Enhetsceller

Enhetsceller: TheSimplest Repeating Unit in a Crystal

Strukturen til faste stoffer kan beskrives som om de var tredimensjonale analoger av et stykke tapet. Wallpaper har et vanlig gjentatt design som strekker seg fra den ene kanten til den andre. Krystaller har en lignende gjentatt design, men i dette tilfellet strekker designen seg i tre dimensjoner fra den ene kanten av det faste stoffet til den andre.

Vi kan utvetydig beskrive et tapet ved å spesifisere størrelsen, formen og innholdet på enkleste gjenta enheten i designet. Vi kan beskrive en tredimensjonal krystall ved å spesifisere størrelsen, formen og innholdet på den enkleste repeterende enheten og måten disse repeterende enhetene danner for å danne krystallen.

Den enkleste repeterende enheten i en krystall kalles en enhetscelle. Hver enhetscelle er definert i form av gitterpunktene i rommet der partiklene er fri til å vibrere i en krystall.

Strukturen til enhetscellen for en rekke salter vist nedenfor.

I 1850, Auguste Bravais viste at krystaller kunne deles inn i 14 enhetsceller, som oppfyller følgende kriterier.

• Enhetscellen er den enkleste repeterende enheten i krystallet.
• Motsatte flater av en enhetscelle er parallell.
• Kanten av enhetscellen forbinder ekvivalente punkter.

De 14 Bravais-enhetscellene er vist i figuren nedenfor.

Disse enhetscellene faller inn i syv kategorier, som er forskjellige i de tre enhetscellelengdene (a, b og c ) og tre indre vinkler (a, � og g), som vist i tabellen nedenfor.

De syv kategoriene for Bravais-enhetsceller

Vi vil fokusere på den kubiske kategorien, som inkluderer de tre typene av enhetsceller enkelkubiske, kroppssentrerte kubikk og ansiktssentrerte kubikk vist i figuren nedenfor.

Disse enhetscellene er viktige av to grunner. For det første krystalliserer et antall metaller, ioniske faste stoffer og intermetalliske forbindelser i kubiske enhetsceller. For det andre er det relativt enkelt å gjøre beregninger med disse enhetscellene fordi cellekantelengdene er de samme og cellevinklene er 90.

Den enkle kubiske enhetscellen er den enkleste gjenta enheten i en enkel kubisk struktur . Hvert hjørne av enhetscellen er definert av et gitterpunkt hvor et atom, ion eller molekyl kan bli funnet i krystallen. I henhold til konvensjonen forbinder kanten av en enhet på samme tid likeverdige punkter. Hvert av de åtte hjørnene i enhetscellen må derfor inneholde en identisk partikkel. Andre partikler kan være tilstede på kantene eller ansiktene til enhetscellen, eller i kroppen til enhetscellen. Men minimumet som må foreligge for at enhetscellen skal klassifiseres som enkle kubikk er likeverdige partikler på de åtte hjørnene.

Den kroppssentrerte kubiske enhetscellen er den enkleste repeterende enheten i en kroppssentrert kubisk struktur. Nok en gang er det åtte identiske partikler på enhetens celle åtte hjørner. Imidlertid er denne gangen et niende identisk partikkel i midten av kroppen til enhetscellen.

Den ansiktssentrerte kubiske enhetscellen starter også med identiske partikler på kubens åtte hjørner. Men denne strukturen inneholder også de samme partiklene i midten av de seks overflatene til enhetscellen, til sammen 14 identiske gitterpunkter.

Den ansiktssentrerte kubiske enhetscellen er den enkleste repeteringsenheten i en kubisk nærmest pakket struktur. Faktisk forklarer tilstedeværelsen av ansiktssentrerte kubiske enhetsceller i denne strukturen hvorfor strukturen er kjent som kubisk nærmest pakket.

Enhetsceller: AThree-Dimensional Graph

Gitteret peker i en kubisk enhetscelle kan beskrives mellomrom av en tredimensjonal graf. Fordi alle tre cellekantlengder er like i en kubisk enhetscelle, spiller det ingen rolle hvilken orientering som brukes til a, b og caxes. For argumentets skyld vil vi definere a-aksen som den vertikale aksen til vår koordinatsystemet, som vist i figuren nedenfor.

