Einheitszellen

Einheitszellen: Die einfachste sich wiederholende Einheit in einem Kristall

Die Struktur von Festkörpern kann so beschrieben werden, als ob sie waren dreidimensionale Analoga eines Tapetenstücks. Tapeten haben ein sich regelmäßig wiederholendes Design, das sich von einer Kante zur anderen erstreckt. Kristalle haben ein ähnliches sich wiederholendes Design, aber in diesem Fall erstreckt sich das Design in drei Dimensionen von einer Kante des Festkörpers zur anderen.

Wir können ein Stück Tapete eindeutig beschreiben, indem wir die Größe, Form und den Inhalt der Tapete angeben einfachste Wiederholungseinheit im Design. Wir können einen dreidimensionalen Kristall beschreiben, indem wir die Größe, Form und den Inhalt der einfachsten Wiederholungseinheit und die Art und Weise, wie diese Wiederholungseinheiten den Kristall bilden, angeben.

Die einfachste Wiederholungseinheit in einem Kristall wird als Einheitszelle bezeichnet. Jede Einheitszelle wird als Gitterpunkt definiert – die Punkte im Raum, um die die Teilchen in einem Kristall frei schwingen können.

Die Strukturen der Einheitszelle für eine Vielzahl von Salzen sind unten dargestellt.

1850, Auguste Bravais zeigte, dass Kristalle in 14 Einheitszellen unterteilt werden können, die die folgenden Kriterien erfüllen.

• Die Einheitszelle ist die einfachste sich wiederholende Einheit im Kristall.
• Gegenüberliegende Flächen von Eine Einheitszelle ist parallel.
• Der Rand der Einheitszelle verbindet äquivalente Punkte.

Die 14 Bravais-Einheitszellen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Diese Einheitszellen fallen in sieben Kategorien, die sich in den drei Kantenlängen der Einheitszellen (a, b und c) unterscheiden ) und drei Innenwinkel (a, � und g), wie in der folgenden Tabelle gezeigt.

Die sieben Kategorien von Bravais-Einheitszellen

Wir konzentrieren uns auf die kubische Kategorie, einschließlich Die drei Arten von Einheitszellen einfache kubische, körperzentrierte kubische und flächenzentrierte Kubik sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Diese Einheitszellen sind aus zwei Gründen wichtig. Erstens kristallisieren eine Reihe von Metallen, ionischen Feststoffen und intermetallischen Verbindungen in kubischen Einheitszellen. Zweitens ist es mit diesen Einheitszellen relativ einfach, Berechnungen durchzuführen, da die Zellkantenlängen alle gleich und die Zellwinkel alle 90 sind.

Die einfache kubische Einheitszelle ist die einfachste Wiederholungseinheit in einer einfachen kubischen Struktur . Jede Ecke der Elementarzelle ist durch einen Gitterpunkt definiert, an dem sich ein Atom, ein Ion oder ein Molekül im Kristall befindet. Konventionell verbindet die Kante einer Einheitszelle immer äquivalente Punkte. Jede der acht Ecken der Einheitszelle muss daher ein identisches Partikel enthalten. Andere Partikel können an den Kanten oder Flächen der Einheitszelle oder im Körper der Einheitszelle vorhanden sein. Das Minimum, das vorhanden sein muss, damit die Einheitszelle an den acht Ecken als einfache kubisch-achtäquivalente Partikel klassifiziert werden kann.

Die körperzentrierte kubische Einheitszelle ist die einfachste sich wiederholende Einheit in einer körperzentrierten kubischen Struktur. Wiederum befinden sich acht identische Partikel an den acht Ecken der Einheitszelle. Diesmal befindet sich jedoch ein neuntes identisches Teilchen in der Mitte des Körpers der Einheitszelle.

Die flächenzentrierte kubische Einheitszelle beginnt auch mit identischen Teilchen an den acht Ecken des Würfels. Diese Struktur enthält aber auch die gleichen Partikel in den Zentren der sechs Flächen der Elementarzelle für insgesamt 14 identische Gitterpunkte.

