Części Parabola

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, a jego części dostarczają cennych informacji o tej funkcji.

Przypomnij sobie, że funkcja kwadratowa ma postać

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

gdzie a, b ic są stałymi, a a \ neq 0.

wykres funkcji kwadratowej to krzywa w kształcie litery U zwana parabolą. Ten kształt pokazano poniżej.

Cechy paraboli

Parabole mają kilka rozpoznawalnych cech, które charakteryzują ich kształt i położenie na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Wierzchołek

Jedną z ważnych cech paraboli jest to, że ma ona skrajny punkt, zwany wierzchołkiem. Jeśli parabola się otwiera, wierzchołek reprezentuje najniższy punkt na wykresie lub minimalną wartość funkcji kwadratowej. Jeśli parabola otwiera się w dół, wierzchołek reprezentuje najwyższy punkt na wykresie lub wartość maksymalną. W obu przypadkach wierzchołek jest punktem zwrotnym na wykresie.

Oś symetrii

Parabole mają również oś symetrii, która jest równoległa do osi y. Oś symetrii to pionowa linia poprowadzona przez wierzchołek.

Punkt przecięcia z osią y

Punkt przecięcia z osią y to punkt, w którym parabola przecina oś y. Na wykresie funkcji kwadratowej nie może być więcej niż jeden taki punkt. Gdyby tak było, krzywa nie byłaby funkcją, ponieważ byłyby dwie wartości y dla jednej wartości x w punkcie zerowym.

Punkt przecięcia z osią x

Przypomnij sobie, że jeśli funkcja kwadratowa jest ustawiona na zero, wynikiem jest równanie kwadratowe. Rozwiązania równania nazywane są pierwiastkami funkcji. Są to te same pierwiastki, które można zaobserwować jako punkty przecięcia z osią x paraboli.

Graficzna interpretacja rozwiązań kwadratowych

Korzenie funkcji kwadratowej można znaleźć algebraicznie lub graficznie.

Przypomnij sobie, jak pierwiastki funkcji kwadratowych funkcje można znaleźć algebraicznie, używając wzoru kwadratowego (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Korzenie funkcji kwadratowej można również znaleźć graficznie, wykonując obserwacje dotyczące jej wykresu. Są to dwie różne metody, których można użyć do osiągnięcia tych samych wartości, a teraz zobaczymy, jak są one powiązane.

Rozważmy funkcję kwadratową przedstawioną na wykresie poniżej. Rozwiążmy jego pierwiastki zarówno graficznie, jak i algebraicznie.

Rozwiążmy teraz pierwiastki funkcji f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraicznie za pomocą wzoru kwadratowego.

Przypomnij sobie, że równanie kwadratowe ustala wyrażenie kwadratowe równe zero zamiast f (x):

0 = x ^ 2 – x – 2

Podstawienie te wartości we wzorze kwadratowym:

x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1) )}

Upraszczając, mamy:

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

i

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

Mamy teraz dwie możliwe wartości x: \ frac {1 + 3} {2} i \ frac {1- 3} {2}.

Przykład

Znajdź pierwiastki funkcji kwadratowej f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Rozwiąż graficznie i algebraicznie.

Patrząc na wykres funkcji, zauważamy, że nie przecina on osi x. Dlatego nie ma prawdziwych pierwiastków.

Podstawiając je do wzoru kwadratowego, otrzymujemy:

x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4) ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

Upraszczając, mamy:

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

Zauważ, że w formule mamy \ sqrt {-4}, czyli nie jest liczbą rzeczywistą. Dlatego dla danej funkcji kwadratowej nie ma rzeczywistych pierwiastków. Doszliśmy do tego samego wniosku, do którego doszliśmy graficznie.

Tworzenie wykresów równań kwadratowych w postaci wierzchołków

Forma wierzchołkowa funkcji kwadratowej umożliwia łatwe znalezienie jej wierzchołka.

Równania kwadratowe może przybierać różne formy. Widziałeś już standardową formę:

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

Inną popularną formą jest forma wierzchołkowa, ponieważ gdy kwadratowy jest zapisany w tej formie, bardzo łatwo jest powiedzieć, gdzie znajduje się jego wierzchołek. Forma wierzchołków jest określona wzorem:

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

Konwersja z formy wierzchołka do formy standardowej

Jeśli chcesz przekonwertować kwadrat w postaci wierzchołków na jeden w postaci standardowej, po prostu pomnóż kwadrat i połącz podobne wyrażenia. Na przykład kwadrat kwadratowy

y = (x-2) ^ 2 + 1

Można przepisać w następujący sposób:

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

Konwersja z formy standardowej do formy wierzchołkowej

To jest trudniejsze do konwersji ze standardowej formy na formę wierzchołków. Proces ten nazywa się „uzupełnianiem kwadratu”.

Konwersja, gdy a = 1

Następnie dodajemy i odejmujemy tę liczbę w następujący sposób:

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

Konwersja, gdy a \ neq 1

Nieco bardziej skomplikowana jest konwersja standardowej formy do formy wierzchołkowej, gdy współczynnik a nie jest równa 1. Nadal możemy używać tej techniki, ale musimy uważać, aby najpierw wyliczyć a, jak w poniższym przykładzie:

Rozważmy y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Rozważmy współczynnik 2 z pierwszych dwóch wyrazów, zapisując to jako:

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

Następnie możemy zakończyć obliczenia w następujący sposób:

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

Więc wierzchołek tej paraboli to (-3, -13).

Tworzenie wykresów równań kwadratowych w standardowej formie

Funkcja kwadratowa jest funkcją wielomianową postaci y = ax ^ 2 + bx + c.

Funkcja kwadratowa w postaci

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

ma standardową postać.

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.

Współczynniki i wykresy funkcji kwadratowej

Każdy współczynnik w funkcji kwadratowej w standardowej formie ma wpływ na kształt i położenie wykresu funkcji.

Współczynnik x ^ 2, a

Współczynnik a kontroluje szybkość zwiększania (lub zmniejszania) funkcji kwadratowej od wierzchołka. Większe dodatnie a sprawia, że funkcja rośnie szybciej, a wykres wydaje się cieńszy.

Oś symetrii

x = – \ dfrac {b} {2a}

x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

Wierzchołek ma również współrzędną x 1.

Punkt przecięcia z osią Y paraboli