Parties d’un Parabole
Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole, et ses parties fournissent des informations précieuses sur la fonction.
Objectifs d’apprentissage
Décrivez les parties et caractéristiques des paraboles
Points clés à retenir
Points clés
- Le graphique d’une fonction quadratique est en forme de U courbe appelée parabole.
- Le signe sur le coefficient a de la fonction quadratique détermine si le graphique s’ouvre vers le haut ou vers le bas. Si un < 0, le graphique fronce les sourcils (s’ouvre vers le bas) et si un > 0 alors le graphique fait un sourire (s’ouvre ).
- Le point extrême (maximum ou minimum) d’une parabole est appelé le sommet, et l’axe de symétrie est une ligne verticale qui passe par le sommet.
- Le x- les interceptions sont les points où la parabole croise l’axe des x. S’ils existent, les abscisses à l’origine représentent les zéros, ou racines, de la fonction quadratique.
Termes clés
- sommet: Le point où un parabole change de direction, correspondant à la valeur minimale ou maximale de la fonction quadratique.
- axe de symétrie: Une ligne verticale tracée à travers le sommet d’une parabole autour de laquelle la parabole est symétrique.
- zéros: dans une fonction donnée, les valeurs de x auxquelles y = 0, également appelées racines.
Rappelons qu’une fonction quadratique a la forme
\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c.
où a, b et c sont des constantes, et a \ neq 0.
Le le graphique d’une fonction quadratique est une courbe en forme de U appelée parabole. Cette forme est illustrée ci-dessous.
Parabole: Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole.
Direction des paraboles: Le signe sur le coefficient a détermine la direction de la parabole .
Caractéristiques des paraboles
Les paraboles ont plusieurs caractéristiques reconnaissables qui caractérisent leur forme et leur placement sur le plan cartésien.
Vertex
Une caractéristique importante de la parabole est qu’elle a un point extrême, appelé le sommet. Si la parabole s’ouvre, le sommet représente le point le plus bas du graphe, ou la valeur minimale de la fonction quadratique. Si la parabole s’ouvre vers le bas, le sommet représente le point le plus élevé du graphique ou la valeur maximale. Dans les deux cas, le sommet est un point tournant sur le graphique.
Axe de symétrie
Les paraboles ont également un axe de symétrie, qui est parallèle à l’axe y. L’axe de symétrie est une ligne verticale tracée à travers le sommet.
ordonnée à l’origine
L’ordonnée à l’origine est le point où la parabole croise l’axe y. Il ne peut y avoir plus d’un tel point, pour le graphe d’une fonction quadratique. Si c’était le cas, la courbe ne serait pas une fonction, car il y aurait deux valeurs y pour une valeur x, à zéro.
interceptions x
Interceptions x possibles: une parabole ne peut avoir aucune interception x, une interception x ou deux interceptions x
Rappelez-vous que si la fonction quadratique est mise à zéro, alors le résultat est une équation quadratique. Les solutions de l’équation sont appelées les racines de la fonction. Ce sont les mêmes racines qui sont observables que les abscisses de la parabole.
Une interprétation graphique des solutions quadratiques
Les racines d’une fonction quadratique peuvent être trouvées algébriquement ou graphiquement.
Objectifs d’apprentissage
Décrivez les solutions d’une équation quadratique comme les points où la parabole croise l’axe des x
Points clés à retenir
Points clés
- Les racines d’une fonction quadratique peuvent être trouvées algébriquement avec la formule quadratique, et graphiquement en faisant des observations sur sa parabole.
- Les solutions, ou racines, d’une équation quadratique donnée sont les mêmes que les zéros, ou abscisses, du graphique de la fonction quadratique correspondante.
Termes clés
- zéros: Dans une fonction donnée, les valeurs de x auxquelles y = 0, également appelées racines.
Rappelle comment les racines de quadratique les fonctions peuvent être trouvées algébriquement, en utilisant la formule quadratique (x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}). Les racines d’une fonction quadratique peuvent également être trouvées graphiquement en faisant des observations sur son graphique. Ce sont deux méthodes différentes qui peuvent être utilisées pour atteindre les mêmes valeurs, et nous allons maintenant voir comment elles sont liées.
Considérons la fonction quadratique qui est représentée graphiquement ci-dessous. Résolvons ses racines graphiquement et algébriquement.
Maintenant, résolvons les racines de f (x) = x ^ 2 – x- 2 algébriquement avec la formule quadratique.
Rappelez-vous que l’équation quadratique définit l’expression quadratique égale à zéro au lieu de f (x):
0 = x ^ 2 – x – 2
Substitute ces valeurs dans la formule quadratique:
x = \ dfrac {- (- 1) \ pm \ sqrt {(-1) ^ 2-4 (1) (- 2)}} {2 (1 )}
Pour simplifier, nous avons:
x = \ dfrac {1 \ pm \ sqrt {9}} {2} \\
et
x = \ dfrac {1 \ pm 3} {2}
Nous avons maintenant deux valeurs possibles pour x: \ frac {1 + 3} {2} et \ frac {1- 3} {2}.
Exemple
Trouvez les racines de la fonction quadratique f (x) = x ^ 2 – 4x + 4. Résolvez graphiquement et algébriquement.
Le graphique de f (x) = x ^ 2 – 4x + 4 .: Le graphique de la fonction ci-dessus , avec le sommet étiqueté en (2, 1).