Die flächenzentrierte kubische Einheitszelle ist die einfachste Wiederholungseinheit in einer kubisch dicht gepackten Struktur. Tatsächlich erklärt das Vorhandensein von flächenzentrierten kubischen Einheitszellen in dieser Struktur, warum die Struktur als kubisch am dichtesten gepackt bekannt ist.

Einheitszellen: Dreidimensionaler Graph

Das Gitter zeigt in Eine kubische Einheitszelle kann als Zwischenräume eines dreidimensionalen Graphen beschrieben werden. Da alle drei Zellkantenlängen in einer kubischen Einheitszelle gleich sind, spielt es keine Rolle, welche Ausrichtung für die Achsen a, b und cax verwendet wird. Aus Gründen der Argumentation definieren wir die a-Achse als vertikale Achse unserer Koordinatensystem, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Die b-Achse beschreibt dann die Bewegung über die Vorderseite der Einheitszelle, und die c-Achse repräsentiert die Bewegung nach hinten die Einheitszelle. Außerdem definieren wir die untere linke Ecke der Einheitszelle willkürlich als Ursprung (0,0,0). Die Koordinaten 1,0,0 geben einen Gitterpunkt an, der eine Zellkantenlänge vom Ursprung entlang der Achse entfernt ist. In ähnlicher Weise stellen 0,1,0 und 0,0,1 Gitterpunkte dar, die um eine Zellkantenlänge vom Ursprung entlang der Band-c-Achsen verschoben sind.

Betrachten Sie die Einheitszelle als eine Drei -dimensionale Grafiken ermöglichen es uns, die Struktur eines Kristalls mit bemerkenswert wenig Informationen zu beschreiben. Wir können die Struktur von Cäsiumchlorid beispielsweise mit nur vier Informationen spezifizieren.

Da die Zellenkante äquivalente Gitterpunkte verbinden muss, impliziert das Vorhandensein eines Cl-Ions an einer Ecke der Einheitszelle (0,0,0) das Vorhandensein eines Cl-Ions an jeder Ecke der Zelle . Die Koordinaten 1 / 2,1 / 2,1 / 2 beschreiben den Gitterpunkt in der Mitte der Zelle. Da es in der Einheitszelle keinen anderen Punkt gibt, der eine Zellkantenlänge von diesen Koordinaten entfernt ist, ist dies das einzige Cs + -Ion in der Zelle. CsCl ist daher eine einfache kubische Einheitszelle von Cl-Ionen mit einem Cs + in der Mitte des Zellkörpers.

Einheitszellen: NaCl und ZnS

NaCl sollten in a kristallisieren kubisch dicht gepackte Anordnung von Cl-Ionen mit Na + -Ionen in den oktaedrischen Löchern zwischen Ebenen von Cl- -Ionen. Wir können diese Informationen in ein Einheitszellenmodell für NaCl übersetzen, indem wir uns daran erinnern, dass die flächenzentrierte kubische Einheitszelle die einfachste sich wiederholende Einheit in einer am dichtesten gepackten Struktur ist.

Die folgende Abbildung zeigt, dass es ein oktaedrisches Loch gibt im Zentrum einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle an den Koordinaten 1 / 2,1 / 2,1 / 2. Jedes Partikel an diesem Punkt berührt die Partikel in den Zentren der sechs Flächen der Elementarzelle.

Die anderen oktaedrischen Löcher in einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle befinden sich an den Rändern der Zelle, wie in der Abbildung gezeigt unten.

Wenn Cl-Ionen die Gitterpunkte einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle besetzen und alle oktaedrischen Löcher mit Na + -Ionen gefüllt sind, erhalten wir die in der folgenden Abbildung gezeigte Einheitszelle.

Wir können daher die Struktur von NaCl anhand der folgenden Informationen beschreiben.

