→ További matematikai oktatóanyagokért tekintse meg a Math Hacks alkalmazást a YouTube-on! ←

Amikor először hallottam ezt a problémát, egy 300 szintű matematikai statisztika tanfolyamon ültem egy kis egyetemen az északnyugati csendes-óceáni csendes-óceáni térségben. Körülbelül 30 hallgatóból álló osztály volt, és a professzor arra tippelt, hogy legalább kettőnknek ugyanaz volt a születésnapja.

Ezután folytatta, hogy mindenki megmondja a születésnapját. Amikor sorra kerültem, születési dátumomat “két kockás, három kockás” néven mondtam meg, ami megnevettette az osztályt, amikor agyi professzorunk némi időt vett igénybe a dátum megfejtésére. az utolsó tanulónak találtak pár megfelelő születésnapot.

Mennyire volt szerencsés, hogy talált egyező párost?

Bemelegítés

Feltételezés: az egyszerűség kedvéért figyelmen kívül hagyjuk a születés lehetőségét február 29-én.

Kezdjük egy egyszerű példával az agyunk felmelegedésére:

Mi annak a valószínűsége, hogy két embernek ugyanaz a születésnapja?

Az A személy az év bármely napján megszülethet, mivel ők az első személyek, akiktől kérdezzük. Annak a valószínűsége, hogy az év bármely napján születhetünk, 1 vagy pontosabban: 365/365.

Mivel a B személynek ugyanazon a napon kell születnie, mint az A személy, valószínűsége 1/365.

Azt akarjuk, hogy mindkét esemény megtörténjen szorozzuk meg a valószínűségeket:

Tehát 0,27% esélye van arra, hogy odalép egy idegenhez, és felfedezi, hogy születésnapjuk ugyanaz, mint a tiétek. Ez elég karcsú.

De mi van egy nagyobb csoporttal?

Mennyi az esély arra, hogy 4-ből legalább 2 ember ugyanazon a születésnapon éljen?

Nos A probléma megoldásához ki kell számolnunk az alábbiak mindegyikét:

• A és B valószínűség ugyanazon a születésnapon van
• A és C valószínűség ugyanazon születésnapon van
• Az A és D valószínûség ugyanazt a születésnapot tölti be
• A B és C valószínûség ugyanazt a születésnapot tölti be
• A B és D valószínûség ugyanazt a születésnapot tölti be
• Valószínûség C és D ugyanazt a születésnapot tölti be
• A, B és C valószínűség ugyanazt a születésnapot tölti be
• A B, C és D valószínűség ugyanazt a születésnapot tölti be
• A valószínűség A , C és D ugyanazt a születésnapot tölti be
• A, B és D valószínűség ugyanazt a születésnapot tölti be
• Az A, B, C és D valószínűség ugyanazt a születésnapot tölti be

Yuck, ez sok számítás! Képzelje el, hány valószínűséget kellene kiszámítanunk egy 30 fős tanterem esetén!

Legyen jobb módszer …

Jobb út: a kiegészítés trükkje

A bajillion valószínűségek kiszámításának legegyszerűbb módja az, ha más szögből szemléljük a problémát:

Mennyire valószínű, hogy senki sem osztja ugyanazt a születésnapot?

Ez az alternatív gyakorlat azért hasznos, mert teljesen ellentétes az eredeti problémánkkal (azaz a kiegészítéssel). Valószínűség szerint tudjuk, hogy az összes lehetséges eredmény (azaz a mintaterület) összege mindig 1 vagy 100% -os eséllyel egyenlő.

Mivel annak a valószínűsége, hogy legalább 2 embernek ugyanaz a születésnapja és annak valószínűsége, hogy senkinek nincs azonos születésnapja, lefedi az összes lehetséges forgatókönyvet, tudjuk, hogy valószínűségeik összege 1.

Vagy ekvivalensen:

Igen! Ezt sokkal könnyebb kiszámítani.

A számítás

Félelmetes! Végül készen állunk arra, hogy megtudjuk, milyen biztonságos fogadást tett a professzor.

Derítsük ki annak valószínűségét, hogy senki sem osztja ugyanazt a születésnapot egy 30 fős szobából.

Tegyük ezt a lépést lépésről lépésre:

• Az első tanuló bármelyik napon megszülethet, ezért 365/365 valószínűséggel megadjuk neki.
• A következő hallgató most 364 lehetséges napra korlátozódik, tehát a második hallgató valószínűsége 364/365.
• A harmadik tanuló a hátralévő 363 nap bármelyikén születhet, tehát 363/365.

Ez a minta úgy folytatódik, hogy utolsó tanulónk valószínűsége 336. / 365 (365 – 29 nap, mióta a diákok előtte 29 napot használtak fel).

Ismét megszorozzuk mind a 30 valószínűséget:

Várj! Ez egy kicsit rendetlen. Tisztítsuk meg ezt.

Mivel a nevező harminc 365 szorozva van, átírhatnánk a következőképpen:

Használjunk tényezőket (szimbolikusan:!) a számítás további tisztításához.

(Ne feledje, hogy a tényleges számok hasznosak a leszálló pozitív egész számok összeszorzásához. Például 5! egyenlő 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Faktorálok használata, 365! megegyezne az összes leszálló egész szám szorzatával 365-től 1-ig. Csak az egész számok szorzatát akarjuk 365-től 336-ig, ezért a külső számokat elosztjuk 365 elosztásával! 335-ig!.

Megjegyzés: ha ez összezavar, akkor próbáljon meg kisebb értéket, például 5-öt! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Figyelje meg, hogy a 3 • 2 • 1 miként vannak a számlálóban és a nevezőben egyaránt. „Lemondják” az 5! / 3! = 5 • 4.

Az egészet összerakva most van egy olyan kifejezés, amelyet könnyen be lehet írni egy tudományos számológépbe:

Ez 0,294 vagy 29,4% esélyt jelent arra, hogy az osztályban senkinek nincs ugyanaz a születésnapja. Természetesen szeretnénk a kiegészítést, ezért kivonjuk 1-ből annak valószínűségére, hogy a 30 fős csoportban legalább 2 ember ugyanazon a születési napon éljen.

Kiderült, hogy ez elég biztonságos fogadás volt professzorunk számára! Közel 71% -os esélye volt arra, hogy kettőnknek vagy többünknek születésnapja legyen.

Ötvenötven esély

Sokan meglepődve tapasztalták, hogy ha megismétli ezt a számítást egy 23 fős csoportnak még mindig 50% az esélye, hogy legalább két ember született ugyanazon a napon.

Ez egy viszonylag kicsi embercsoport, tekintve, hogy 365 lehetséges születésnap van! Ez azt jelenti, hogy bármely 23 fõt meghaladó csoportban valószínûleg legalább 2 embernek ugyanaz a születési napja.

Milyen őrült kis faktoid!

❤ Maradjon kapcsolatban! ❤

Legyen naprakész mindennel, amit Math Hacks készen áll!