Komórki jednostkowe

Komórki jednostkowe: najprostsza powtarzająca się jednostka w krysztale

Strukturę ciał stałych można opisać tak, jakby były trójwymiarowymi analogami kawałka tapety. Tapeta ma regularny powtarzalny wzór, który rozciąga się od jednej krawędzi do drugiej. Kryształy mają podobny powtarzalny wzór, ale w tym przypadku wzór rozciąga się w trzech wymiarach od jednej krawędzi bryły do drugiej.

Możemy jednoznacznie opisać kawałek tapety, określając rozmiar, kształt i zawartość prosta jednostka powtarzalna w projekcie. Możemy opisać trójwymiarowy kryształ, określając rozmiar, kształt i zawartość najprostszej powtarzającej się jednostki oraz sposób, w jaki te powtarzające się jednostki tworzą kryształ.

Najprostsza powtarzająca się jednostka w krysztale nazywa się unitcell. Każda komórka elementarna jest zdefiniowana w kategoriach punktów sieci, punktów w przestrzeni, wokół których cząstki mogą swobodnie wibrować w krysztale.

Struktury komórki elementarnej dla różnych soli pokazanych poniżej.

W 1850 roku Auguste Bravais wykazał, że kryształy można podzielić na 14 komórek elementarnych, które spełniają następujące kryteria.

• Komórka elementarna jest najprostszą powtarzającą się jednostką w krysztale.
• Przeciwległe ściany komórka elementarna jest równoległa.
• Krawędź komórki elementarnej łączy równoważne punkty.

14 komórek elementarnych Bravais pokazano na poniższym rysunku.

Te komórki elementarne dzielą się na siedem kategorii, które różnią się trzema długościami krawędzi komórek elementarnych (a, b i c ) i trzy kąty wewnętrzne (a, � ig), jak pokazano w poniższej tabeli.

Siedem kategorii komórek jednostkowych Bravais

Skoncentrujemy się na kategorii sześciennej, która obejmuje trzy rodzaje komórek elementarnych prostokąta sześcienna, sześcienna wyśrodkowana na ciało i wyśrodkowana na powierzchni sześciennej pokazano na rysunku poniżej.

Te komórki elementarne są ważne z dwóch powodów. Po pierwsze, pewna liczba metali, jonowych ciał stałych i związków międzymetalicznych krystalizuje w sześciennych komórkach elementarnych. Po drugie, stosunkowo łatwo jest wykonać obliczenia z tymi komórkami elementarnymi, ponieważ wszystkie długości krawędzi komórek są takie same, a wszystkie kąty komórek wynoszą 90.

Prosta sześcienna komórka elementarna jest najprostszą powtarzającą się jednostką w prostej strukturze sześciennej . Każdy róg komórki elementarnej jest określony przez punkt sieciowy, w którym w krysztale można znaleźć atom, jon lub cząsteczkę. Zgodnie z konwencją, krawędź komórki elementarnej zawsze łączy równoważne punkty. Dlatego każdy z ośmiu rogów komórki elementarnej musi zawierać identyczną cząstkę. Inne cząstki mogą być obecne na krawędziach lub powierzchniach komórki elementarnej lub w ciele komórki elementarnej. Ale minimum, które musi być obecne, aby komórka elementarna mogła zostać sklasyfikowana jako proste sześcienne cząstki równoważne w ośmiu rogach.

Sześcienna komórka centralna na ciało jest najprostszą powtarzającą się jednostką w strukturze sześciennej centrowanej na ciało. Ponownie, w ośmiu rogach komórki jednostkowej znajduje się osiem identycznych cząstek. Jednak tym razem w środku ciała komórki elementarnej znajduje się dziewiąta identyczna cząstka.

Sześcienna komórka sześcienna centrowana na twarzy również zaczyna się od identycznych cząstek w ośmiu rogach sześcianu. Ale ta struktura zawiera również te same cząstki w środkach sześciu ścian komórki elementarnej, co daje w sumie 14 identycznych punktów siatki.

Sześcienna komórka jednostkowa centrowana na ścianie jest najprostszą powtarzającą się jednostką w sześciennej strukturze najbliżej upakowanej. W rzeczywistości obecność centrowanych na powierzchni komórek sześciennych jednostek sześciennych w tej strukturze wyjaśnia, dlaczego struktura ta jest znana jako sześcienny najbliższy upakowany.

Komórki jednostkowe: Wykres trójwymiarowy

Krata punktów w sześcienną komórkę elementarną można opisać w postaci trójwymiarowego wykresu. Ponieważ wszystkie trzy długości krawędzi komórki są takie same w sześciennej komórce elementarnej, nie ma znaczenia, czy kąt jest używany dla a, b i caxes. Ze względu na argument, zdefiniujemy oś a jako oś pionową naszego układ współrzędnych, jak pokazano na poniższym rysunku.

