Enhetsceller

Enhetsceller: TheSimplest Repeating Unit in a Crystal

Strukturen hos fasta ämnen kan beskrivas som om de var tredimensionella analoger av en tapetbit. Tapet har en regelbunden upprepande design som sträcker sig från en kant till den andra. Kristaller har en liknande upprepande design, men i detta fall sträcker sig designen i tre dimensioner från ena kanten av det solida till den andra.

Vi kan entydigt beskriva en tapetbit genom att specificera storleken, formen och innehållet på enklaste upprepande enheten i designen. Vi kan beskriva en tredimensionell kristall genom att ange storleken, formen och innehållet på den enklaste upprepande enheten och hur dessa upprepande enheter staplas för att bilda kristallen.

Den enklaste upprepande enheten i en kristall kallas en enhetscell. Varje enhetscell definieras i termer av gitterpunkter i rymden kring vilka partiklarna är fria att vibrera i en kristall.

Enhetscellens strukturer för en mängd olika salter visas nedan.

1850, Auguste Bravais visade att kristaller kunde delas in i 14 enhetsceller, som uppfyller följande kriterier.

• Enhetscellen är den enklaste upprepande enheten i kristallen.
• Motsatta ytor på en enhetscell är parallell.
• Enhetscellens kant ansluter ekvivalenta punkter.

De 14 Bravais-enhetscellerna visas i figuren nedan.

Dessa enhetsceller faller i sju kategorier, som skiljer sig åt i de tre enhetscellens kantlängder (a, b och c ) och tre inre vinklar (a, � och g), som visas i tabellen nedan.

De sju kategorierna av Bravais-enhetsceller

Vi kommer att fokusera på den kubiska kategorin, som inkluderar de tre typerna av enhetsceller enkelkubisk, kroppscentrerad kubik och ansiktscentrerad kubik i figuren nedan.

Dessa enhetsceller är viktiga av två skäl. Först kristalliseras ett antal metaller, joniska fasta ämnen och intermetalliska föreningar i kubiska enhetsceller. För det andra är det relativt enkelt att göra beräkningar med dessa enhetsceller eftersom cellkantlängderna är desamma och cellvinklarna är alla 90.

Den enkla kubiska enhetscellen är den enklaste upprepningsenheten i en enkel kubisk struktur . Varje hörn av enhetscellen definieras av en gitterpunkt vid vilken en atom, jon eller molekyl kan hittas i kristallen. Enligt konventionen förbinder kanten av en enhet cellvägar motsvarande punkter. Var och en av enhetscellens åtta hörn måste därför innehålla en identisk partikel. Andra partiklar kan finnas på kanterna eller ytorna på enhetscellen, eller i enhetscellens kropp. Men det minsta som måste finnas för att enhetscellen ska klassificeras som enkla kubiska, är ekvivalenta partiklar i de åtta hörnen.

Den kroppscentrerade kubiska enhetscellen är den enklaste upprepande enheten i en kroppscentrerad kubisk struktur. Återigen finns det åtta identiska partiklar i enhetscellens åtta hörn. Men den här gången finns det en nionde identisk partikel i centrum av enhetens cell.

Den ansiktscentrerade kubiska enhetscellen börjar också med identiska partiklar i kubens åtta hörn. Men denna struktur innehåller också samma partiklar i mitten av de sex ytorna i enhetscellen, för totalt 14 identiska gitterpunkter.

Den ansiktscentrerade kubiska enhetscellen är den enklaste upprepningsenheten i en kubisk närmast packad struktur. Faktum är att närvaron av ansiktscentrerade kubiska enhetsceller i denna struktur förklarar varför strukturen är känd som kubisk närmast packad.

Enhetsceller: AThree-dimensional Graph

Gitteret pekar i en kubisk enhetscell kan beskrivas mellanrum i ett tredimensionellt diagram. Eftersom alla tre cellkantlängderna är desamma i en kubisk enhetscell, spelar det ingen roll vilken orientering som används för a, b och caxes. För argumentets skull definierar vi a-axeln till vår vertikala axel koordinatsystem, som visas i figuren nedan.