B-aksen vil da beskrive bevegelse over fronten av enhetscellen, og c-aksen vil representere bevegelse mot baksiden av enhetscellen. Videre definerer vi vilkårlig nedre venstre hjørne av enhetscellen som opprinnelse (0,0,0). Koordinatene 1,0,0 indikerer et gitterpunkt som er en cellekantlengde vekk fra opprinnelsen langs aksen. Tilsvarende representerer 0,1,0 og 0,0,1 gitterpunkter som fortrenges av en cellekantlengde fra henholdsvis båndets c-akser.

Tenker på enhetscellen som en tre -dimensjonal graf tillater oss å beskrive strukturen til en krystall med utrolig liten mengde informasjon. Vi kan spesifisere strukturen av cesiumklorid, for eksempel, med bare fire deler av informasjonen.

Fordi cellekanten må koble ekvivalente gitterpunkter, innebærer tilstedeværelsen av en Clion i det ene hjørnet av enhetscellen (0,0,0) tilstedeværelsen av et Clion i hvert hjørne av cellen . Koordinatene 1 / 2,1 / 2,1 / 2 beskriver gitterpunkt i midten av cellen. Fordi det ikke er noe annet punkt i enhetscellen som er en cellekantlengde unna disse koordinatene, er dette det eneste Cs + ionet i cellen. CsCl er derfor en enkel kubisk enhetscelle av Cl-ioner med en Cs + i midten av kroppens kropp.

Enhetsceller: NaCl og ZnS

NaCl skal krystallisere i en kubikk nærmest pakket rekke Cl-ioner med Na + -ioner i de oktaedriske hullene mellom planetene for Cl-ioner. Vi kan oversette denne informasjonen til en enhetscellemodell for NaCl ved å huske at den overflatesentrerte kubiske enhetscellen er den enkleste repeterende enheten i akubisk nærmest pakket struktur.

Figuren nedenfor viser at det er et oktaedrisk hull i sentrum av en ansiktssentrert kubisk enhetscelle, ved koordinatene1 / 2,1 / 2,1 / 2. Enhver partikkel berører på dette punktet partiklene i midten av enhetscellens seks flater.

De andre oktaedriske hullene i en ansiktssentrert kubisk enhetskjeller på kantene av cellen, som vist på figuren nedenfor.

Hvis klioner okkuperer gitterpunktene i en avacentrert kubisk enhetscelle og alle de oktaedriske hullene er fylt med Na + -ioner, får vi enhetscellen vist i figuren nedenfor.

Vi kan derfor beskrive strukturen til NaCl i form av følgende informasjon.

Plassering av en Clion i disse fire posisjonene innebærer tilstedeværelsen av en Cl- ion på hvert av de 14 gitterpunktene som definerer en ansiktssentrert kubisk enhet. Plassering av et Na + -ion i midten av enhetscellen (1 / 2,1 / 2,1 / 2) og på de tre unike kantene av enhetscellen (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 ; og 0,0,1 / 2) krever et ekvivalent Na + -ion i hvert oktaedrisk hull i enhetscellen.

ZnS krystalliserer som kubisk nærmest pakket S2-ioner med Zn2 + -ioner i tetrahedrale hull. S2-ionene i denne krystallen har de samme posisjonene som Cl-ionene i NaCl. Den eneste forskjellen mellom disse krystallene er plasseringen av de positive ionene. Figuren nedenfor viser at tetraedrale hull i en ansiktssentrert kubisk enhetscelle er i hjørnene til enhetscellen, ved koordinater som 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Anatom med disse koordinatene ville berøre atomet i denne hjørnekronen, samt atomene i midten av de tre ansiktene som danner dette hjørnet. Selv om det er vanskelig å se uten en tredimensjonal modell, er de fire atomene som omgir dette holearet ordnet mot hjørnene av et tetraeder.

Fordi hjørnene til en kubisk enhetscelle er identiske, må det være et tetraedrisk hull i hvert av de åtte hjørnene til den flatsentrerte kubiske enhetscellen. Hvis S2-ioner okkuperer gitterpunktene til en ansiktssentrert kubisk enhetscelle, og Zn2 + -ioner pakkes inn i hvert annet tetraederhull, får vi enhetscellen til ZnS vist i figuren nedenfor.

Strukturen til ZnS kan derfor beskrives som følger.

