Teile von a Parabel
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, und ihre Teile liefern wertvolle Informationen über die Funktion.
Lernziele
Beschreiben Sie die Teile und Merkmale von Parabeln
Schlüssel zum Mitnehmen
Schlüsselpunkte
- Der Graph einer quadratischen Funktion ist U-förmig Kurve, die als Parabel bezeichnet wird.
- Das Vorzeichen auf dem Koeffizienten a der quadratischen Funktion beeinflusst, ob sich der Graph nach oben oder unten öffnet. Wenn eine < 0 ist, runzelt die Grafik die Stirn (öffnet sich) und wenn eine > 0, dann lächelt die Grafik (öffnet sich) ).
- Der Extrempunkt (Maximum oder Minimum) einer Parabel wird als Scheitelpunkt bezeichnet, und die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt verläuft.
- Der x- Abschnitte sind die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse kreuzt. Wenn sie existieren, stellen die x-Abschnitte die Nullen oder Wurzeln der quadratischen Funktion dar.
Schlüsselbegriffe
- Scheitelpunkt: Der Punkt, an dem a Die Parabel ändert die Richtung entsprechend dem Minimal- oder Maximalwert der quadratischen Funktion.
- Symmetrieachse: Eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt einer Parabel gezogen wird, um die die Parabel symmetrisch ist.
- Nullen: In einer gegebenen Funktion die Werte von x, bei denen y = 0 ist, auch Wurzeln genannt.
Denken Sie daran, dass eine quadratische Funktion die Form
wobei a, b und c Konstanten sind und a \ neq 0.
Die Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine U-förmige Kurve, die als Parabel bezeichnet wird. Diese Form ist unten dargestellt.
Parabel: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel / p>
Richtung der Parabeln: Das Vorzeichen auf dem Koeffizienten a bestimmt die Richtung der Parabel
Merkmale von Parabeln
Parabeln weisen mehrere erkennbare Merkmale auf, die ihre Form und Platzierung auf der kartesischen Ebene charakterisieren.
Scheitelpunkt
Ein wichtiges Merkmal der Parabel ist, dass sie einen Extrempunkt hat, der als Scheitelpunkt bezeichnet wird. Wenn sich die Parabel öffnet, repräsentiert der Scheitelpunkt den niedrigsten Punkt im Diagramm oder den Minimalwert der quadratischen Funktion. Wenn sich die Parabel öffnet, repräsentiert der Scheitelpunkt den höchsten Punkt im Diagramm oder den Maximalwert. In beiden Fällen ist der Scheitelpunkt ein Wendepunkt im Diagramm.
Symmetrieachse
Parabeln haben auch eine Symmetrieachse, die parallel zur y-Achse verläuft. Die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt gezogen wird.
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Parabel die y-Achse kreuzt. Es kann nicht mehr als einen solchen Punkt für den Graphen einer quadratischen Funktion geben. Wenn dies der Fall wäre, wäre die Kurve keine Funktion, da es zwei y-Werte für einen x-Wert bei Null geben würde.
x-Abschnitte
Mögliche x-Abschnitte: Eine Parabel kann keine x-Abschnitte, einen x-Abschnitt oder zwei x-Abschnitte
haben
Denken Sie daran, dass das Ergebnis eine quadratische Gleichung ist, wenn die quadratische Funktion gleich Null gesetzt wird. Die Lösungen der Gleichung werden als Wurzeln der Funktion bezeichnet. Dies sind dieselben Wurzeln, die als x-Achsenabschnitte der Parabel beobachtet werden können.
Eine grafische Interpretation quadratischer Lösungen
Die Wurzeln einer quadratischen Funktion können algebraisch oder grafisch gefunden werden.
Lernziele
Beschreiben Sie die Lösungen für eine quadratische Gleichung als die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse kreuzt.
Key Takeaways
Wichtige Punkte
- Die Wurzeln einer quadratischen Funktion können algebraisch mit der quadratischen Formel und grafisch durch Beobachtungen ihrer Parabel gefunden werden.
- Die Lösungen oder Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung sind die gleichen wie die Nullen oder x-Abschnitte des Graphen der entsprechenden quadratischen Funktion.
Schlüsselbegriffe
- Nullen: In einer gegebenen Funktion werden die Werte von x, bei denen y = 0 ist, auch Wurzeln genannt.
Erinnern Sie sich daran, wie die Wurzeln quadratisch sind Funktionen können algebraisch mit der quadratischen Formel (x = \ frac {-b \ pm \) gefunden werden sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Die Wurzeln einer quadratischen Funktion können auch grafisch gefunden werden, indem Beobachtungen über ihren Graphen gemacht werden. Dies sind zwei verschiedene Methoden, mit denen dieselben Werte erreicht werden können, und wir werden nun sehen, wie sie zusammenhängen.
Betrachten Sie die unten dargestellte quadratische Funktion. Lösen wir die Wurzeln sowohl grafisch als auch algebraisch.
Lösen wir nun die Wurzeln von f (x) = x ^ 2 – x- 2 algebraisch mit der quadratischen Formel.
Denken Sie daran, dass die quadratische Gleichung den quadratischen Ausdruck gleich Null anstelle von f (x) setzt:
0 = x ^ 2 – x – 2
Ersatz diese Werte in der quadratischen Formel:
x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}
Vereinfacht haben wir:
x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\
und
x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}
Wir haben jetzt zwei mögliche Werte für x: \ frac {1 + 3} {2} und \ frac {1- 3} {2}.