B-axeln kommer då att beskriva rörelse över enhetscellens front, och c-axeln representerar rörelse mot baksidan av enhetscellen. Vidare definierar vi arbitrarilydefinierar det nedre vänstra hörnet av enhetscellen som ursprung (0,0,0). Koordinaterna 1,0,0 indikerar en gitterpunkt som är en cellkantlängd bort från ursprunget längs axeln. På samma sätt representerar 0,1,0 och 0,0,1 gitterpunkter som förskjuts av en cellkantlängd från ursprunget längs bandets c-axlar.

Tänker på enhetscellen som en tre -dimensionell graf tillåter oss att beskriva strukturen hos en kristall med anmärkningsvärt liten mängd information. Vi kan specificera strukturen av cesiumklorid, till exempel med endast fyra delar information.

Eftersom cellkanten måste ansluta ekvivalenta gitterpunkter, innebär närvaron av en Clion i ett hörn av enhetscellen (0,0,0) närvaron av ett Clion-varje hörn av cellen . Koordinaterna 1 / 2,1 / 2,1 / 2 beskriver gitterpunkten i mitten av cellen. Eftersom det inte finns någon annan punkt i enhetscellen som ligger en cellkantlängd bort från dessa koordinater, är detta den enda Cs + -jonen i cellen. CsCl är därför en enkel kubisk enhetscell av Cl-joner med en Cs + i mitten av kroppens kropp.

Enhetsceller: NaCl och ZnS

NaCl bör kristallisera i en kubik närmast packad grupp av Cl-joner med Na + -joner i de oktaedriska hålen mellan Clions-plan. Vi kan översätta denna information till en enhetscellsmodell för NaCl genom att komma ihåg att den ytcentrerade kubiska enhetscellen är den enklaste upprepande enheten i akubisk närmast packad struktur.

Bilden nedan visar att det finns ett oktaedrisk hål i centrum av en ansiktscentrerad kubisk enhetscell, vid koordinaterna1 / 2,1 / 2,1 / 2. Varje partikel vid denna punkt berör partiklarna i mitten av enhetscellens sex ytor.

De andra oktaedriska hålen i en ansiktscentrerad kubisk enhetscellare på cellens kanter, som visas i figuren nedan.

Om klioner ockuperar gitterpunkterna i en centrifugerad kubisk enhetscell och alla de oktaedriska hålen är fyllda med Na + -joner får vi enhetscellen som visas i figuren nedan.

Vi kan därför beskriva NaCl: s struktur i termer av följande information.

Att placera en Clion i dessa fyra positioner innebär att närvaron av en Cl- på var och en av de 14 gitterpunkterna som definierar en ansiktscentrerad kubisk enhet. Placera en Na + -jon i centrum av enhetscellen (1 / 2,1 / 2,1 / 2) och på enhetens tre unika kanter (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 ; och 0,0,1 / 2) kräver en ekvivalent Na + -jon i varje oktaedriskhål i enhetscellen.

ZnS kristalliserar som en kubisk närmast packad grupp av S2-joner med Zn2 + -joner i tetraedriska hål. S2-jonerna i denna kristall upptar samma positioner som Cl-jonerna i NaCl. Den enda skillnaden mellan dessa kristaller är placeringen av de positiva jonerna. Figuren nedan visar att de tetraedriska hålen i en ansiktscentrerad kubisk enhetscell finns i enhetscellens hörn, vid koordinater som 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Anatom med dessa koordinater skulle beröra atomen vid denna hornhinna samt atomerna i mitten av de tre ansiktena som bildar detta hörn. Även om det är svårt att se utan en tredimensionell modell, anordnade de fyra atomerna som omger detta holeare mot hörnen på en tetraeder.

Eftersom hörnen på en kubisk enhetscell är identiska, måste det vara ett tetraedriskt hål i vart och ett av de åtta hörnen på den ytcentrerade kubiska enhetscellen. Om S2-joner upptar glidpunkterna i en ansiktscentrerad kubisk enhetscell och Zn2 + -joner packas i vartannat tetraederhål, får vi enhetscellen för ZnS som visas i figuren nedan.

ZnS-strukturen kan därför beskrivas på följande sätt.

