Enhedsceller

Enhedsceller: TheSimplest Gentagelsesenhed i en krystal

Strukturen af faste stoffer kan beskrives som om de der er tredimensionelle analoger af et stykke tapet. Tapet har et regelmæssigt gentaget design, der strækker sig fra den ene kant til den anden. Krystaller har et lignende gentagende design, men i dette tilfælde strækker designet sig i tre dimensioner fra den ene kant af det faste stof til den anden.

Vi kan utvetydigt beskrive et stykke tapet ved at specificere størrelsen, formen og indholdet af enkleste gentagende enhed i designet. Vi kan beskrive en tredimensionel krystal ved at specificere størrelsen, formen og indholdet af den enkle gentagelsesenhed og den måde, hvorpå disse gentagne enheder stables for at danne krystallen.

Den enkleste gentagelsesenhed i en krystal kaldes en enhedscelle. Hver enhedscelle er defineret i form af gitterpunkter på punkterne i rummet, omkring hvilke partiklerne er fri til at vibrere i en krystal.

Enhedscellens strukturer for en række salte vist nedenfor.

I 1850, Auguste Bravais viste, at krystaller kunne opdeles i 14 enhedsceller, der opfylder følgende kriterier.

• Enhedscellen er den enkleste gentagne enhed i krystallen.
• Modsatte flader af en enhedscelle er parallel.
• Kanten af enhedscellen forbinder ækvivalente punkter.

De 14 Bravais-enhedsceller er vist i nedenstående figur.

Disse enhedsceller falder i syv kategorier, der adskiller sig i de tre enhedscellekantlængder (a, b og c ) og tre interne vinkler (a, � og g), som vist i nedenstående tabel.

De syv kategorier af Bravais-enhedsceller

Vi vil fokusere på den kubiske kategori, som inkluderer de tre typer enhedsceller enkelkubisk, kropscentreret kubisk og ansigt centreret kubik vist i nedenstående figur.

Disse enhedsceller er vigtige af to grunde. For det første krystalliserer et antal metaller, ioniske faste stoffer og intermetalliske forbindelser i kubiske enhedsceller. For det andet er det relativt let at udføre beregninger med disse enhedsceller, fordi celle-kantlængderne alle er ens, og cellevinklerne er alle 90.

Den enkle kubiske enhedscelle er den enkleste gentagelsesenhed i en simpel kubisk struktur . Hvert hjørne af enhedscellen er defineret af et gitterpunkt, hvor et atom, ion eller molekyle kan findes i krystallen. Efter konvention forbinder kanten af en enhed cellway altid ækvivalente punkter. Hvert af enhedens celle otte hjørner skal derfor indeholde en identisk partikel. Andre partikler kan være til stede på enhedscellens kanter eller ansigter eller inden i enhedens cellelegeme. Men det minimum, der skal være til stede for, at enhedscellen kan klassificeres som enkle kubiske, ækvivalente partikler på de otte hjørner.

Den kropscentrerede kubiske enhedscelle er den enkleste gentagende enhed i en kropscentreret kubisk struktur. Endnu en gang er der otte identiske partikler på enhedens celle otte hjørner. Denne gang er der imidlertid et niende identisk partikel i centrum af enhedens cellelegeme.

Den ansigt-centrerede kubiske enhedscelle starter også med identiske partikler på terningens otte hjørner. Men denne struktur indeholder også de samme partikler i midten af de seks flader af enhedscellen, i alt 14 identiske gitterpunkter.

Den ansigtscentrerede kubiske enhedscelle er den enkleste gentagelsesenhed i en kubisk tættest pakket struktur. Faktisk forklarer tilstedeværelsen af ansigtscentrerede kubiske enhedsceller i denne struktur, hvorfor strukturen er kendt som kubisk tættest pakket.

Enhedsceller: AThree-dimensional Graph

Gitteret peger i en kubisk enhedscelle kan beskrives mellemrum i en tredimensionel graf. Da alle tre celle-kantgelængder er ens i en kubisk enhedscelle, betyder det ikke noget, hvilken orientering der bruges til a, b og caxes. Af hensyn til argumentet definerer vi a-aksen som vores lodrette akse. koordinatsystem, som vist i nedenstående figur.

