Egységsejtek

Egységcellák: A legegyszerűbb ismétlődő egység egy kristályban

A szilárd anyagok szerkezete leírható, mintha egy háttérkép háromdimenziós analógjai. A háttérképnek rendszeresen ismétlődő kialakítása van, amely egyik szélétől a másikig terjed. A kristályok hasonló ismétlődő kialakításúak, de ebben az esetben a kialakítás három dimenzióban terjed ki a szilárd anyag egyik szélétől a másikig.

Egyértelműen leírhatunk egy háttérképdarabot, meghatározva a kép méretét, alakját és tartalmát. egyszerű ismétlődő egység a kivitelben. A háromdimenziós kristályt úgy írhatjuk le, hogy meghatározzuk a legegyszerűbb ismétlődő egység méretét, alakját és tartalmát, valamint azt, ahogyan ezek az ismétlődő egységek egymásra rakják a kristályt.

A kristály legegyszerűbb ismétlődő egységét unitcellának hívjuk. Minden egységcellát a térben lévő rácspontok alapján határozunk meg, amelyek körül a részecskék szabadon rezeghetnek egy kristályban.

Az alábbiakban a különféle sók egységcellájának szerkezete látható.

1850-ben Auguste Bravais megmutatta, hogy a kristályok 14 egység cellába oszthatók, amelyek megfelelnek a következő kritériumoknak.

• Az egységsejt a legegyszerűbben ismétlődő egység a kristályban.
• az egységcella párhuzamos.
• Az egységcella éle egyenértékű pontokat köt össze.

A 14 Bravais-egységcellát az alábbi ábra mutatja.

Ezek az egységcellák hét kategóriába sorolhatók, amelyek különböznek a három egységcellás élhossztól (a, b és c ) és három belső szöget (a, � és g), az alábbi táblázat szerint.

A Bravais egységcellák hét kategóriája

A köbös kategóriára koncentrálunk, amely magában foglalja az egységsejtek három típusa az egyszerű ábra, a testközpontú köbös és az arccentrikus köbök látható az alábbi ábrán.

Ezek az egységcellák két okból is fontosak. Először számos fém, ionos szilárd anyag és fémközi vegyület kristályosodik ki köbös egységsejtekben. Másodszor, ezekkel az egységcellákkal viszonylag könnyű elvégezni a számításokat, mert a sejtek élhossza megegyezik, és a sejtek szöge egyaránt 90.

Az egyszerű köbös egységcella a legegyszerűbb ismétlődő egység egy egyszerű köbstruktúrában . Az egységsejt minden sarkát egy rácspont határozza meg, amelyen atom, ion vagy molekula található a kristályban. Megállapodás szerint az egység széle cellálisan összeköti az egyenértékű pontokat. Az egységcella mind a nyolc sarkának azonos részecskét kell tartalmaznia. Más részecskék lehetnek az egységcella szélén vagy felületén, vagy az egységcella testén belül. De az a minimum, amelynek az egységcellának meg kell lennie ahhoz, hogy a nyolc sarokban egyszerű köbméter-egyenértékű részecskékké minősüljön.

A testközpontú köbös egységsejt az egyszerűbb ismétlődő egység egy testközpontú köbstruktúrában. Ismét nyolc egységnyi részecske van az egység cellájának nyolc sarkán. Ezúttal azonban az egységsejt testének középpontjában egy kilencedik azonos részecske található.

Az arcközpontú köbös egységsejt azonosító részecskékkel is indul a kocka nyolc sarkában. De ez a szerkezet ugyanazt a részecskét is tartalmazza az egységsejt hat oldalának közepén, összesen 14 azonos rácspontot.

Az arccentrikus köbös egységcella a legegyszerűbb ismétlődő egység egy köbös legközelebbi csomagolású szerkezetben. Valójában az arccentrált köbös egység cellák jelenléte ebben a struktúrában megmagyarázza, hogy miért ismerjük a szerkezetet köbös legközelebbi csomagolásúként.

Egységcellák: ATháromdimenziós grafikon

A rácspontok egy köbös egységcellát leírhatunk egy háromdimenziós gráf közbeiktatásával. Mivel egy köbös egység cellában mindhárom cella élhossz megegyezik, nem számít, hogy az a, b és a caxok esetében a whatorientációt használják. Az érvelés érdekében meghatározzuk a tengelyünket a függőleges tengelyünkkel. koordináta-rendszer, amint az az alábbi ábrán látható.