Beispiel
Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Funktion f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Lösen Sie grafisch und algebraisch.
Der Graph von f (x) = x ^ 2 – 4x + 4.: Der Graph der obigen Funktion Wenn der Scheitelpunkt mit (2, 1) markiert ist.
Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen, stellen wir fest, dass er die x-Achse nicht schneidet. Daher hat es keine wirklichen Wurzeln.
Wenn wir diese in die quadratische Formel einsetzen, haben wir:
x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}
Vereinfacht haben wir:
x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}
Beachten Sie, dass die Formel \ sqrt {-4} enthält keine reelle Zahl. Daher gibt es keine echten Wurzeln für die gegebene quadratische Funktion. Wir sind zu dem gleichen Schluss gekommen, zu dem wir grafisch gelangt sind.
Quadratische Gleichungen in Scheitelpunktform darstellen
Mit der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion kann ihr Scheitelpunkt leicht gefunden werden.
Key Takeaways
Key Points
- Eine wichtige Form einer quadratischen Funktion ist die Scheitelpunktform: f (x) = a (xh) ^ 2 + k
- Wenn in Scheitelpunktform geschrieben, ist der Scheitelpunkt der Parabel bei (h, k) leicht zu erkennen.
- Es ist einfach, von der Scheitelpunktform in die Standardform zu konvertieren.
- Es ist schwieriger, aber immer noch möglich, von der Standardform in die Scheitelpunktform zu konvertieren. Der Prozess umfasst eine Technik, die als Vervollständigen des Quadrats bezeichnet wird.
Schlüsselbegriffe
- Konstante: Ein Bezeichner, der an einen invarianten Wert gebunden ist.
- Vertex: Ein Punkt auf der Kurve mit einem lokalen Minimum oder Maximum der Krümmung.
- quadratisch: Ein Polynom vom Grad zwei.
Quadratische Gleichungen kann verschiedene Formen annehmen. Sie haben bereits die Standardform gesehen:
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c
Eine andere gebräuchliche Form heißt Scheitelpunktform, denn wenn a quadratisch ist in dieser Form geschrieben, es ist sehr leicht zu erkennen, wo sich sein Scheitelpunkt befindet. Die Scheitelpunktform ist gegeben durch:
f (x) = a (xh) ^ 2 + k
Konvertieren von Scheitelpunktform in Standardform
Wenn Sie Wenn Sie ein Quadrat in Scheitelpunktform in ein Quadrat in Standardform konvertieren möchten, multiplizieren Sie einfach das Quadrat und kombinieren Sie ähnliche Begriffe. Zum Beispiel kann das quadratische
y = (x-2) ^ 2 + 1
wie folgt umgeschrieben werden:
\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}
Konvertieren von Standardformular in Scheitelpunktformular
Es ist schwieriger von der Standardform in die Scheitelpunktform zu konvertieren. Der Prozess wird als „Vervollständigen des Quadrats“ bezeichnet.
Konvertierung Wenn a = 1
Wir addieren und subtrahieren diese Zahl dann wie folgt:
y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4
Konvertierung bei a \ neq 1
Es ist etwas komplizierter, die Standardform in die Scheitelpunktform zu konvertieren, wenn der Koeffizient a nicht ist gleich 1. Wir können die Technik weiterhin verwenden, müssen jedoch darauf achten, zuerst das a wie im folgenden Beispiel herauszufiltern:
Betrachten Sie y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Wir faktorisieren den Koeffizienten 2 aus den ersten beiden Begriffen, und schreiben Sie dies wie folgt:
y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5
y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9) ) +5
Wir können die Berechnung dann wie folgt beenden:
\ begin {align} y & = 2 ((x +) 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist also (-3, -13).
Zeichnen quadratischer Gleichungen in Standardform
Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion der Form y = ax ^ 2 + bx + c.
Key Take aways
Schlüsselpunkte
- Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, deren Symmetrieachse parallel zur y-Achse verläuft.
- Die Koeffizienten a, b und c in der Gleichung y = ax ^ 2 + bx + c steuern verschiedene Facetten, wie die Parabel in der Grafik aussieht.
Schlüsselbegriffe
- Scheitelpunkt: Das Maximum oder Minimum einer quadratischen Funktion.
- Parabel: Die Form, die durch den Graphen einer quadratischen Funktion gebildet wird.
- quadratisch: Ein Polynom vom Grad zwei.
Eine quadratische Funktion in der Form
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x
liegt in Standardform vor.
Unabhängig vom Format ist der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel.
Der Graph von y = x ^ 2-4x + 3: Der Graph einer quadratischen Gleichung ist immer eine Parabel.
Koeffizienten und Diagramme der quadratischen Funktion
Jeder Koeffizient in einer quadratischen Funktion in Standardform wirkt sich auf die Form und Platzierung des Funktionsdiagramms aus.
Koeffizient von x ^ 2, a
Der Koeffizient a steuert die Geschwindigkeit der Zunahme (oder Abnahme) der quadratischen Funktion vom Scheitelpunkt aus. Ein größeres positives a erhöht die Funktion schneller und der Graph erscheint dünner.
Die Symmetrieachse
x = – \ dfrac {b} {2a}
x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1
Der Scheitelpunkt hat auch die x-Koordinate 1.
Der Graph von y = 2x ^ 2-4x + 4.: Die Symmetrieachse ist eine vertikale Linie parallel zur y-Achse bei x = 1.