Oś b będzie następnie opisywać ruch w poprzek przedniej części komórki elementarnej, a oś c będzie reprezentować ruch w kierunku tyłu komórka elementarna. Ponadto dowolnie zdefiniujemy lewy dolny róg komórki elementarnej jako początek (0,0,0). Współrzędne 1,0,0 wskazują punkt siatki znajdujący się w odległości jednej krawędzi komórki od początku wzdłuż osi. Podobnie 0,1,0 i 0,0,1 reprezentują punkty sieci, które są przesunięte o jedną długość krawędzi komórki od początku wzdłuż osi c pasma.

Myślenie o komórce elementarnej jako o trójce -wymiarowy graf pozwala nam opisać strukturę kryształu za pomocą niezwykle małej ilości informacji, na przykład strukturę chlorku cezu możemy określić za pomocą zaledwie czterech informacji.

Ponieważ krawędź ogniwa musi łączyć równoważne punkty sieci, obecność jonu Cl- w jednym rogu komórki jednokomórkowej (0,0,0) implikuje obecność jonu Cl- w każdym rogu komórki . Współrzędne 1 / 2,1 / 2,1 / 2 opisują alattice punkt w środku komórki. Ponieważ w komórce elementarnej nie ma innego punktu oddalonego o jedną długość krawędzi komórki od tych współrzędnych, jest to jedyny jon Cs + w komórce. CsCl jest zatem prostą sześcienną komórką elementarną zawierającą jony Cl z Cs + w środku komórki.

Komórki elementarne: NaCl i ZnS

NaCl powinien krystalizować w sześcienny, najbliżej upakowany układ jonów Cl z jonami Na + w oktaedrycznych otworach między płaszczyznami jonów Cl-. Możemy przełożyć te informacje na model komórki elementarnej dla NaCl, pamiętając, że centrowana na powierzchni sześcienna komórka elementarna jest najprostszą powtarzającą się jednostką w strukturze akubicznej najbliżej upakowanej.

Poniższy rysunek pokazuje, że istnieje ośmiościenna dziura w środku centralnej sześciennej komórki elementarnej, na współrzędnych 1 / 2,1 / 2,1 / 2. Każda cząstka w tym miejscu dotyka cząstek w środkach sześciu ścian komórki elementarnej.

Inne ośmiościenne otwory w centralnej sześciennej jednostce cellare na krawędziach komórki, jak pokazano na rysunku poniżej.

Jeśli jony Cl- zajmują punkty kratowe centralnej sześciennej komórki elementarnej i wszystkie ośmiościenne otwory są wypełnione jonami Na +, otrzymamy komórkę elementarną pokazaną na poniższym rysunku.

Możemy zatem opisać strukturę NaCl za pomocą następujących informacji.

Umieszczenie jonu Cl- w tych czterech pozycjach oznacza obecność Cl- jon na każdym z 14 punktów kratowych, które definiują jednostkę sześcienną centrowaną na powierzchni. Umieszczenie jonu Na + w środku komórki elementarnej (1 / 2,1 / 2,1 / 2) i na trzech unikalnych krawędziach komórki elementarnej (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 ; oraz 0,0,1 / 2) wymaga równoważnego jonu Na + w każdym oktaedrycznym otworze w komórce elementarnej.

ZnS krystalizuje jako sześcienny najbliżej upakowany układ jonów S2 z jonami Zn2 + w otworach czworościennych. Jony S2 w tym krysztale zajmują te same pozycje co jony Cl w NaCl. Jedyną różnicą między tymi kryształami jest lokalizacja jonów dodatnich. Poniższy rysunek pokazuje, że czworościenne otwory w centralnej sześciennej komórce elementarnej znajdują się w rogach komórki elementarnej, o współrzędnych takich jak 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Anatom o tych współrzędnych dotknąłby atomu w tym rogu, jak również atomów w środkach trzech ścian, które tworzą ten narożnik. Chociaż trudno to zobaczyć bez trójwymiarowego modelu, cztery atomy otaczające tę dziurę są ułożone w rogach czworościanu.

Ponieważ narożniki sześciennej komórki elementarnej są identyczne, w każdym z ośmiu rogów sześciennej komórki elementarnej musi znajdować się czworościenny otwór. Jeśli jony S2- zajmują punkty kratowe centralnej sześciennej komórki elementarnej, a jony Zn2 + są upakowane w co drugim czworościennym otworze, otrzymujemy komórkę jednostkową ZnS pokazaną na poniższym rysunku.