Ezután a b tengely leírja az egységcella elülső részén történő mozgást, a c tengely pedig a az egységcella. Ezenkívül az egységcella bal alsó sarkát önkényesen definiáljuk kiindulópontként (0,0,0). Az 1,0,0 koordináták azt a rácspontot jelzik, amely az aaxis mentén egy cellasejt hosszúságú az origótól. Hasonlóképpen, a 0,1,0 és a 0,0,1 olyan rácspontokat képvisel, amelyeket egy cella él szélességgel eltolnak az origótól a c sáv tengelye mentén.

Az egységcellára mint háromra gondolva -dimenziós grafikon segítségével feltűnően kis mennyiségű információval írhatjuk le a kristály szerkezetét. Például a cézium-klorid szerkezetét csak négy információval adhatjuk meg.

Mivel a cella élének ekvivalens rácspontokat kell összekapcsolnia, a Cl-ion jelenléte az egység cellájának egyik sarkában (0,0,0) azt jelenti, hogy a cella minden sarkában van egy Cl-ion. . Az 1 / 2,1 / 2,1 / 2 koordináták a cella közepén található alatta lévő pontot írják le. Mivel az egységcellában nincs még egy pont, amely egy cellahossz-távolságra lenne ezektől a koordinátáktól, ez az egyetlen Cs + ion a cellában. A CsCl tehát a Cl-ionok egyszerű köbös egységsejtje, amelynek Cs + -ja a sejt testének közepén található.

Egységsejtek: NaCl és ZnS

A NaCl-nak egy köbös legközelebbi csomagolt Cl-ion tömb Na + ionokkal a Cl- ionok síkjai közötti oktaéderes lyukakban. Ezt az információt lefordíthatjuk a NaCl egység-cellamodelljébe, emlékezetünkbe véve, hogy a felület-központú köbös egységcella a legegyszerűbb ismétlődő egység az acubic legközelebbi csomagolású struktúrájában.

Az alábbi ábra azt mutatja, hogy oktaéderes lyuk van egy arcközpontú köbös egység cellájának központjában, az 1 / 2,1 / 2,1 / 2 koordinátákon. Ezen a ponton bármely részecske megérinti a részecskéket az egységsejt hat oldalának középpontjában.

A többi oktaéderes lyuk egy arccentírozott köbös egység cellában a cella szélén, az ábra szerint alább.

Ha Cl-ionok foglalják el egy felület-központú köbös egység sejt rácspontjait, és az összes oktaéder lyuk Na + ionokkal van kitöltve, akkor az alábbi ábrán látható egységcellát kapjuk meg. d7d48861e1 “>

Ezért leírhatjuk a NaCl szerkezetét a következő információk alapján.

A Cl-ion elhelyezése ebben a négy helyzetben azt jelenti, hogy a Cl ion mind a 14 rácsponton, amelyek egy arccentrikus köbös egységet határoznak meg. Na + ion elhelyezése az egységcella közepén (1 / 2,1 / 2,1 / 2) és az egységcella három egyedi szélén (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 és 0,0,1 / 2) ekvivalens Na + -ionra van szükség az egységsejt minden oktaéderlyukában.

A ZnS az S2-ionok köbös legközelebbi csomagolt tömbjeként kristályosodik Zn2 + -ionokkal tetraéderes lyukakban. Az ebben a kristályban található S2-ionok ugyanazokat a pozíciókat foglalják el, mint a NaCl-ban levő Cl-ionok. Az egyetlen különbség e kristályok között a pozitív ionok elhelyezkedése. Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a tetraéderes lyukak egy arccentrikus köbös egységcellában az egység cellájának sarkain vannak, olyan koordinátákon, mint 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Ezekkel a koordinátákkal rendelkező anatom megérintené a sarokban lévő atomot, valamint a három sarokban található atomokat. Noha ezt nem lehet szabadon dimenziós modell nélkül meglátni, az ezt a máglyát körülvevő négy atom egy tetraéder sarka felé rendeződik.

Mivel a köbös egységcellák sarkai megegyeznek, tetraéderes lyuknak kell lenniük a felülettel központosított köbös egységcellák nyolc sarkában. Ha az S2-ionok egy arccentrikus köbös egység cellájának rácspontjait foglalják el, és a Zn2 + ionok minden más tetraéderes lyukba be vannak csomagolva, akkor az alábbi ábrán látható ZnS egységcellát kapjuk.