B-aksen vil derefter beskrive bevægelse over fronten af enhedscellen, og c-aksen repræsenterer bevægelse mod bagsiden af enhedens celle. Desuden definerer vi arbitrarilydefinerer det nederste venstre hjørne af enhedscellen som oprindelsen (0,0,0). Koordinaterne 1,0,0 angiver et gitterpunkt, der er en cellekantlængde væk fra oprindelsen langs aksen. Tilsvarende repræsenterer 0,1,0 og 0,0,1 gitterpunkter, der forskydes af en cellekantlængde fra henholdsvis oprindelsen langs båndets c-akser.

Tænker på enhedscellen som en tre -dimensionel graf tillader os at beskrive strukturen af en krystal med bemærkelsesværdigt lille mængde information. Vi kan for eksempel specificere strukturen af cæsiumchlorid med kun fire stykker information.

Fordi cellekanten skal forbinde ækvivalente gitterpunkter, indebærer tilstedeværelsen af en Clion i et hjørne af enhedscellen (0,0,0) tilstedeværelsen af et Clion i hvert hjørne af cellen . Koordinaterne 1 / 2,1 / 2,1 / 2 beskriver gitterpunkt i midten af cellen. Fordi der ikke er noget andet punkt i enhedscellen, der er en cellekantlængde væk fra disse koordinater, er dette den eneste Cs + ion i cellen. CsCl er derfor en simpel kubisk enhedscelle af Cl-ioner med en Cs + i midten af cellelegemet.

Enhedsceller: NaCl og ZnS

NaCl skal krystallisere i en kubisk tættest pakket række Cl-ioner med Na + -ioner i de oktaedriske huller mellem planeterne for Cl-ioner. Vi kan oversætte disse oplysninger til en enhedscellemodel for NaCl ved at huske, at den overfladecentrerede kubiske enhedscelle er den enkleste gentagne enhed i akubisk tættest pakket struktur.

Figuren nedenfor viser, at der er et oktaedrisk hul i centrum af en ansigt-centreret kubisk enhedscelle ved koordinaterne1 / 2,1 / 2,1 / 2. Enhver partikel berører på dette tidspunkt partiklerne i midten af enhedens celle seks flader.

De andre oktaedriske huller i en ansigt-centreret kubisk enhedskælder på cellens kanter, som vist på figuren nedenfor.

Hvis klioner optager gitterpunkterne i afacentreret kubisk enhedscelle, og alle de oktaedriske huller er fyldt med Na + -ioner, får vi enhedscellen vist i nedenstående figur.

Vi kan derfor beskrive strukturen af NaCl i form af følgende information.

Placering af en Clion i disse fire positioner indebærer tilstedeværelsen af en Cl- ion på hvert af de 14 gitterpunkter, der definerer en ansigt-centreret kubisk enhed. Placering af en Na + -ion i midten af enhedscellen (1 / 2,1 / 2,1 / 2) og på de tre unikke kanter af enhedscellen (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 ; og 0,0,1 / 2) kræver en ækvivalent Na + -ion i hvert oktaedrisk hul i enhedscellen.

ZnS krystalliserer som kubisk tættest pakket række af S2-ioner med Zn2 + -ioner i tetraedriske huller. S2-ionerne i denne krystal indtager de samme positioner som Cl-ionerne i NaCl. Den eneste forskel mellem disse krystaller er placeringen af de positive ioner. Figuren nedenfor viser, at de tetraedriske huller i en ansigt-centreret kubisk enhedscelle er i hjørnerne til enhedscellen ved koordinater som 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Anatom med disse koordinater ville røre atomet i denne cornera såvel som atomer i midten af de tre ansigter, der danner dette hjørne. Selvom det er svært at se uden en tredimensionel model, arrangeres de fire atomer, der omgiver dette holeare, mod hjørnerne af en tetraeder.

Da hjørnerne på en kubisk enhedscelle er identiske, skal der være et tetraedrisk hul i hvert af de otte hjørner af den overfladecentrerede kubiske enhedscelle. Hvis S2-ioner optager gitterpunkterne i en ansigtscentreret kubisk enhedscelle, og Zn2 + -ioner pakkes ind i hvert andet tetraedriske hul, får vi enhedens celle af ZnS vist i nedenstående figur.

Strukturen af ZnS kan derfor beskrives som følger.

