkel

Vi kender den udvendige vinkel = 360 ° / n, så:

indvendig vinkel = 180 ° – 360 ° / n

Og nu for nogle navne:

“Circumcircle, Incircle, Radius and Apothem …”

Lyder ret musikalsk, hvis du gentager det et par gange, men de er bare navnene på det “ydre” og “indre “cirkler (og hver radius), der kan tegnes på en polygon som denne:

Den “udvendige” cirkel kaldes en omkreds, og den forbinder alle hjørner (hjørnepunkter) på polygonen.

Radius af omkredsen er også polygonens radius.

Den “indvendige” cirkel kaldes en cirkel, og den berører bare hver side af polygonen ved dens midtpunkt.

Radius af cirklen er polygonens apotem.

(Ikke alle polygoner har disse egenskaber, men trekanter og regelmæssige polygoner har det.)

Bryder ind i T riangler

Vi kan lære meget om regelmæssige polygoner ved at opdele dem i trekanter som dette:

Bemærk, at:

• “base” af trekanten er den ene side af polygonen.
• trekanten “højde” er “Apothem” for polygonen

Nu er arealet af en trekant halvdelen af basis gange højde, så:

Areal af en trekant = base × højde / 2 = side × apotem / 2

For at få arealet af hele polygonen skal du bare tilføje områderne for alle de små trekanter (“n” af dem):

Areal af polygon = n × side × apothem / 2

Og da omkredsen er alle siderne = n × side, får vi:

Areal af polygon = perimeter × apothem / 2

En mindre trekant

Ved at skære trekanten i halve får vi dette:

( Bemærk: Vinklerne er i radianer, ikke grader)

Den lille trekant er vinkelret, så vi kan bruge sinus, cosinus og tangens til fi og hvordan side, radius, apotem og n (antal sider) hænger sammen:

Der er meget flere relationer som dem (de fleste af dem er bare “omarrangementer”), men de vil gøre for nu.

Flere områdeformler

Vi kan bruge det til at beregne arealet, når vi kun kender Apotemet:

Og der er 2 sådanne trekanter pr. side, eller 2n for hele polygonen:

Areal af polygon = n × Apothem2 × tan (π / n)

Når vi ikke kender Apothem, kan vi bruge den samme formel men genbearbejdet til Radius eller til Side:

Polygonareal = ½ × n × Radius2 × sin (2 × π / n)

Polygonareal = ¼ × n × Side2 / tan (π / n)

En tabel over værdier

Og her er en tabel over Side, Apothem og Areal sammenlignet med en radius på “1” ved hjælp af formlerne vi har regnet ud: