Delen van een Parabool
De grafiek van een kwadratische functie is een parabool en de onderdelen ervan bieden waardevolle informatie over de functie.
Leerdoelen
Beschrijf de onderdelen en kenmerken van parabolen
Key Takeaways
Key Points
- De grafiek van een kwadratische functie is een U-vormige curve die een parabool wordt genoemd.
- Het teken op de coëfficiënt a van de kwadratische functie bepaalt of de grafiek omhoog of omlaag opent. Als een < 0, de grafiek fronst (opent naar beneden) en als een > 0, dan glimlacht de grafiek (opent zich ).
- Het uiterste punt (maximum of minimum) van een parabool wordt het hoekpunt genoemd, en de symmetrieas is een verticale lijn die door het hoekpunt loopt.
- De x- intercepts zijn de punten waarop de parabool de x-as kruist. Als ze bestaan, vertegenwoordigen de x-intercepts de nullen of wortels van de kwadratische functie.
Sleuteltermen
- hoekpunt: het punt waarop een parabool verandert van richting, overeenkomend met de minimum of maximum waarde van de kwadratische functie.
- symmetrieas: een verticale lijn getrokken door de top van een parabool waaromheen de parabool symmetrisch is.
- nullen: in een gegeven functie, de waarden van x waarbij y = 0, ook wel wortels genoemd.
Bedenk dat een kwadratische functie de vorm heeft
\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.
waarbij a, b en c constanten zijn, en a \ neq 0.
De grafiek van een kwadratische functie is een U-vormige curve die een parabool wordt genoemd. Deze vorm wordt hieronder weergegeven.
Parabool: de grafiek van een kwadratische functie is een parabool.
Richting van parabolen: het teken op de coëfficiënt a bepaalt de richting van de parabool .
Kenmerken van parabolen
Parabolen hebben verschillende herkenbare kenmerken die hun vorm en plaatsing op het cartesische vlak kenmerken.
Vertex
Een belangrijk kenmerk van de parabool is dat deze een extreem punt heeft, de vertex genaamd. Als de parabool opengaat, vertegenwoordigt het hoekpunt het laagste punt op de grafiek, of de minimumwaarde van de kwadratische functie. Als de parabool naar beneden opent, vertegenwoordigt het hoekpunt het hoogste punt van de grafiek, of de maximale waarde. In beide gevallen is het hoekpunt een keerpunt in de grafiek.
As van symmetrie
Parabolen hebben ook een symmetrie-as, die evenwijdig is aan de y-as. De symmetrie-as is een verticale lijn getrokken door het hoekpunt.
y-snijpunt
Het y-snijpunt is het punt waarop de parabool de y-as kruist. Er kan niet meer dan één punt zijn voor de grafiek van een kwadratische functie. Als dat wel het geval was, zou de curve geen functie zijn, aangezien er twee y-waarden zouden zijn voor één x-waarde, op nul.
x-intercepts
Mogelijke x-intercepts: een parabool kan geen x-intercepts, één x-intercept of twee x-intercepts hebben
Bedenk dat als de kwadratische functie gelijk is aan nul, het resultaat een kwadratische vergelijking is. De oplossingen voor de vergelijking worden de wortels van de functie genoemd. Dit zijn dezelfde wortels die waarneembaar zijn als de x-intercepts van de parabool.
Een grafische interpretatie van kwadratische oplossingen
De wortels van een kwadratische functie kunnen algebraïsch of grafisch worden gevonden.
Leerdoelen
Beschrijf de oplossingen voor een kwadratische vergelijking als de punten waar de parabool de x-as kruist
Key Takeaways
Key Points
- De wortels van een kwadratische functie kunnen algebraïsch worden gevonden met de kwadratische formule, en grafisch door observaties te doen over de parabool.
- De oplossingen, of wortels, van een bepaalde kwadratische vergelijking zijn hetzelfde als de nullen, of x-intercepts, van de grafiek van de corresponderende kwadratische functie.
Sleutelbegrippen
- nullen: in een gegeven functie, de waarden van x waarbij y = 0, ook wel wortels genoemd.
Bedenk hoe de wortels van kwadratisch functies kunnen algebraïsch worden gevonden met behulp van de kwadratische formule (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). De wortels van een kwadratische functie kunnen ook grafisch worden gevonden door observaties te doen over de grafiek. Dit zijn twee verschillende methoden die kunnen worden gebruikt om dezelfde waarden te bereiken, en we zullen nu zien hoe ze gerelateerd zijn.
Beschouw de kwadratische functie die hieronder in een grafiek is weergegeven. Laten we de wortels ervan zowel grafisch als algebraïsch oplossen.
Laten we nu de wortels van f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraïsch oplossen met de kwadratische formule.
Bedenk dat de kwadratische vergelijking de kwadratische uitdrukking gelijk stelt aan nul in plaats van f (x):
0 = x ^ 2 – x – 2
Vervangende deze waarden in de kwadratische formule:
x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}
Vereenvoudigend hebben we:
x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\
en
x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}
We hebben nu twee mogelijke waarden voor x: \ frac {1 + 3} {2} en \ frac {1- 3} {2}.
Voorbeeld
Vind de wortels van de kwadratische functie f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Los grafisch en algebraïsch op.