Bemærk, at kun halvdelen af de tetraedriske huller er optaget i denne krystal, fordi der er to tetraedriske huller til hver S2-ion i et nærmest pakket array af disse ioner.

Enhedsceller: Måling af afstanden mellem partikler

Nikkel er et af de metaller, der krystalliserer i en kubikmest pakket struktur. Når man tænker på, at et nikkelatom kun har en masse på 9,75 x 10-23 g og en ionradius på kun 1,24 x 10-10 m, er det en bemærkelsesværdig bedrift at kunne beskrive strukturen af dette metal. Det oplagte spørgsmål er: Hvordan ved vi, at nikkelpakker i en kubikmest pakket struktur?

Den eneste måde at bestemme stofens struktur på en atomskala er at bruge en sonde, der er endnu mindre. En af de mest anvendelige sonder til at studere stof på denne skala er elektromagnetisk stråling.

I 1912 fandt Max van Laue, at røntgenstråler, der ramte overfladen af en krystal, blev trukket ind i mønstre, der lignede de mønstre, der blev produceret, når lys passerer igennem en meget smal belysning. Kort derefter forklarede William Lawrence Bragg, der netop afsluttede sin bachelorgrad i fysik i Cambridge, van Laues resultater med en ligning kendt som Braggequation, som gør det muligt for os at beregne afstanden mellem atomernes plan i en krystal fra mønsteret for diffraktion af x -stråler med kendt bølgelængde.

n = 2d sin T

Det mønster, hvormed røntgenstråler er diffrakteret af nikkelmetaller foreslår, at dette metal pakker i en kubisk enhedscelle med modstand mellem atomerplaner på 0,3524 nm. Således skal cellekantlængden i denne krystal være 0,3524 nm. At vide, at nikkel krystalliserer i en kubisk enhedscelle er ikke nok.Vi skal stadig beslutte, om det er en simpel kubisk, kropscentreret kubisk eller ansigtscentreret kubisk enhedscelle. Dette kan gøres ved at måle densiteten af metallet.

Enhedsceller: Bestemmelse af enhedens celle af en krystal

Atomer på hjørnerne, kanterne og ansigterne på en enhedscelle deles af mere end en enhedscelle, som vist i figuren nedenfor. Et atom på et ansigt deles af to enhedsceller, så kun halvdelen af atomet tilhører hver af disse celler. Et atom på en kant deles af fire enhedsceller, og et atom på et hjørne deles af otte enhedsceller. Således kan kun en fjerdedel af et atom på en kant og en ottendedel af et atom i et hjørne tildeles hver af de enhedsceller, der deler disse atomer.

Hvis nikkel krystalliseres i en simpel kubisk enhedscelle, ville der være et nikkelatom på hvert af de otte hjørner af cellen. Fordi kun en ottendedel af disse atomer kan tildeles en given enhedscelle, ville hver enhedscelle i en simpel kubisk struktur have et netto nikkelatom.

Enkel kubisk struktur:

8 hjørner x 1/8 = 1 atom

Hvis nikkel dannede en kropscentreret kubisk struktur, ville der være to atomer pr. enhed celle, fordi nikkelatomet i midten af kroppen ville ikke deles med andre enhedsceller.

Kropscentreret kubisk struktur:

(8 hjørner x 1/8) + 1 krop = 2 atomer

Hvis nikkel krystalliserede i en ansigtscentreret kubisk struktur, ville de seks atomer på enhedens celle bidrage med de tre nikkelatomer, i alt fire atomer pr. celleenhed.

Kubisk struktur med ansigt centreret:

(8 hjørner x 1/8) + (6 flader x 1/2) = 4 atomer

Da de har forskellige antal atomer i en enhedscelle, ville hver af disse strukturer have en anden tæthed. Lad “derfor beregne densiteten for nikkel baseret på hver af strukturerne og enhedens cellekantlængde for nikkel, der er angivet i det forrige afsnit: 0,3524 nm. For at gøre dette skal vi kende enhedens cellevolumen i kubikcentimeter og massen af et enkelt nikkelatom.

Volumen (V) af enhedscellen er lig med cellekantlængden (a) i kubik.

V = a3 = (0,3524 nm) 3 = 0,04376 nm3

Da der er 109 nm i en meter og 100 cm i ameter, skal der være 107 nm i en cm.

