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La prima volta che ho sentito questo problema, ero seduto in un corso di statistica matematica di 300 livelli in una piccola università nel nord-ovest del Pacifico. Era una classe di circa 30 studenti e il professore ha scommesso che almeno due di noi hanno condiviso lo stesso compleanno.

Poi ha fatto in modo che tutti dicessero il proprio compleanno. Quando è arrivato il mio turno ho dichiarato la mia data di nascita come “due cubi, tre cubi”, il che ha fatto ridere la classe mentre il nostro professore cerebrale ha impiegato un po ‘per decifrare la data.

Comunque come aveva predetto prima di l’ultimo studente è stato trovato un paio di compleanni corrispondenti.

Quindi quanto è stato fortunato a trovare una coppia corrispondente?

Riscaldamento

Presupposto: per semplicità ignoreremo la possibilità di nascere il 29 febbraio.

Cominciamo con un semplice esempio per riscaldare il nostro cervello:

Qual è la probabilità che due persone condividono lo stesso compleanno?

La persona A può nascere in qualsiasi giorno dell’anno poiché è la prima persona che chiediamo. La probabilità di nascere in qualsiasi giorno dell’anno è 1 o più specificamente: 365/365.

Poiché la persona B deve nascere lo stesso giorno della persona A, la sua probabilità è 1/365.

Vogliamo che entrambi questi eventi si verifichino così moltiplica le probabilità:

Quindi hai una probabilità dello 0,27% di incontrare uno sconosciuto e scoprire che il suo compleanno è lo stesso giorno del tuo. È piuttosto esiguo.

Ma che dire di un gruppo più numeroso?

Qual è la possibilità che almeno 2 persone su 4 condividano lo stesso compleanno?

risolvere questo problema dovremmo calcolare tutto quanto segue:

• Probabilità A e B condividono lo stesso compleanno
• Probabilità A e C condividono lo stesso compleanno
• Probabilità A e D condividono lo stesso compleanno
• Probabilità B e C condividono lo stesso compleanno
• Probabilità B e D condividono lo stesso compleanno
• Probabilità C e D condividono lo stesso compleanno
• Probabilità A, B e C condividono lo stesso compleanno
• Probabilità B, C e D condividono lo stesso compleanno
• Probabilità A , C e D condividono lo stesso compleanno
• Probabilità A, B e D condividono lo stesso compleanno
• Probabilità A, B, C e D condividono tutti lo stesso compleanno

Yuck, sono tanti calcoli! Immagina quante probabilità dovremmo calcolare per una classe di 30 studenti!

Deve esserci un modo migliore …

Un modo migliore: il trucco del complemento

Il modo più semplice per aggirare il calcolo di un miliardo di probabilità è guardare il problema da una prospettiva diversa:

Qual è la probabilità che nessuno condivida lo stesso compleanno?

Questo esercizio alternativo è utile perché è l’esatto opposto del nostro problema originale (cioè il complemento). In probabilità, sappiamo che il totale di tutti i possibili risultati (cioè lo spazio campionario) è sempre uguale a 1, o 100% di probabilità.

Poiché la probabilità che almeno 2 persone abbiano lo stesso compleanno e la probabilità che nessuno abbia lo stesso compleanno copre tutti i possibili scenari, sappiamo che la somma delle loro probabilità è 1.

O equivalentemente:

Yay! Sarà molto più facile da calcolare.

Il calcolo

Fantastico! Siamo finalmente pronti per scoprire quanto sia sicura la scommessa fatta dal professore.

Calcoliamo la probabilità che nessuno condivida lo stesso compleanno in una stanza di 30 persone.

Facciamo questo passo dopo passo:

• Il primo studente può nascere in qualsiasi giorno, quindi gli daremo una probabilità di 365/365.
• Il prossimo studente è ora limitato a 364 giorni possibili, quindi la probabilità del secondo studente è 364/365.
• Il terzo studente può nascere in uno qualsiasi dei restanti 363 giorni, quindi 363/365.

Questo schema continua in modo che il nostro ultimo studente abbia una probabilità di 336 / 365 (365 – 29 giorni da quando gli studenti prima di lei hanno esaurito 29 giorni potenziali).

Moltiplica nuovamente tutte e 30 le probabilità insieme:

Aspetta! È un po ‘complicato. Puliamo questo.

Poiché il denominatore è trenta 365 moltiplicati insieme, potremmo riscriverlo come:

Usiamo i fattoriali (simbolicamente:!) per ripulire ulteriormente questo calcolo.

(Ricorda che i fattoriali sono utili per moltiplicare insieme numeri interi positivi discendenti. Ad esempio 5! è uguale a 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Usando i fattoriali, 365! sarebbe uguale al prodotto di tutti gli interi discendenti da 365 a 1. Vogliamo solo il prodotto degli interi da 365 a 336, quindi divideremo i numeri estranei dividendo 365! di 335 !.

Nota: se questo confonde, prova un valore più piccolo come 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Notare come 3 • 2 • 1 sono sia al numeratore che al denominatore. Si “annullano” facendo 5! / 3! = 5 • 4.

Mettendo tutto insieme ora abbiamo un’espressione che può essere facilmente inserita su una calcolatrice scientifica:

Questo calcola a 0,294 o 29,4% di probabilità che nessuno nella classe abbia lo stesso compleanno. Ovviamente, vogliamo il complemento, quindi lo sottraiamo da 1 per trovare la probabilità che almeno 2 persone in un gruppo di 30 condividano lo stesso giorno di nascita.

È stata una scommessa abbastanza sicura per il nostro professore! Aveva quasi il 71% di probabilità che due o più di noi condividessero un compleanno.

Una possibilità del cinquantacinquesimo

Molte persone sono sorprese di scoprire che se ripeti questo calcolo con un gruppo di 23 persone avrai ancora il 50% di possibilità che almeno due persone siano nate lo stesso giorno.

Questo è un gruppo di persone relativamente piccolo considerando che ci sono 365 compleanni possibili! Significa che in un gruppo di più di 23 persone è probabile che almeno 2 persone condividano lo stesso giorno di nascita.

Che piccolo fatto pazzo!

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