De grafiek van f (x) = x ^ 2 – 4x + 4 .: De grafiek van de bovenstaande functie , met het hoekpunt gelabeld op (2, 1).
Als we naar de grafiek van de functie kijken, zien we dat deze de x-as niet snijdt. Daarom heeft het geen echte wortels.
Als we deze in de kwadratische formule substitueren, hebben we:
x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}
Vereenvoudigend hebben we:
x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}
Merk op dat we \ sqrt {-4} in de formule hebben, namelijk geen echt getal. Daarom zijn er geen echte wortels voor de gegeven kwadratische functie. We zijn tot dezelfde conclusie gekomen die we grafisch bereikten.
Kwadratische vergelijkingen tekenen in hoekpuntvorm
Met de hoekpuntvorm van een kwadratische functie kan het hoekpunt gemakkelijk gevonden worden.
Key Takeaways
Key Points
- Een belangrijke vorm van een kwadratische functie is de vertex-vorm: f (x) = a (xh) ^ 2 + k
- Wanneer geschreven in hoekpuntvorm, is het gemakkelijk om het hoekpunt van de parabool te zien bij (h, k).
- Het is gemakkelijk om te zetten van hoekpuntvorm naar standaardvorm.
- Het is moeilijker, maar nog steeds mogelijk, om te zetten van standaardformulier naar hoekpuntvorm. Het proces omvat een techniek die het kwadraat wordt genoemd.
Sleutelbegrippen
- constante: een identificatie die is gebonden aan een invariante waarde.
- vertex: een punt op de curve met een lokaal minimum of maximum kromming.
- kwadratisch: een polynoom van graad twee.
Kwadratische vergelijkingen kan verschillende vormen aannemen. Je hebt het standaardformulier al gezien:
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c
Een andere veel voorkomende vorm wordt vertex-formulier genoemd, omdat wanneer een kwadratisch is in deze vorm geschreven, het is heel gemakkelijk om te zien waar het hoekpunt zich bevindt. Het hoekpunt-formulier wordt gegeven door:
f (x) = a (xh) ^ 2 + k
Omzetten van hoekpunt-formulier naar standaardformulier
Als u Als u een kwadratisch in hoekpuntvorm wilt converteren naar een in standaardvorm, vermenigvuldigt u eenvoudig het vierkant en combineert u soortgelijke termen. Bijvoorbeeld, de kwadratische
y = (x-2) ^ 2 + 1
Kan als volgt worden herschreven:
\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}
Converteren van standaardformulier naar hoekpuntformulier
Het is moeilijker om te zetten van standaardformulier naar hoekpuntvorm. Het proces wordt “het kwadraat voltooien” genoemd.
Conversie Wanneer a = 1
We tellen dit getal dan als volgt op en trekken het af:
y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4
Conversie When a \ neq 1
Het is iets gecompliceerder om een standaardformulier naar een hoekpuntvorm te converteren als de coëfficiënt a dat niet is gelijk aan 1. We kunnen de techniek nog steeds gebruiken, maar we moeten voorzichtig zijn om eerst de a te ontbinden, zoals in het volgende voorbeeld:
Beschouw y = 2x ^ 2 + 12x + 5. We factoriseren de coëfficiënt 2 van de eerste twee termen, schrijf dit als:
y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5
y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5
We kunnen de berekening dan als volgt voltooien:
\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}
Dus het hoekpunt van deze parabool is (-3, -13).
Kwadratische vergelijkingen in standaardvorm tekenen
Een kwadratische functie is een polynoomfunctie in de vorm y = ax ^ 2 + bx + c.
Key Take aways
Sleutelpunten
- De grafiek van een kwadratische functie is een parabool waarvan de symmetrieas parallel is aan de y-as.
- De coëfficiënten a, b en c in de vergelijking y = ax ^ 2 + bx + c bepalen verschillende facetten van hoe de parabool eruitziet wanneer deze wordt getekend.
Sleutelbegrippen
- hoekpunt: het maximum of minimum van een kwadratische functie.
- parabool: de vorm gevormd door de grafiek van een kwadratische functie.
- kwadratisch: een polynoom van graad twee.
Een kwadratische functie in de vorm
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x
is in standaardvorm.
Ongeacht het formaat, de grafiek van een kwadratische functie is een parabool.
De grafiek van y = x ^ 2-4x + 3: de grafiek van elke kwadratische vergelijking is altijd een parabool.
Coëfficiënten en grafieken van kwadratische functies
Elke coëfficiënt in een kwadratische functie in standaardvorm heeft invloed op de vorm en plaatsing van de grafiek van de functie.
Coëfficiënt van x ^ 2, a
De coëfficiënt a regelt de snelheid van toename (of afname) van de kwadratische functie vanaf het hoekpunt. Een grotere, positieve a zorgt ervoor dat de functie sneller toeneemt en de grafiek dunner lijkt.
The Axis of Symmetry
x = – \ dfrac {b} {2a}
x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1
Het hoekpunt heeft ook x-coördinaat 1.
De grafiek van y = 2x ^ 2-4x + 4 .: de symmetrieas is een verticale lijn evenwijdig aan de y-as op x = 1.