Vi kan derfor konvertere enhedens celle til cm3 som følger.

Massen af et nikkelatom kan beregnes ud fra atomvægten af dette metal og Avogadros nummer.

Nikkelens densitet, hvis den krystalliserede i en simpel kubikstruktur, ville den derfor være 2,23 g / cm3 til tre betydningsfulde tal.

Enkel kubisk struktur:

Fordi der ville være dobbelt så mange atomer pr. enhed celle, hvis nikkel krystalliserede i en kropscentreret kubisk struktur, ville densitet af nikkel i denne struktur være dobbelt så stor.

Kropscentreret kubisk struktur:

Der ville være fire atomer pr. enhed celle i en ansigt-centreret kubisk struktur og densiteten af nikkel i denne struktur ville være fire gange så store.

Kubisk struktur med ansigt centreret:

Den eksperimentelle værdi for densiteten af nikkel er 8,90 g / cm3. Den åbenlyse konklusion er, at nikkel krystalliserer i en afacenteret kubisk enhedscelle og derfor har en kubiknærest -pakket struktur.

Enhedsceller: CalculatingMetallic eller Ionic Radii

Estimater for radierne for de fleste metalatomer kan findes. Hvor kommer disse data fra? Hvordan ved vi f.eks., At theradius af et nikkelatom er 0.1246 nm?

Nikkel krystalliserer i en ansigt-centreret kubisk enhedscelle med acell-kantlængde på 0,3524 nm for at beregne radius af et nikkelatom .

Et af ansigterne på en ansigtscentreret kubisk enhedscelle er vist i nedenstående figur.

Ifølge denne figur er diagonalen på tværs af denne enheds celle lig med fire gange radius af et nikkelatom .

Pythagoras sætning siger, at diagonalen på tværs af den rette trekant er lig med summen af kvadraterne på de andre sider. Diagonalen på tværs af enhedens celle er derfor forbundet med enhedens cellekantlængde ved hjælp af følgende ligning.

Tager kvadratroden på begge sider giver følgende resultat.

Vi erstatter nu forholdet mellem diagonalen på tværs af ansigtet i denne ligning denne enhedscelle og radius af et nikkelatom:

Løsning af radius af et nikkelatom giver en værdi på 0.1246 nm:

En lignende fremgangsmåde kan tages for at estimere anionens størrelse.Lad os starte med at bruge det faktum, at cellekantlængden incesiumchlorid er 0,4123 nm til at beregne afstanden mellem Cs + og Cl-ionernes centre i CsCl.

CsCl krystalliserer i en simpel kubisk enhedscelle af Cl-ioner med en Cs + ion i midten af cellens krop, som vist i nedenstående figur.

Før vi kan beregne afstanden mellem Cs + og Cl-ionernes centre i denne krystal, men vi er nødt til at genkende gyldigheden af en af de enkleste antagelser om ioniske faste stoffer: Den positive og negative ion, som danner disse krystaller, rører ved.

Vi kan derfor antage, at diagonalen over kroppen af CsCl-enhedscellen svarer til summen af radierne af toClioner og to Cs + -ioner.

Den tredimensionelle ækvivalent af Pythagoras teorier antyder, at firkantet af diagonalen over acube-kroppen er summen af firkanterne på de tre sider.

At tage kvadratroden på begge sider af denne ligning giver følgende resultat.

Hvis cellekantlængden i CsCl er 0,4123 nm, er diagonalen over kroppen i denne enhedscelle 0,7141 nm.

Summen af de ioniske radier af Cs + og Cl-ioner er halvdelen af denne afstand eller 0,3571 nm.

Hvis vi havde et skøn over størrelsen af enten Cs + eller Clion, kunne vi bruge resultaterne til at beregne theradius af den anden ion. Cl-ionens ioniske radius er 0,181 nm. At erstatte denne værdi i den sidste ligning giver en værdi på 0,176 nm for Cs + ionens radius.

Resultaterne af denne beregning er i rimelig overensstemmelse med værdien af 0,169 nm kendt for radius af Cs + ion. Uoverensstemmelsen mellem disse værdier afspejler, at de thationiske radier varierer fra en krystal til en anden. De opgjorte værdier er gennemsnit af resultaterne af et antal beregninger af denne type.