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この問題を初めて聞いたとき、私は太平洋岸北西部の小さな大学の300レベルの数理統計学コースに座っていました。それは約30人の学生のクラスであり、教授は私たちの少なくとも2人が同じ誕生日を共有することに賭けました。

その後、彼は全員に誕生日を述べさせるように進みました。私の番になると、誕生日を「2立方、3立方」と言いました。これは、脳の教授が日付を解読するのにしばらく時間がかかったため、クラスを笑わせました。

とにかく、彼が到着する前に予測したように最後の生徒が一致する誕生日のペアを見つけました。

一致するペアを見つけたのはどれほど幸運でしたか？

ウォームアップ

仮定：簡単にするために、2月29日に生まれる可能性は無視します。

脳を温める簡単な例から始めましょう。

その確率はどれくらいですか。 2人が同じ誕生日を共有しますか？

Aさんは私たちが最初に尋ねる人なので、1年中いつでも生まれることができます。1年中いつでも生まれる確率は1または具体的には、365/365です。

人物Bは人物Aと同じ日に生まれる必要があるため、確率は1/365です。

これらのイベントの両方が発生するようにします。確率を乗算します：

つまり、0.27％の確率で見知らぬ人のところまで歩いて行き、彼らの誕生日があなたと同じ日であることに気付く可能性があります。それはかなりスリムです。

しかし、より大きなグループはどうですか？

4人のうち少なくとも2人が同じ誕生日を共有する可能性はどのくらいですか？

この問題を解決するには、次のすべてを計算する必要があります。

• 確率AとBが同じ誕生日を共有する
• 確率AとCが同じ誕生日を共有する
• 確率AとDは同じ誕生日を共有します
• 確率BとCは同じ誕生日を共有します
• 確率BとDは同じ誕生日を共有します
• 確率CとDは同じ誕生日を共有します
• 確率A、B、Cは同じ誕生日を共有します
• 確率B、C、Dは同じ誕生日を共有します
• 確率A 、CとDは同じ誕生日を共有します
• 確率A、B、Dは同じ誕生日を共有します
• 確率A、B、C、Dはすべて同じ誕生日を共有します

うん、それはたくさんの計算だ！ 30人の生徒がいる教室で計算する必要のある確率を想像してみてください。

もっと良い方法が必要です…

もっと良い方法：補数のトリック

数十億の確率を計算する最も簡単な方法は、問題を別の角度から見ることです。

誰も同じ誕生日を共有しない確率はどれくらいですか？

この代替演習は、元の問題（つまり補足）とは正反対であるため、役に立ちます。確率では、考えられるすべての結果（つまり、サンプルスペース）の合計は常に1、つまり100％の確率に等しいことがわかっています。

少なくとも2人が同じ誕生日を迎える確率は、同じ誕生日を迎える人がいない確率は、考えられるすべてのシナリオをカバーしているため、確率の合計は1であることがわかります。

または同等に：

やった！計算がはるかに簡単になります。

計算

すごい！教授がどれほど安全に賭けたのかを知る準備ができました。

30人の部屋で同じ誕生日を共有する人がいない確率を調べてみましょう。

これを段階的に見ていきましょう。

• 最初の学生はいつでも生まれることができるので、365/365の確率を与えます。
• 次の生徒は364日に制限されているため、2番目の生徒の確率は364/365です。
• 3番目の学生は残りの363日間のいずれかで生まれる可能性があるため、363/365です。

このパターンは継続するため、最後の学生の確率は336になります。 / 365（365 –彼女の前の学生が29の潜在的な日を使い果たしてから29日）

再び30の確率すべてを掛け合わせます：

お待ちください！それは少し厄介です。これを片付けましょう。

分母は30個の365を掛け合わせたものなので、次のように書き直すことができます。

階乗（記号的に：！）を使用して、この計算をさらにクリーンアップしましょう。

（階乗は、降順の正の整数を乗算するのに便利です。たとえば、5！は5•4•3•に等しいことを覚えておいてください。 2•1 = 120。）

階乗を使用すると、365！ 365から1までのすべての降順整数の積に等しくなります。365から336までの整数の積のみが必要なので、365を除算することによって無関係な数を除算します。 by 335！。

注：これで混乱する場合は、5などの小さい値を試してください。 / 3！ = 5•4•3•2•1/3•2•1。 3•2•1が分子と分母の両方にどのようにあるかに注目してください。彼らは5！/ 3を作ることを「キャンセル」します！ = 5•4。

これで、関数電卓に簡単に入力できる式ができました。

これは、クラスの誰も同じ誕生日を持たない確率が0.294または29.4％と計算されます。もちろん、補数が必要なので、1から減算して、30人のグループの少なくとも2人が同じ誕生日を共有する確率を求めます。

教授にとってはかなり安全な賭けでした！彼は、私たち2人以上が誕生日を共有する可能性が71％近くありました。

50のチャンス

この計算を次のように繰り返すと、多くの人が驚いています。 23人のグループでも、同じ日に少なくとも2人が生まれる可能性は50％です。

365歳の誕生日があることを考えると、これは比較的少数のグループです。つまり、23人を超えるグループでは、少なくとも2人が同じ出生日を共有する可能性があります。

なんてクレイジーな小さな事実です！

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