Strukturę ZnS można zatem opisać następująco.

Zauważ, że tylko połowa czworościennych otworów jest zajęta w tym krysztale, ponieważ są dwa czworościenne dziury dla każdego jonu S2 w najbliższym upakowanym układzie tych jonów.

Komórki jednostkowe: pomiar odległości między cząstkami

Nikiel jest jednym z metali, które krystalizują w najbliższej sześciennej Struktura. Jeśli weźmie się pod uwagę, że atom niklu ma masę tylko 9,75 x 10-23 gi promień jonowy tylko 1,24 x 10-10 m, to niezwykłe osiągnięcie jest w stanie opisać strukturę tego metalu. Oczywistym pytaniem jest: Skąd wiemy, że paczki niklu mają strukturę o największej sześciennym upakowaniu?

Jedynym sposobem określenia struktury materii w skali atomowej jest użycie sondy, która jest jeszcze mniejsza. Jedną z najbardziej przydatnych sond do badania materii w tej skali jest promieniowanie elektromagnetyczne.

W 1912 roku Max van Laue odkrył, że promienie rentgenowskie, które uderzały w powierzchnię kryształu, były uginane we wzory, które przypominały wzory powstające, gdy światło przechodzi przez bardzo wąskie oświetlenie. Wkrótce potem William Lawrence Bragg, który właśnie kończył studia licencjackie z fizyki w Cambridge, wyjaśnił wyniki van Laue za pomocą równania znanego jako Braggequation, które pozwala nam obliczyć odległość między płaszczyznami atomów w krysztale na podstawie wzoru dyfrakcji x – promienie o znanej długości fali.

n = 2d sin T

Wzór, według którego promienie rentgenowskie są ugięte przez nikiel sugeruje, że ten metal pakuje się w sześcienną komórkę elementarną z odległością między płaszczyznami atomów 0,3524 nm. Zatem długość krawędzi komórki w tym krysztale musi wynosić 0,3524 nm. Nie wystarczy wiedzieć, że nikkel krystalizuje w sześciennej komórce elementarnej.Nadal musimy zdecydować, czy jest to prosta sześcienna komórka sześcienna, centrowana na ciało, czy sześcienna centrowana na twarz. Można to zrobić mierząc gęstość metalu.

Komórki elementarne: określenie komórki elementarnej kryształu

Atomy na rogach, krawędziach i powierzchniach komórki elementarnej powiększone o więcej niż jedna komórka elementarna, jak pokazano na poniższym rysunku. Atom na powierzchni jest wspólny dla dwóch komórek elementarnych, więc tylko połowa atomu należy do każdej z tych komórek. Atom na krawędzi jest podzielony przez cztery komórki elementarne, a atom na rogu jest podzielony przez osiem komórek elementarnych. Zatem tylko jedna czwarta atomu na krawędzi i jedna ósma atomu na rogu może być przypisana do każdej komórki elementarnej, która ma te same atomy.

Gdyby nikiel skrystalizował się w prostej sześciennej komórce elementarnej, atom niklu znajdowałby się na Każdy z ośmiu rogów komórki. Ponieważ tylko jedna ósma tych atomów może być przypisana do danej komórki jednostkowej, każda komórka elementarna w prostej strukturze sześciennej miałaby jeden atom niklu netto.

Prosta struktura sześcienna

8 rogów x 1/8 = 1 atom

Gdyby nikiel utworzył sześcienną strukturę skupioną na ciele, na komórkę jednostkową przypadałyby dwa atomy, ponieważ atom niklu w środku ciała nie byłyby współdzielone z żadnymi innymi komórkami jednostkowymi.

Struktura sześcienna z centrum ciała:

(8 rogów x 1/8) + 1 ciało = 2 atomy

Gdyby nikiel krystalizował w strukturze sześciennej centrowanej na twarz, sześć atomów na ścianach komórki elementarnej dałoby trzy atomy niklu, w sumie cztery atomy na komórkę elementarną.

Struktura sześcienna centrowana na powierzchni:

(8 rogów x 1/8) + (6 ścian x 1/2) = 4 atomy

Ponieważ mają różną liczbę atomów w komórce elementarnej, każda z tych struktur miałaby inną gęstość. Niech więc „obliczyć gęstość niklu na podstawie każdej ze struktur i długość krawędzi komórki elementarnej dla niklu podaną w poprzedniej sekcji: 0,3524 nm. Aby to zrobić, musimy znać objętość komórki elementarnej w centymetrach sześciennych i masę pojedynczego atomu niklu.

Objętość (V) komórki elementarnej jest równa długości krawędzi komórki (a) do kostki.