A ZnS felépítése ezért a következőképpen írható le. lyukak minden S2-ionhoz ezen ionok legközelebbi csomagolású tömbjében. szerkezet. Ha belegondolunk, hogy egy nikkel atom tömege csak 9,75 x 10-23 g, az ionsugara pedig csak 1,24 x 10-10 m, figyelemre méltó eredmény, hogy le tudjuk írni ennek a fémnek a szerkezetét. A nyilvánvaló kérdés a következő: Honnan tudjuk, hogy a nikkel köbméterben a legközelebbi csomagolású?

Az anyagszerkezet meghatározásának egyetlen módja az atomskálán az, ha még kisebb szondát használ. Az anyag ilyen mértékű tanulmányozásának egyik legelterjedtebb próbája az elektromágneses sugárzás.

1912-ben Max van Laue megállapította, hogy a kristály felületét eltaláló röntgensugarak olyan mintákká oszlanak meg, amelyek hasonlítanak a fény áthaladásakor keletkező mintákra. nagyon keskeny. Röviddel ezután William Lawrence Bragg, aki éppen a Cambridge-i fizikai diplomát szerezte meg, elmagyarázta van Laue eredményeit egy Braggequation néven ismert egyenlettel, amely lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámoljuk a kristályban lévő atomok síkjainak távolságát az diffrakciós mintázat alapján. ismert hullámhosszú sugarak.

n = 2d sin T

Az a minta, amellyel a röntgensugár diffrakciója nikkelfémekkel jár, arra utal, hogy ez a fém egy köbméter egységnyi cellába pakol, amelynek távolsága 0,3524 nm az atomsíkok között. Ezért a kristály héjhosszának 0,3524 nm-nek kell lennie. Nem elég tudni, hogy a nikkel köbös egységcellában kristályosodik.Még mindig el kell döntenünk, hogy ez egy egyszerű köbös, testközpontú köbös, vagy arccentrikus köbös egységcella. Ezt meg lehet tenni a fém sűrűségének mérésével.

Egységsejtek: A kristály egységsejtjének meghatározása

Az egységsejt sarkaiban, szélén és felületein lévő atomok többen osztoznak mint egy egységsejt, amint azt az alábbi ábra mutatja. Egy arc atomját két egységsejt osztja meg, így az atomnak csak a fele tartozik ezekhez a sejtekhez. A szélén lévő atomot négy egységcella osztja meg, a sarkon lévő atomot pedig nyolc egységcella osztja meg. Így csak egy szegély atomjának egynegyede, a sarokban lévő atom nyolcad része rendelhető hozzá mindegyik egység cellához, amelyek megosztják ezeket az atomokat.

Ha a nikkel egyszerű köbös egységcellában kristályosodik, akkor nikkelatom lesz A cella mind a nyolc sarka. Mivel ezeknek az atomoknak csak egy nyolcadát lehet hozzárendelni egy adott egység cellához, az egyszerű köbös szerkezetű egységcellák mindegyikének nettó nikkelatomja lenne.

Egyszerű köbös szerkezet:

8 sarok x 1/8 = 1 atom

Ha a nikkel testközpontú köbstruktúrát képezne, egységegységenként két atom lenne, mert a test közepén lévő nikkelatom nem lesz megosztva más egységcellákkal.

Testközpontú köbös szerkezet:

(8 sarok x 1/8) + 1 törzs = 2 atom

Ha a nikkel egy arcközpontú köbstruktúrában kristályosodik, akkor az egységcella felszínén elhelyezkedő hat atom hozzájárul a threenet-nikkel atomokhoz, egységenként összesen négy atomra.

Arcközpontú köbös szerkezet:

(8 sarok x 1/8) + (6 oldal x 1/2) = 4 atom

Mivel az egységcellában különböző számú atom található, ezeknek a struktúráknak mindegyikének más és más a sűrűsége. Számítsuk ki “, ezért számítsuk ki a nikkel sűrűségét az előző szakaszban megadottak szerint és a nikkel egységsejt-élének hossza alapján: 0,3524 nm. Ehhez tudnunk kell az egységsejt köbcentiméterben kifejezett tömegét és tömegét. egyetlen nikkel atom.

Az egységcella térfogata (V) megegyezik a cellaszél hosszúságával (a).