En regardant le graphique de la fonction, nous remarquons qu’elle ne coupe pas l’axe des x. Par conséquent, il n’a pas de racines réelles.
En les substituant à la formule quadratique, nous avons:
x = \ dfrac {- (- 4) \ pm \ sqrt {(-4 ) ^ 2-4 (1) (5)}} {2 (1)}
Pour simplifier, nous avons:
x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {16 -20}} {2} \\ x = \ dfrac {4 \ pm \ sqrt {-4}} {2}
Notez que nous avons \ sqrt {-4} dans la formule, qui est pas un vrai nombre. Par conséquent, il n’y a pas de racines réelles pour la fonction quadratique donnée. Nous sommes arrivés à la même conclusion à laquelle nous sommes parvenus graphiquement.
Représentation graphique d’équations quadratiques sous forme de sommet
La forme de sommet d’une fonction quadratique permet de trouver facilement son sommet.
Points clés à retenir
Points clés
- Une forme importante d’une fonction quadratique est la forme de sommet: f (x) = a (xh) ^ 2 + k
- Lorsqu’il est écrit sous forme de sommet, il est facile de voir le sommet de la parabole en (h, k).
- Il est facile de passer de la forme de sommet à la forme standard.
- Il est plus difficile, mais toujours possible, de passer d’une forme standard à une forme vertex. Le processus implique une technique appelée compléter le carré.
Termes clés
- constante: un identifiant lié à une valeur invariante.
- sommet: un point de la courbe avec un minimum ou un maximum de courbure locale.
- quadratique: un polynôme de degré deux.
Equations quadratiques peut prendre diverses formes. Vous avez déjà vu la forme standard:
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + c
Une autre forme courante est appelée forme de sommet, car quand un quadratic s’écrit sous cette forme, il est très facile de dire où se trouve son sommet. La forme de sommet est donnée par:
f (x) = a (xh) ^ 2 + k
Conversion de la forme de sommet à la forme standard
Si vous voulez convertir un quadratique sous forme de sommet en un sous forme standard, multipliez simplement le carré et combinez des termes similaires. Par exemple, le quadratique
y = (x-2) ^ 2 + 1
Peut être réécrit comme suit:
\ begin {align} y & = (x-2) (x-2) +1 \\ & = x ^ 2-2x-2x + 4 + 1 \\ & = x ^ 2-4x + 5 \ end {align}
Conversion de la forme standard à la forme vertex
C’est plus difficile à convertir de la forme standard à la forme de sommet. Le processus s’appelle «compléter le carré».
Conversion quand a = 1
Nous ajoutons et soustrayons ensuite ce nombre comme suit:
y = ( x ^ 2 + 4x + 4) + 6-4
Conversion Quand a \ neq 1
Il est légèrement plus compliqué de convertir la forme standard en forme de sommet lorsque le coefficient a n’est pas égal à 1. Nous pouvons toujours utiliser la technique, mais il faut faire attention à d’abord factoriser le a comme dans l’exemple suivant:
Considérons y = 2x ^ 2 + 12x + 5. Nous factorisons le coefficient 2 des deux premiers termes, en écrivant ceci comme suit:
y = 2 (x ^ 2 + 6x) + 5
y = 2 (x ^ 2 + 6x + 9-9 ) +5
On peut alors terminer le calcul comme suit:
\ begin {align} y & = 2 ((x + 3) ^ 2-9) +5 \\ & = 2 (x + 3) ^ 2-18 + 5 \\ & = (x + 3) ^ 2-13 \ end {align}
Le sommet de cette parabole est donc (-3, -13).
Représentation graphique d’équations quadratiques sous forme standard
Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de la forme y = ax ^ 2 + bx + c.
Key Take toujours
Points clés
- Le graphe d’une fonction quadratique est une parabole dont l’axe de symétrie est parallèle à l’axe y.
- Les coefficients a, b et c dans l’équation y = ax ^ 2 + bx + c contrôlent diverses facettes de l’apparence de la parabole lorsqu’elle est représentée graphiquement.
Termes clés
- sommet: le maximum ou le minimum d’une fonction quadratique.
- parabole: la forme formée par le graphe d’une fonction quadratique.
- quadratique: un polynôme de degré deux.
Une fonction quadratique sous la forme
f (x) = a {x} ^ {2} + bx + x
est au format standard.
Quel que soit le format, le graphe d’une fonction quadratique est une parabole.
Le graphique de y = x ^ 2-4x + 3: Le graphique de toute équation quadratique est toujours une parabole.
Coefficients et graphiques de la fonction quadratique
Chaque coefficient d’une fonction quadratique sous forme standard a un impact sur la forme et le placement du graphique de la fonction.
Coefficient de x ^ 2, a
Le coefficient a contrôle la vitesse d’augmentation (ou de diminution) de la fonction quadratique à partir du sommet. Un a plus grand et positif fait augmenter la fonction plus rapidement et le graphique apparaît plus fin.
L’axe de symétrie
x = – \ dfrac {b} {2a}
x = – \ frac {-4} {2 \ cdot 2} = 1
Le sommet a aussi la coordonnée x 1.
Le graphique de y = 2x ^ 2-4x + 4: L’axe de symétrie est une ligne verticale parallèle à l’axe y à x = 1.