Observera att endast hälften av de tetraedriska hålen är upptagen i denna kristall eftersom det finns två tetraeder hål för varje S2-jon i en närmast packad uppsättning av dessa joner.

Enhetsceller: Mätning av avståndet mellan partiklar

Nickel är en av metallerna som kristalliserar i en kubik närmast packad strukturera. När man tänker på att en nickelatom bara har en massa av 9,75 x 10-23 g och en jonradie på endast 1,24 x 10-10 m är det en anmärkningsvärd prestation att kunna beskriva metallens struktur. Den uppenbara frågan är: Hur vet vi att nickelförpackningar är i en kubik närmast packad struktur?

Det enda sättet att bestämma materiens struktur på en atomskala är att använda en sond som är ännu mindre. En av de mest användbara sonderna för att studera materia i denna skala är elektromagnetisk strålning.

År 1912 fann Max van Laue att röntgenstrålar som träffade en kristalls yta bryts ned i mönster som liknar de mönster som produceras när ljus passerar genom en mycket smal upplyst. Strax därefter förklarade William Lawrence Bragg, som just avslutade sin doktorsexamen i fysik vid Cambridge, van Laues resultat med en ekvation som kallas Braggequation, som gör det möjligt för oss att beräkna avståndet mellan atomernas plan i en kristall från mönstret för diffraktion av x -strålar med känd våglängd.

n = 2d sin T

Mönstret genom vilket röntgenstrålar bryts av nickelmetaller föreslår att denna metall förpackas i en kubisk enhetscell med motstånd mellan atomplanen på 0,3524 nm. Således måste cellkantlängden i denna kristall vara 0,3524 nm. Att veta att nikkel kristalliserar i en kubisk enhetscell räcker inte.Vi måste fortfarande avgöra om det är en enkel kubisk, kroppscentrerad kubisk eller ansiktscentrerad kubisk enhetscell. Detta kan göras genom att mäta metallens densitet.

Enhetsceller: Bestämma enhetscellen i en kristall

Atomer i hörnen, kanterna och ytorna på en enhetscell delas av mer än en enhetscell, som visas i figuren nedan. En atom i ansiktet delas av två enhetsceller, så bara hälften av atomen tillhör var och en av dessa celler. En atom vid en kant delas av fyra enhetsceller och en atom i ett hörn delas av åtta enhetsceller. Således kan endast en fjärdedel av en atom på en kant och en åttondel av en atom i ett hörn tilldelas var och en av enhetscellerna som delar dessa atomer.

Om nickel kristalliserades i en enkel kubisk enhetscell, skulle det finnas en nickelatom på var och en av cellens åtta hörn. Eftersom endast en åttondel av dessa atomer kan tilldelas en given enhetscell, skulle varje enhetscell i en enkel kubisk struktur ha en netto nickelatom.

Enkel kubisk struktur:

8 hörn x 1/8 = 1 atom

Om nickel bildade en kroppscentrerad kubisk struktur, skulle det finnas två atomer per enhetscell, eftersom nickelatomen i centrum av kroppen skulle inte delas med andra enhetsceller.

Kroppscentrerad kubisk struktur:

(8 hörn x 1/8) + 1 kropp = 2 atomer

Om nickel kristalliserade i en ansiktscentrerad kubisk struktur, skulle de sex atomerna på enhetscellens ytor bidra med nickelatomer av för totalt fyra atomer per enhetscell.

Ansiktscentrerad kubisk struktur:

(8 hörn x 1/8) + (6 ansikten x 1/2) = 4 atomer

Eftersom de har olika antal atomer i en enhetscell, skulle var och en av dessa strukturer ha olika densitet. Låt ”därför beräkna densiteten för nickel baserat på var och en av strukturerna och enhetscellens kantlängd för nickel som anges i föregående avsnitt: 0,3524 nm. För att göra detta måste vi känna till enhetscellens volym i kubikcentimeter och massan av en enda nickelatom.

Volym (V) för enhetscellen är lika med cellkantlängden (a) kubad.

V = a3 = (0,3524nm) 3 = 0,04376 nm3

Eftersom det finns 109 nm i en meter och 100 cm i ameter måste det finnas 107 nm i cm.