V = a3 = (0,3524nm) 3 = 0,04376 nm3

Mivel egy méterben 109 nm, az améterben 100 cm van, cm-nek 107 nm-nek kell lennie.

Ezért az egységcella térfogatát cm3as alakúra alakíthatjuk át.

A tömeg nikkelatom értéke kiszámítható ennek a fémnek az atomtömegéből és az Avogadro számából.

A nikkel sűrűsége, ha egyszerű köbstruktúrában kristályosodna, akkor ez 2,23 g / cm3 lenne, három jelentős számra.

Egyszerű köbös szerkezet:

Mivel az egységsejtben kétszer annyi atom lenne, ha a nikkel test-központú köbstruktúrában kristályosodna, a nikkel tömege ebben a struktúrában kétszer akkora lenne.

Test-központú köbös szerkezet:

Négy atom lenne egységenkénti cellában egy arccentrikus köbös struktúrában, és a nikkel sűrűsége ebben a struktúrában négy lenne akkora.

Arcközpontú köbös szerkezet:

A nikkel sűrűségének kísérleti értéke 8,90 g / cm3. Nyilvánvaló következtetés az, hogy a nikkel felület-központú köbös egységcellában kristályosodik, és ezért köbös legközelebbi csomagolt felépítés.

Egységsejtek: A fém- vagy az ionos sugarak kiszámítása

A legtöbb fématom sugárbecslése megtalálható. Honnan származnak ezek az adatok? Honnan tudhatjuk például, hogy a nikkel atom terádiuma 0,1246 nm? .

Az arconcentrált köbös egységcella egyik arca az alábbi ábrán látható.

E ábra szerint az egységsejt átlója megegyezik a nikkel atom sugarának négyszeresével .

A Pitagorasz-tétel szerint a derékszögű háromszög átlója megegyezik a többi oldal négyzetének összegével. Az egységcella felületének átlóját a következő egyenlet ennek megfelelően viszonyítja az egységcella élének hosszához.

mindkét oldal négyzetgyöke a következõ eredményt adja.

Ebbe az egyenletbe most beillesztjük az átló közötti viszonyt. ez az egységcella és a nikkelatom sugara:

A nikkelatom sugarának megoldása 0,1246 értéket ad nm:

Hasonló megközelítés alkalmazható az anion méretének becsléséhez is.Kezdjük azzal, hogy a sejt szélének hossza az inkézium-klorid értéke 0,4123 nm, hogy kiszámítsuk a Cs + és Cl- ionok középpontjai közötti távolságot az inCsCl-ban.

A CsCl kristályosodik egy egyszerű köbös Cl-ionok, a Cs + ionnal a sejt testének közepén, az alábbi ábra szerint.

Előtte kiszámíthatjuk a kristály Cs + és Cl- középpontjai közötti távolságot, ugyanakkor fel kell ismernünk az ionos szilárd anyagokkal kapcsolatos egyik legegyszerűbb feltételezés érvényességét: A pozitív és negatív ionokat, amelyek ezekből a kristályokból összeérnek.

Feltételezhetjük tehát, hogy a CsCl egységcella testének átlója egyenértékű kétCl- és két Cs + ion sugarának összegével.

A Pitagorasz-tétel háromdimenziós megfelelője azt sugallja, hogy az átló négyzete az acube testen át a három oldal négyzetének összege.

Ha az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét vesszük, megkapjuk a következő eredményt.

Ha a sejt szélének hossza CsCl-ban 0,4123 nm, akkor a test keresztmetszete ebben az egység cellában 0,7141 nm.

A Cs + és Cl-ionok ionsugarainak összege ennek a távolságnak a fele, vagyis 0,3571 nm.

Ha becslésünk lenne a Cs + vagy a Cl-ion méretére, az eredményeket felhasználhatnánk számítsa ki a másik ion terádiusát. A Cl-ion ionsugara 0,181 nm. Ha ezt az értéket behelyettesítjük az utolsó egyenletbe, akkor a Cs + ion sugarának értéke 0,176 nm.

Ennek a számításnak az eredményei ésszerű összhangban vannak az ismert 0,169 nm értékkel a Cs + ion sugarára. Ezen értékek közötti eltérés azt a tényt tükrözi, hogy a tationos sugarak kristályonként változnak. A táblázatos értékek számos ilyen típusú számítás eredményének átlagai.