Merk at bare halvparten av de tetraedriske hullene er okkupert i denne krystallen fordi det er to tetraeder hull for hver S2-ion i et nærmest pakket utvalg av disse ionene.

Enhetsceller: Måling av avstanden mellom partikler

Nikkel er et av metallene som krystalliserer seg i en kubikkmest pakket struktur. Når du tenker på at et nikkelatom bare har en masse på 9,75 x 10-23 g og en ionisk radius på bare 1,24 x 10-10 m, er det en bemerkelsesverdig prestasjon å kunne beskrive strukturen til dette metallet. Det åpenbare spørsmålet er: Hvordan vet vi at nikkelpakker i en kubikk nærmest pakket struktur?

Den eneste måten å bestemme materiens struktur på en atomskala er å bruke en sonde som er enda mindre. En av de mest nyttige probene for å studere materie på denne skalaen er elektromagnetisk stråling.

I 1912 fant Max van Laue at røntgenstråler som traff overflaten til en krystall ble fordelt i mønstre som lignet mønstrene som ble produsert når lyset passerte en veldig smalbelyst. Kort tid etter forklarte William Lawrence Bragg, som nettopp fullførte sin lavere grad i fysikk ved Cambridge, van Laues resultater med en ligning kjent som Braggequation, som gjør det mulig for oss å beregne avstanden mellom atomplanene i en krystall fra mønsteret for diffraksjon av x -stråler med kjent bølgelengde.

n = 2d sin T

Mønsteret som røntgenstråler blir diffrert av nikkelmetaller foreslår at dette metallet pakker i en kubisk enhetscelle med motstand mellom atomplanene på 0,3524 nm. Dermed må cellekantlengden i denne krystallet være 0,3524 nm. Å vite at nikkel krystalliserer i en kubisk enhetscelle er ikke nok.Vi må fortsatt avgjøre om det er en enkel kubikk, kroppssentrert kubikk eller ansiktssentrert kubisk enhetscelle. Dette kan gjøres ved å måle tettheten til metallet.

Enhetsceller: Bestemme enhetscellen til et krystall

Atomer på hjørnene, kantene og ansiktene til en enhetscelle deles av mer enn en enhetscelle, som vist i figuren nedenfor. Et atom i ansiktet deles av to enhetsceller, så bare halvparten av atomet tilhører hver av disse cellene. Et atom på en kant er delt av fire enhetsceller, og et atom på et hjørne deles av åtte enhetsceller. Således kan bare en fjerdedel av et atom på en kant og en åttendedel av et atom på et hjørne tildeles hver av enhetscellene som deler disse atomene.

Hvis nikkel krystalliseres i en enkel kubisk enhetscelle, ville det være et nikkelatom på hvert av de åtte hjørnene i cellen. Fordi bare en åttendedel av disse atomene kan tildeles en gitt enhetscelle, vil hver enhetscelle i en enkel kubisk struktur ha ett netto nikkelatom.

Enkel kubisk struktur:

8 hjørner x 1/8 = 1 atom

Hvis nikkel dannet en kroppssentrert kubisk struktur, ville det være to atomer per celleenhet, fordi nikkelatomet i midten av kroppen ville ikke deles med andre enhetsceller.

Kroppssentrert kubisk struktur:

(8 hjørner x 1/8) + 1 kropp = 2 atomer

Hvis nikkel krystalliserte i en ansiktssentrert kubisk struktur, ville de seks atomer på enhetscellens overflater bidra med tre nikkelatomer, for totalt fire atomer per enhetscelle.

Ansiktsentrert kubisk struktur:

(8 hjørner x 1/8) + (6 flater x 1/2) = 4 atomer

Fordi de har forskjellige antall atomer i en enhetscelle, vil hver av disse strukturene ha forskjellig tetthet. La oss derfor beregne tettheten for nikkel basert på hver av strukturene og enhetens cellekantlengde for nikkel gitt i forrige seksjon: 0,3524 nm. For å gjøre dette, må vi kjenne volumet til enhetscellen i kubikkcentimeter og massen av et enkelt nikkelatom.

Volumet (V) av enhetscellen er lik cellekantlengden (a) i kubikk.

V = a3 = (0,3524nm) 3 = 0,04376 nm3

Siden det er 109 nm i meter og 100 cm i ameter, må det være 107 nm i cm.