Vi kan därför konvertera enhetscellens volym till cm3 enligt följande.

Massan av en nickelatom kan beräknas från atomvikt för denna metall och Avogadros nummer.

Nickels densitet, om den kristalliserade i en enkel kubikstruktur, skulle den därför vara 2,23 g / cm3, till tre betydande siffror.

Enkel kubisk struktur:

Eftersom det skulle finnas dubbelt så många atomer per enhetscell om nikkel kristalliserade i en kroppscentrerad kubisk struktur, skulle nickelns densitet i denna struktur vara dubbelt så stor.

Kroppscentrerad kubisk struktur:

Det skulle finnas fyra atomer per enhetscell i en ansiktscentrerad kubisk struktur och densiteten av nickel i denna struktur skulle vara fyra gånger så stora.

Ansiktscentrerad kubisk struktur:

Experimentellt värde för nickeldensiteten är 8,90 g / cm3. Den uppenbara slutsatsen är att nickel kristalliserar i en kubikcentrerad enhetscell och därför har en kubikmängd -packad struktur.

Enhetsceller: Beräkning av metalliska eller joniska radier

Uppskattningar av radierna för de flesta metallatomer kan hittas. Varifrån kommer dessa uppgifter? Hur vet vi till exempel att en nickelatoms teradius är 0.1246 nm?

Nickel kristalliserar i en ansiktscentrerad kubisk enhetscell med acell-kantlängd på 0,3524 nm för att beräkna en nickelatoms radie .

En av ansiktena på en ansiktscentrerad kubisk enhetscell visas i figuren nedan.

Enligt denna figur är diagonalen över enhetens yta lika med fyra gånger radien för en nickelatom .

Pythagorasatsningen säger att diagonalen över den rätta triangeln är lika med summan av kvadraterna på de andra sidorna. Diagonalen över enhetscellens yta är därför förbunden med enhetscellens kantlängd genom följande ekvation.

Tar kvadratroten på båda sidor ger följande resultat.

Vi ersätter nu förhållandet mellan diagonalen över ansiktet på denna enhetscell och radien för en nickelatom:

Lösning av en nickelatoms radie ger ett värde av 0.1246 nm:

En liknande metod kan användas för att uppskatta storleken på anjonen.Låt oss börja med att använda det faktum att cellkantlängden incesiumklorid är 0,4123 nm för att beräkna avståndet mellan Cs + och Cl-jonerna i CsCl.

CsCl kristalliserar i en enkel kubisk enhetscell av Cl-joner med en Cs + -jon i mitten av kroppens kropp, som visas i figuren nedan.

Före vi kan beräkna avståndet mellan Cs + och Cl-mitten i denna kristall, men vi måste erkänna giltigheten av en av de enklaste antagandena om joniska fasta ämnen: Den positiva och negativa jon som bildar dessa kristaller berör.

p> Vi kan därför anta att diagonalen över kroppen av CsCl-enhetscellen är ekvivalent med summan av radierna av tvåClions-joner och två Cs + -joner.

Den tredimensionella ekvivalenten för Pythagoras teorier föreslår att kvadraten på diagonalen över acube-kroppen är summan av kvadraten på de tre sidorna.

Att ta kvadratroten på båda sidor av denna ekvation ger följande resultat.

Om cellkantlängden i CsCl är 0,4123 nm är diagonalen över kroppen i denna enhetscell 0,7141 nm.

Summan av jonradierna för Cs + och Cl-joner är halva detta avstånd, eller 0,3571 nm.

Om vi hade en uppskattning av storleken på antingen Cs + eller Clion, kunde vi använda resultaten för att beräkna theradius av den andra jonen. Den joniska radien för Cl-jon är 0,181 nm. Genom att ersätta detta värde i den sista ekvationen får du ett värde på 0,176 nm för Cs + -jonens radie.

Resultaten av denna beräkning är i rimlig överensstämmelse med värdet av 0,169 nm känt för Cs + -jonens radie. Skillnaden mellan dessa värden återspeglar det faktum att de tionella radierna varierar från en kristall till en annan. Tabellvärdena är medelvärden för resultaten av ett antal beräkningar av den här typen.