Das Platzieren eines Cl-Ions an diesen vier Positionen impliziert das Vorhandensein eines Cl- auf jedem der 14 Gitterpunkte, die eine flächenzentrierte kubische Einheit definieren. Platzieren eines Na + -Ions in der Mitte der Einheitszelle (1 / 2,1 / 2,1 / 2) und an den drei einzigartigen Kanten der Einheitszelle (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0) ; und 0,0,1 / 2) erfordert ein äquivalentes Na + -Ion in jedem Oktaederloch in der Elementarzelle.

ZnS kristallisiert als kubisch dicht gepackte Anordnung von S2-Ionen mit Zn2 + -Ionen in tetraedrischen Löchern. Die S2-Ionen in diesem Kristall nehmen die gleichen Positionen ein wie die Cl-Ionen in NaCl. Der einzige Unterschied zwischen diesen Kristallen ist die Lage der positiven Ionen. Die folgende Abbildung zeigt, dass sich die tetraedrischen Löcher in einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle in den Ecken der Einheitszelle bei Koordinaten wie 1 / 4,1 / 4,1 / 4 befinden. Anatom mit diesen Koordinaten würde das Atom an dieser Ecke sowie die Atome in den Zentren der drei Flächen, die diese Ecke bilden, berühren. Obwohl es ohne ein dreidimensionales Modell schwer zu sehen ist, sind die vier Atome, die dieses Loch umgeben, in Richtung der Ecken eines Tetraeders angeordnet.

Da die Ecken einer kubischen Einheitszelle identisch sind, muss in jeder der acht Ecken der flächenzentrierten kubischen Einheitszelle ein tetraedrisches Loch vorhanden sein. Wenn S2-Ionen die Gitterpunkte einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle besetzen und Zn2 + -Ionen in jedes andere tetraedrische Loch gepackt werden, erhalten wir die in der folgenden Abbildung gezeigte Einheitszelle von ZnS.

Die Struktur von ZnS kann daher wie folgt beschrieben werden.

Es ist zu beachten, dass nur die Hälfte der tetraedrischen Löcher in diesem Kristall besetzt ist, da zwei Tetraeder vorhanden sind Löcher für jedes S2-Ion in einem dicht gepackten Array dieser Ionen.

Einheitszellen: Messung des Abstandes zwischen Partikeln

Nickel ist eines der Metalle, die in einem kubisch dichtesten gepackten kristallisieren Struktur. Wenn man bedenkt, dass ein Nickelatom eine Masse von nur 9,75 x 10-23 g und einen Ionenradius von nur 1,24 x 10-10 m hat, ist es eine bemerkenswerte Leistung, die Struktur dieses Metalls beschreiben zu können. Die offensichtliche Frage ist: Woher wissen wir, dass Nickel in einer kubisch dichtesten Struktur verpackt ist?

Die einzige Möglichkeit, die Struktur von Materie auf einer atomaren Skala zu bestimmen, besteht darin, eine noch kleinere Sonde zu verwenden. Eine der nützlichsten Sonden zur Untersuchung von Materie in diesem Maßstab ist die elektromagnetische Strahlung.

1912 stellte Max van Laue fest, dass Röntgenstrahlen, die auf die Oberfläche eines Kristalls trafen, in Muster gebeugt wurden, die den Mustern ähnelten, die beim Durchgang von Licht erzeugt wurden ein sehr schmaler Schlitz. Kurz danach erklärte William Lawrence Bragg, der gerade sein Grundstudium in Physik in Cambridge abgeschlossen hatte, van Laues Ergebnisse mit einer als Braggequation bekannten Gleichung, die es uns ermöglicht, den Abstand zwischen Atomebenen in einem Kristall aus dem Beugungsmuster von x zu berechnen -strahlen bekannter Wellenlänge.

n = 2d sin T

Das Muster, nach dem Röntgenstrahlen von Nickelmetallen gebeugt werden, schlägt dies vor Dieses Metall packt in einer kubischen Einheitszelle mit einem Abstand zwischen Atomebenen von 0,3524 nm. Daher muss die Zellkantenlänge in diesem Kristall 0,3524 nm betragen. Es reicht nicht aus, zu wissen, dass Nickel in einer kubischen Einheitszelle kristallisiert.Wir müssen uns noch entscheiden, ob es sich um eine einfache kubische, körperzentrierte kubische oder flächenzentrierte kubische Einheitszelle handelt. Dies kann durch Messen der Dichte des Metalls erfolgen.