V = a3 = (0,3524nm) 3 = 0,04376 nm3

Ponieważ metr ma 109 nm, a amperomierz 100 cm, cm musi mieć 107 nm.

Możemy zatem przeliczyć objętość komórki elementarnej na cm3 w następujący sposób.

Masa atomu niklu można obliczyć z masy atomowej tego metalu i liczby Avogadro.

Gęstość niklu, gdyby krystalizował w prostej strukturze sześciennej, miałby zatem 2,23 g / cm3, do cyfr trzy znaczących.

Prosta struktura sześcienna:

Ponieważ byłoby dwa razy więcej atomów w komórce elementarnej ifnickel krystalizowanych w strukturze sześciennej skoncentrowanej na ciele, gęstość niklu w tej strukturze byłaby dwukrotnie większa.

Struktura sześcienna z centrum ciała:

W strukturze sześciennej skoncentrowanej na twarzy byłyby cztery atomy na komórkę, a gęstość niklu w tej strukturze wynosiłaby cztery razy większa.

Struktura sześcienna skupiona na twarzy:

Eksperymentalna wartość gęstości niklu wynosi 8,90 g / cm3. Oczywistym wnioskiem jest to, że nikiel krystalizuje w centralnej sześciennej komórce elementarnej, a zatem ma najbliższą sześcienną -pakowana struktura.

Komórki jednostkowe: obliczanie promienia metalicznego lub jonowego

Można znaleźć oszacowania promieni większości atomów metali. Skąd pochodzą te dane? Skąd wiemy, na przykład, że teradius atomu niklu wynosi 0,1246 nm?

Nikiel krystalizuje w centralnej sześciennej komórce elementarnej o długości bez krawędzi równej 0,3524 nm, aby obliczyć promień atomu niklu .

Na poniższym rysunku pokazano jedną z ścian sześciennej komórki jednostkowej centrowanej na ścianie.

Zgodnie z tym rysunkiem przekątna w poprzek powierzchni tej komórki jednostkowej jest równa czterokrotności promienia atomu niklu .

Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że przekątna w poprzek trójkąta prostokątnego jest równa sumie kwadratów pozostałych boków. Przekątna wzdłuż powierzchni komórki elementarnej jest zatem powiązana z długością krawędzi komórki elementarnej za pomocą następującego równania.

Biorąc pierwiastek kwadratowy z obu stron daje następujący wynik.

Teraz podstawimy do tego równania zależność między przekątną na powierzchni ta komórka elementarna i promień atomu niklu:

Znalezienie promienia atomu niklu daje wartość 0,1246 nm:

Podobne podejście można zastosować do oszacowania rozmiaru anionu.Zacznijmy od obliczenia odległości między środkami jonów Cs + i Cl- w CsCl na podstawie faktu, że długość krawędzi komórki chlorku incesium wynosi 0,4123 nm. Jony Cl-z jonem Cs + w środku ciała komórki, jak pokazano na poniższym rysunku.

Wcześniej możemy obliczyć odległość między środkami jonów Cs + i Cl- w tym krysztale, jednak musimy uznać słuszność jednego z najprostszych założeń dotyczących jonowych ciał stałych: dodatnie i ujemne jony, które tworzą te kryształy, stykają się.

Możemy zatem założyć, że przekątna w poprzek ciała komórki elementarnej CsCl jest równoważna sumie promieni dwóch jonów Cl- i dwóch jonów Cs +.

Trójwymiarowy odpowiednik twierdzenia Pitagorasa sugeruje, że kwadrat przekątnej w poprzek ciała sześcianu jest sumą kwadratów trzech boków.

Biorąc pierwiastek kwadratowy z obu stron tego równania, otrzymujemy następujący wynik.

Jeśli długość krawędzi komórki w CsCl wynosi 0,4123 nm, przekątna ciała w tej komórce elementarnej wynosi 0,7141 nm.

Suma promieni jonowych jonów Cs + i Cl- jest równa połowie tej odległości, czyli 0,3571 nm.

Gdybyśmy mieli oszacowanie rozmiaru jonu Cs + lub Cl-, moglibyśmy wykorzystać wyniki do obliczyć thermadius drugiego jonu. Promień jonowy jonu Cl wynosi 0,181 nm. Podstawienie tej wartości do ostatniego równania daje wartość 0,176 nm dla promienia jonu Cs +.

Wyniki tego obliczenia są w rozsądnej zgodności ze znaną wartością 0,169 nm dla promienia jonu Cs +. Rozbieżność między tymi wartościami odzwierciedla fakt, że promienie tationowe różnią się w zależności od kryształu. Wartości tabelaryczne są średnimi z wyników szeregu obliczeń tego typu.