포물선

2 차 함수의 그래프는 포물선이며, 그 부분은 함수에 대한 귀중한 정보를 제공합니다.

2 차 함수의 형식은 다음과 같습니다.

\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.

여기서 a, b, c는 상수이고 a \ neq 0입니다.

2 차 함수의 그래프는 포물선이라고하는 U 자형 곡선입니다. 이 모양은 아래와 같습니다.

포물선의 특징

파라볼라에는 데카르트 평면에서의 모양과 배치를 특징 짓는 몇 가지 인식 할 수있는 특징이 있습니다.

정점

포물선의 한 가지 중요한 특징은 꼭지점이라고하는 극단 점이 있다는 것입니다. 포물선이 열리면 꼭짓점은 그래프에서 가장 낮은 점 또는 2 차 함수의 최소값을 나타냅니다. 포물선이 열리면 정점은 그래프에서 가장 높은 지점 또는 최대 값을 나타냅니다. 두 경우 모두 꼭짓점은 그래프의 전환점입니다.

대칭 축

파라볼라는 y 축에 평행 한 대칭 축도 있습니다. 대칭 축은 꼭지점을 통과하는 수직선입니다.

y- 절편

y 절편은 포물선이 y 축을 교차하는 지점입니다. 2 차 함수 그래프의 경우 이러한 점이 하나 이상있을 수 없습니다. 만약 있다면, 곡선은 하나의 x 값에 대해 두 개의 y 값이 0에 있기 때문에 함수가 아닙니다.

x-intercepts

2 차 함수가 0으로 설정되면 결과는 2 차 방정식이됩니다. 방정식의 해를 함수의 근이라고합니다. 이것들은 포물선의 x 절편으로 관찰 할 수있는 동일한 근입니다.

2 차 해의 그래픽 해석

2 차 함수의 근은 대수적으로 또는 그래픽으로 찾을 수 있습니다.

2 차의 근이 어떻게 함수는 이차 공식 (x = \ frac {-b \ pm \)을 사용하여 대수적으로 찾을 수 있습니다. sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). 2 차 함수의 근은 그래프에 대한 관찰을 통해 그래픽으로 찾을 수도 있습니다. 이는 동일한 값에 도달하는 데 사용할 수있는 두 가지 다른 방법이며 이제 어떻게 관련되는지 살펴 보겠습니다.

아래 그래프에 표시된 2 차 함수를 고려해보십시오. 그래픽과 대수적으로 그 근을 구해 봅시다.

이제 2 차 공식을 사용하여 f (x) = x ^ 2-x-2의 근을 대수적으로 풀어 봅시다.

2 차 방정식은 f (x) 대신 0과 같은 2 차 표현식을 설정합니다.

0 = x ^ 2-x-2

대체 이차 공식에서 이러한 값 :

x = \ dfrac {-(-1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (-2)}} {2 (1 )}

간단히 말하자면 다음과 같습니다.

x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\

그리고

x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}

이제 x에 대해 가능한 두 가지 값 : \ frac {1 + 3} {2} 및 \ frac {1- 3} {2}.

예

2 차 함수의 근 구하기 f (x) = x ^ 2-4x + 4. 그래픽 및 대수적으로 해결합니다.

함수 그래프를 보면 x 축과 교차하지 않는 것을 알 수 있습니다. 따라서 실제 뿌리가 없습니다.

이를 2 차 공식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

x = \ dfrac {-(-4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}

단순화하면 다음과 같습니다.

x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}

공식에 \ sqrt {-4}가 있습니다. 실수가 아닙니다. 따라서 주어진 2 차 함수에 대한 실제 근이 없습니다. 우리는 그래픽으로 도달 한 것과 동일한 결론에 도달했습니다.

정점 형식으로 2 차 방정식 그래프 작성

2 차 함수의 정점 형식을 사용하면 정점을 쉽게 찾을 수 있습니다.

2 차 방정식 다양한 형태를 취할 수 있습니다. 이미 표준 형식을 보셨습니다 :

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c

다른 일반적인 형식은 정점 형식이라고합니다. 이차는이 형식으로 작성되며 정점이 어디에 있는지 쉽게 알 수 있습니다. 정점 형식은 다음과 같이 지정됩니다.

f (x) = a (xh) ^ 2 + k

정점 형식에서 표준 형식으로 변환

정점 형식의 2 차를 표준 형식의 1로 변환하려면 사각형을 곱하고 유사한 용어를 결합하면됩니다. 예를 들어 2 차

y = (x-2) ^ 2 + 1

다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}

표준 형식에서 정점 형식으로 변환

표준 형식에서 정점 형식으로 변환하기가 더 어렵습니다. 이 과정을 “제곱 완성”이라고합니다.

변환 a = 1

그런 다음이 숫자를 다음과 같이 더하고 뺍니다.

y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4

\ neq 1 일 때의 변환

계수 a가 아닌 경우 표준 형식을 꼭지점 형식으로 변환하는 것이 약간 더 복잡합니다. 1과 같습니다. 우리는 여전히이 기술을 사용할 수 있지만 다음 예에서와 같이 먼저 a를 빼내야합니다.

y = 2x ^ 2 + 12x + 5를 고려합니다. 계수를 빼냅니다. 처음 두 항에서 2, 다음과 같이 작성합니다.

y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5

y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5

그러면 다음과 같이 계산을 완료 할 수 있습니다.

\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}

그러므로이 포물선의 꼭지점은 (-3, -13)입니다.

표준 형식으로 2 차 방정식 그래프 작성

2 차 함수는 y = ax ^ 2 + bx + c 형식의 다항 함수입니다.

형식의 2 차 함수

f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x

은 표준 형식입니다.

형식에 관계없이 2 차 함수의 그래프는 포물선입니다.

2 차 함수의 계수 및 그래프

표준 형식의 2 차 함수의 각 계수는 함수 그래프의 모양과 배치에 영향을줍니다.

x ^ 2의 계수, a

계수 a는 정점에서 2 차 함수의 증가 (또는 감소) 속도를 제어합니다. a가 크고 양수이면 함수가 더 빨리 증가하고 그래프가 더 얇아 보입니다.

대칭 축

x =-\ dfrac {b} {2a}

x =-\ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1

정점에도 x 좌표 1이 있습니다.

포물선의 y 절편