Einheitszellen: Bestimmen der Einheitszelle eines Kristalls

Atome an den Ecken, Kanten und Flächen einer Einheitszelle werden durch mehr geteilt als eine Einheitszelle, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Ein Atom auf einer Fläche wird von zwei Einheitszellen geteilt, sodass nur die Hälfte des Atoms zu jeder dieser Zellen gehört. Ein Atom an einer Kante wird von vier Einheitszellen geteilt, und ein Atom an einer Ecke wird von acht Einheitszellen geteilt. Somit kann jeder Einheitszelle, die diese Atome teilt, nur ein Viertel eines Atoms an einer Kante und ein Achtel eines Atoms an einer Ecke zugewiesen werden.

Wenn Nickel in einer einfachen kubischen Einheitszelle kristallisiert, wäre ein Nickelatom an Jede der acht Ecken der Zelle. Da nur ein Achtel dieser Atome einer bestimmten Einheitszelle zugeordnet werden kann, hätte jede Einheitszelle in einer einfachen kubischen Struktur ein Netto-Nickelatom.

Einfache kubische Struktur:

8 Ecken x 1/8 = 1 Atom

Wenn Nickel eine körperzentrierte kubische Struktur bilden würde, gäbe es zwei Atome pro Einheitszelle, da sich das Nickelatom in der Körpermitte befindet würde nicht mit anderen Einheitszellen geteilt werden.

Körperzentrierte kubische Struktur:

(8 Ecken x 1/8) + 1 Körper = 2 Atome

Wenn Nickel in einer flächenzentrierten kubischen Struktur kristallisiert würde, würden diese sechs Atome auf den Flächen der Elementarzelle die grünen Nickelatome beitragen. für insgesamt vier Atome pro Einheitszelle.

Flächenzentrierte kubische Struktur:

(8 Ecken x 1/8) + (6 Flächen x 1/2) = 4 Atome

Da sie eine unterschiedliche Anzahl von Atomen in einer Einheitszelle haben, hätte jede dieser Strukturen eine unterschiedliche Dichte. Berechnen wir daher die Dichte für Nickel basierend auf jeder dieser Strukturen und der Einheitszellenkantenlänge für Nickel, die im vorherigen Abschnitt angegeben wurde: 0,3524 nm. Dazu müssen wir das Volumen der Einheitszelle in Kubikzentimetern und die Masse kennen eines einzelnen Nickelatoms.

Das Volumen (V) der Einheitszelle ist gleich der Zellkantenlänge (a) gewürfelt.

V = a3 = (0,3524 nm) 3 = 0,04376 nm3

Da ein Meter 109 nm und ein Ameter 100 cm aufweist, muss ein cm 107 nm betragen.

Wir können daher das Volumen der Einheitszelle wie folgt in cm3 umwandeln.

Die Masse eines Nickelatoms kann aus dem Atomgewicht dieses Metalls und der Avogadro-Zahl berechnet werden.

Die Dichte von Nickel, Wenn es in einer einfachen kubischen Struktur kristallisiert, wären es daher 2,23 g / cm3 für drei signifikante Zahlen.

Einfache kubische Struktur:

Da in einer körperzentrierten kubischen Struktur doppelt so viele Atome pro Einheitszelle vorhanden wären, wenn Nickel kristallisiert würde, wäre die Nickeldichte in dieser Struktur doppelt so groß.

Körperzentrierte kubische Struktur:

In einer flächenzentrierten kubischen Struktur wären vier Atome pro Einheitszelle vorhanden, und die Dichte von Nickel in dieser Struktur wäre vier mal so groß.

