Části a Parabola

Graf kvadratické funkce je parabola a jeho části poskytují cenné informace o funkci.

Připomeňme, že kvadratická funkce má tvar

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

kde a, b a c jsou konstanty a a \ neq 0.

graf kvadratické funkce je křivka ve tvaru U, která se nazývá parabola. Tento tvar je uveden níže.

Vlastnosti Parabolas

Paraboly mají několik rozpoznatelných vlastností, které charakterizují jejich tvar a umístění v kartézské rovině.

Vrchol

Jednou z důležitých vlastností paraboly je, že má extrémní bod, který se nazývá vrchol. Pokud se parabola otevře, vrchol představuje nejnižší bod v grafu nebo minimální hodnotu kvadratické funkce. Pokud se parabola otevře dolů, vrchol představuje nejvyšší bod v grafu nebo maximální hodnotu. V obou případech je vrchol bodem obratu v grafu.

Osa symetrie

Paraboly mají také osu symetrie, která je rovnoběžná s osou y. Osa symetrie je svislá čára vedená vrcholem.

Průsečík y

Průsečík y je bod, ve kterém parabola protíná osu y. Pro graf kvadratické funkce nemůže být více než jeden takový bod. Pokud by existovala, křivka by nebyla funkcí, protože by byly dvě hodnoty y pro jednu hodnotu x, na nule.

Zachycení x

Připomeňme, že pokud je kvadratická funkce nastavena na nulu, výsledkem bude kvadratická rovnice. Řešení rovnice se nazývá kořeny funkce. Jedná se o stejné kořeny, které lze pozorovat jako x-průniky paraboly.

Grafická interpretace kvadratických řešení

Kořeny kvadratické funkce lze najít algebraicky nebo graficky.

Připomeňme si, jak jsou kořeny kvadratických funkce lze najít algebraicky pomocí kvadratického vzorce (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Kořeny kvadratické funkce lze také najít graficky pomocí pozorování jejího grafu. Jedná se o dvě různé metody, kterými lze dosáhnout stejných hodnot, a nyní uvidíme, jak spolu souvisejí.

Zvažte kvadratickou funkci, která je uvedena níže. Vyřešíme jeho kořeny graficky i algebraicky.

Nyní vyřešíme kořeny f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraicky pomocí kvadratického vzorce.

Připomeňme, že kvadratická rovnice nastaví kvadratický výraz na nulu místo f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

Náhradník tyto hodnoty v kvadratickém vzorci:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}

Zjednodušení, máme:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

a

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Nyní máme dvě možné hodnoty pro x: \ frac {1 + 3} {2} a \ frac {1- 3} {2}.

Příklad

Najděte kořeny kvadratické funkce f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Řešte graficky a algebraicky.

Při pohledu na graf funkce si všimneme, že neprotíná osu x. Proto nemá žádné skutečné kořeny.

Když je dosadíme do kvadratického vzorce, máme:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Zjednodušení, máme:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Všimněte si, že ve vzorci máme \ sqrt {-4}, což je není skutečné číslo. Proto pro danou kvadratickou funkci neexistují žádné skutečné kořeny. Dospěli jsme ke stejnému závěru, ke kterému jsme dospěli graficky.

Grafování kvadratických rovnic ve vrcholné formě

Vrcholová forma kvadratické funkce umožňuje její vrchol snadno najít.

Kvadratické rovnice může mít různé formy. Standardní formulář jste již viděli:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

Další běžný formulář se nazývá vertex form, protože když a kvadratický je napsán v této formě, je velmi snadné zjistit, kde se nachází jeho vrchol. Vrcholový tvar je dán vztahem:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Převod z vrcholového formuláře na standardní formulář

Pokud chcete převést kvadratickou ve vrcholné formě na jednu ve standardní formě, jednoduše vynásobte druhou mocninu a zkombinujte jako termíny. Například kvadratický

y = (x-2) ^ 2 + 1

Lze jej přepsat následovně:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Převod ze standardního formuláře na vrcholný formát

Je obtížnější převést ze standardní formy na vrcholnou formu. Proces se nazývá „dokončení čtverce.“

Převod Když a = 1

Toto číslo potom sčítáme i odečítáme takto:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Převod, když \ neq 1

Převést standardní formulář na vrchol je trochu komplikovanější, když koeficient a není rovno 1. Můžeme stále použít tuto techniku, ale musíme dát pozor, abychom nejprve vyřadili a jako v následujícím příkladu:

Uvažujme y = 2x ^ 2 + 12x + 5. 2 z prvních dvou termínů, psaní jako:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Poté můžeme výpočet dokončit následujícím způsobem:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Takže vrchol této paraboly je (-3, -13).

Grafy kvadratických rovnic ve standardní formě

Kvadratická funkce je polynomiální funkce ve tvaru y = ax ^ 2 + bx + c.

Kvadratická funkce ve tvaru

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

je ve standardní formě.

Bez ohledu na formát je grafem kvadratické funkce parabola.

Koeficienty a grafy kvadratické funkce

Každý koeficient v kvadratické funkci ve standardní formě má vliv na tvar a umístění grafu funkce.

Koeficient x ^ 2, a

Koeficient a řídí rychlost nárůstu (nebo snížení) kvadratické funkce z vrcholu. Větší kladné a zvyšuje funkci rychleji a graf vypadá tenčí.

Osa symetrie

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Vrchol má také x souřadnici 1.

Průsečík y Paraboly