Vi kan derfor konvertere volumet til enhetscellen til cm3 som følger.

Massen av et nikkelatom kan beregnes ut fra atomvekten til dette metallet og Avogadros nummer.

Tettheten av nikkel, hvis den krystalliserte seg i en enkel kubikkstruktur, ville den derfor være 2,23 g / cm3 til treverdige figurer.

Enkel kubisk struktur:

Fordi det ville være dobbelt så mange atomer per enhet celle hvis nikkel krystalliserte i en kroppssentrert kubisk struktur, ville tettheten av nikkel i denne strukturen være dobbelt så stor.

Kroppssentrert kubisk struktur:

Det ville være fire atomer per celleenhet i en ansiktssentrert kubisk struktur, og tettheten av nikkel i denne strukturen ville være fire ganger så stor.

Ansiktssentrert kubisk struktur:

Den eksperimentelle verdien for tettheten av nikkel er 8,90 g / cm3. Den åpenbare konklusjonen er at nikkel krystalliserer i en avacentrert kubisk enhetscelle og derfor har en kubikk -pakket struktur.

Enhetsceller: CalculatingMetallic eller Ionic Radii

Estimater av radiene til de fleste metallatomer kan bli funnet. Hvor kommer disse dataene fra? Hvordan vet vi for eksempel at theradius av et nikkelatom er 0.1246 nm?

Nikkel krystalliserer i en ansiktssentrert kubisk enhetscelle med acell-kantlengde på 0,3524 nm for å beregne radiusen til et nikkelatom .

Ett av ansiktene til en ansiktssentrert kubisk enhetscelle er vist i figuren nedenfor.

Ifølge denne figuren er diagonalen over ansiktet til denne enhetcellen lik fire ganger radiusen til et nikkelatom .

Pythagorasetningen sier at diagonalen over den rette trekanten er lik summen av kvadratene til de andre sidene. Diagonalen over enhetscellens overflate er derfor relatert til enhetscellens kantlengde ved hjelp av følgende ligning.

Tar kvadratroten på begge sider gir følgende resultat.

Vi erstatter nå forholdet mellom diagonalen over ansiktet av denne ligningen denne enhetscellen og radiusen til et nikkelatom:

Å løse radiusen til et nikkelatom gir en verdi på 0.1246 nm:

En lignende tilnærming kan tas for å estimere størrelsen på anion.La oss starte med å bruke det faktum at cellekantlengden incesiumklorid er 0,4123 nm for å beregne avstanden mellom sentrene til Cs + og Cl-ionene i CsCl.

CsCl krystalliserer seg i en enkel kubisk enhetscelle av Cl-ioner med et Cs + -ion i midten av kroppens kropp, som vist i figuren nedenfor.

Før vi kan beregne avstanden mellom sentrene til Cs + og Cl-ionene i denne krystallen, men vi må gjenkjenne gyldigheten til en av de enkleste antagelsene om ioniske faste stoffer: Den positive og negative ionen som danner disse krystallene berører.

Vi kan derfor anta at diagonalen over kroppen til CsCl-enhetscellen tilsvarer summen av radiene til toClioner og to Cs + -ioner.

Den tredimensjonale ekvivalenten til Pythagoras teorier antyder at kvadratet til diagonalen over kuben er summen av kvadratene på de tre sidene.

Å ta kvadratroten på begge sider av denne ligningen gir følgende resultat.

Hvis cellekantlengden i CsCl er 0,4123 nm, er diagonalen over kroppen i denne enhetscellen 0,7141 nm.

Summen av de ioniske radiene til Cs + og Cl-ioner er halvparten av denne avstanden, eller 0,3571 nm.

Hvis vi hadde et estimat på størrelsen på enten Cs + eller Clion, kunne vi bruke resultatene til å beregne radius av det andre ionet. Den ioniske radiusen til Cl-ionet er 0,181 nm. Ved å erstatte denne verdien i den siste ligningen, får du en verdi på 0,176 nm for radiusen til Cs + ionet.

Resultatene av denne beregningen er i rimelig samsvar med verdien av 0,169 nm kjent for radiusen til Cs + ionet. Avviket mellom disse verdiene gjenspeiler det faktum at de tematiske radiene varierer fra en krystall til en annen. Tabellverdiene er gjennomsnitt av resultatene av en rekke beregninger av denne typen.