Gesichtszentrierte kubische Struktur:

Der experimentelle Wert für die Dichte von Nickel beträgt 8,90 g / cm3. Die offensichtliche Schlussfolgerung ist, dass Nickel in einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle kristallisiert und daher eine kubisch dichteste hat gepackte Struktur.

Einheitszellen: Berechnung von Metall- oder Ionenradien

Schätzungen der Radien der meisten Metallatome können gefunden werden. Woher kommen diese Daten? Woher wissen wir zum Beispiel, dass der Radius eines Nickelatoms 0,1246 nm beträgt?

Nickel kristallisiert in einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle mit einer Kantenlänge von 0,3524 nm, um den Radius eines Nickelatoms zu berechnen

Eine der Flächen einer flächenzentrierten kubischen Einheitszelle ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Gemäß dieser Figur entspricht die Diagonale über die Fläche dieser Einheitszelle dem vierfachen Radius eines Nickelatoms

Der Satz von Pythagoras besagt, dass die Diagonale über das rechte Dreieck gleich der Summe der Quadrate der anderen Seiten ist. Die Diagonale über die Fläche der Einheitszelle wird daher durch die folgende Gleichung mit der Kantenlänge der Einheitszelle in Beziehung gesetzt.

Nehmen Die Quadratwurzel beider Seiten ergibt das folgende Ergebnis:

Wir setzen nun in diese Gleichung die Beziehung zwischen der Diagonale über der Fläche von ein Diese Einheitszelle und der Radius eines Nickelatoms:

Das Auflösen nach dem Radius eines Nickelatoms ergibt einen Wert von 0,1246 nm:

Ein ähnlicher Ansatz kann zur Schätzung der Größe des Anions verwendet werden.Beginnen wir mit der Tatsache, dass die Inesiumchloridlänge der Zellkantenlänge 0,4123 nm beträgt, um den Abstand zwischen den Zentren der Cs + – und Cl- -Ionen inCsCl zu berechnen. CsCl kristallisiert in einer einfachen kubischen Einheitszelle von Cl-Ionen mit einem Cs + -Ion in der Mitte des Zellkörpers, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Vorher Wir können den Abstand zwischen den Zentren der Cs + – und Cl- -Ionen in diesem Kristall berechnen. Wir müssen jedoch die Gültigkeit einer der einfachsten Annahmen über ionische Feststoffe erkennen: Die positiven und negativen Ionen, die diese Kristalle bilden, berühren sich.

Wir können daher annehmen, dass die Diagonale über den Körper der CsCl-Einheitszelle der Summe der Radien von zwei Cl-Ionen und zwei Cs + -Ionen entspricht.

Das dreidimensionale Äquivalent der pythagoreischen Theoreme schlägt vor, dass das Quadrat der Diagonale über den Körper von acube die Summe der Quadrate der drei Seiten ist.

Die Quadratwurzel beider Seiten dieser Gleichung ergibt das folgende Ergebnis.

Wenn die Zellkantenlänge in CsCl 0,4123 nm beträgt, beträgt die Diagonale über den Körper in dieser Einheitszelle 0,7141 nm.

Die Summe der Ionenradien von Cs + – und Cl-Ionen beträgt die Hälfte dieses Abstands oder 0,3571 nm.

Wenn wir eine Schätzung der Größe von Cs + oder Clion hätten, könnten wir die Ergebnisse verwenden, um Berechnen Sie den Radius des anderen Ions. Der Ionenradius des Cl-Ions beträgt 0,181 nm. Das Einsetzen dieses Wertes in die letzte Gleichung ergibt einen Wert von 0,176 nm für den Radius des Cs + -Ions.

Die Ergebnisse dieser Berechnung stimmen in angemessener Weise mit dem bekannten Wert von 0,169 nm überein für den Radius des Cs + -Ions. Die Diskrepanz zwischen diesen Werten spiegelt die Tatsache wider, dass die thationischen Radien von Kristall zu Kristall variieren. Die tabellarischen Werte sind Durchschnittswerte der Ergebnisse einer Reihe von Berechnungen dieses Typs.