Jednotkové buňky

Jednotkové buňky: Nejjednodušší opakující se jednotka v krystalu

Strukturu těles lze popsat, jako by byly trojrozměrné analogy kusu tapety. Tapeta má pravidelný opakující se design, který sahá od jednoho okraje k druhému. Krystaly mají podobný opakující se design, ale v tomto případě se design rozprostírá ve třech rozměrech od jednoho okraje tělesa k druhému.

Jednu tapetu můžeme jednoznačně popsat zadáním velikosti, tvaru a obsahu nejjednodušší opakující se jednotka v designu. Můžeme popsat trojrozměrný krystal zadáním velikosti, tvaru a obsahu nejjednodušší opakující se jednotky a způsobu, jakým tyto opakující se jednotky skládají do formy krystalu.

Nejjednodušší opakující se jednotka v krystalu se nazývá unitcell. Každá jednotková buňka je definována jako mřížové bodové body v prostoru, kolem kterých mohou částice vibrovat v krystalu.

Struktury jednotkové buňky pro různé soli jsou zobrazeny níže.

V roce 1850 Auguste Bravais ukázal, že krystaly lze rozdělit na 14 jednotkových buněk, které splňují následující kritéria.

• Jednotková buňka je nejjednodušší opakující se jednotkou v krystalu.
• Protilehlé plochy jednotková buňka jsou rovnoběžné.
• Okraj jednotkové buňky spojuje ekvivalentní body.

Na obrázku níže je zobrazeno 14 jednotkových buněk Bravais.

Tyto jednotkové buňky spadají do sedmi kategorií, které se liší ve třech délkách hran jednotkových buněk (a, b a c) ) a tři vnitřní úhly (a, � a g), jak je uvedeno v následující tabulce.

Sedm kategorií buněk jednotky Bravais

Zaměříme se na kubickou kategorii, která zahrnuje na následujícím obrázku jsou znázorněny tři typy jednotkových buněk simplecubic, body-centered cubic a face-centered cubics.

Tyto jednotkové buňky jsou důležité ze dvou důvodů. Nejprve v krychlových jednotkových buňkách krystalizuje množství kovů, iontových pevných látek a intermetalických sloučenin. Zadruhé, s těmito jednotkovými buňkami je relativně snadné vypočítat úkoly, protože buněčné edgelové délky jsou stejné a úhly buněk jsou všechny 90.

Jednoduchá kubická jednotková buňka je nejjednodušší opakující se jednotka v jednoduché kubické struktuře . Každý roh jednotkové buňky je definován mřížkovým bodem, ve kterém se v krystalu nachází atom, iont nebo molekula. Podle konvence hrana jednotky spojuje vždy ekvivalentní body. Každý z osmi rohů jednotkové buňky proto musí obsahovat identickou částici. Další částice mohou být přítomny na okrajích nebo plochách jednotkové buňky nebo v těle jednotkové buňky. Ale minimum, které musí být pro jednotkovou buňku, aby bylo možné ji klasifikovat jako jednoduché kubické, je rovno ekvivalentní částice v osmi rozích.

Kubická jednotková buňka se středem těla je nejjednodušší opakující se jednotka v kubické struktuře se středem těla. Opět je v osmi rozích buňky jednotky osm identických částic. Tentokrát je však ve středu těla jednotkové buňky devátá identická částice.

Tvářově centrovaná kubická jednotková buňka také začíná identickými částicemi v osmi rozích krychle. Ale tato struktura také obsahuje stejné částice ve středech šesti ploch jednotkové buňky, celkem 14 identických mřížových bodů.

Tvářově centrovaná kubická jednotková buňka je nejjednodušší opakující se jednotka v kubické nejužší struktuře. Ve skutečnosti přítomnost kubických jednotkových buněk zaměřených na obličej v této struktuře vysvětluje, že struktura je známá jako nejbližší kubický blok.

Buňky jednotek: Třírozměrný graf

Mřížkové body v kubickou jednotkovou buňku lze popsat jako mezičlánky trojrozměrného grafu. Protože všechny tři délky buněk jsou stejné v kubické jednotkové buňce, nezáleží na tom, jaké orientace se použije pro a, b a caxes. Kvůli argumentu definujeme osu a vertikální osu naší souřadnicový systém, jak je znázorněno na obrázku níže.

Osa b bude potom popisovat pohyb napříč přední jednotkovou buňkou a osa c bude představovat pohyb směrem vzadu jednotková buňka. Dále „libovolně definujeme levý dolní roh jednotkové buňky jako počátek (0,0,0). Souřadnice 1,0,0 označují mřížkový bod, který je vzdálený od okraje buňky od počátku podél osy. Podobně 0,1,0 a 0,0,1 představují mřížové body, které jsou posunuty o jednu délku okraje buňky od počátku podél osy pásma c.

Uvažování o jednotkové buňce jako o třech -dimenzionální graf nám umožňuje popsat strukturu krystalu s pozoruhodně malým množstvím informací. Můžeme specifikovat strukturu chloridu cesného, například pouze se čtyřmi informacemi.

Protože okraj buňky musí spojovat ekvivalentní mřížové body, přítomnost Cl-iontu v jednom rohu jednotkové buňky (0,0,0) implikuje přítomnost Cl-iontového rohu buňky . Souřadnice 1 / 2,1 / 2,1 / 2 popisují alattice bod ve středu buňky. Protože v jednotkové buňce není žádný další bod, který je vzdálený jednu hranu buňky od těchto souřadnic, je to jediný iont Cs + v buňce. CsCl je proto jednoduchá kubická jednotková buňka iontů Cl s Cs + ve středu těla buňky.

Jednotkové buňky: NaCl a ZnS

NaCl by měl krystalizovat v nejbližší kubické pole iontů Cl s ionty Na + v oktaedrických dírách mezi rovinami iontů Cl. Tuto informaci můžeme přeložit do modelu jednotkové buňky pro NaCl zapamatováním, že povrchově centrovaná kubická jednotková buňka je nejjednodušší opakující se jednotkou v akubické struktuře nejbližšího balení.

Obrázek níže ukazuje, že existuje oktaedrická díra ve středu kubické jednotkové buňky se středem tváře, na souřadnicích 1 / 2,1 / 2,1 / 2. Jakákoli částice v tomto bodě se dotkne částic ve středech šesti tváří základní buňky.

Další oktaedrické díry ve sklepě kubické jednotky umístěné na obličeji na okrajích buňky, jak je znázorněno na obrázku níže.

Pokud ionty Cl zabírají mřížové body povrchově centrované kubické jednotkové buňky a všechny oktaedrické otvory jsou vyplněny ionty Na +, dostaneme jednotkovou buňku zobrazenou na obrázku níže.

Můžeme tedy popsat strukturu NaCl z hlediska následujících informací.

Umístění Cl-iontu do těchto čtyř pozic implikuje přítomnost Cl- ion na každém ze 14 mřížových bodů, které definují kubickou jednotku se středem tváře. Umístění iontu Na + do středu jednotkové buňky (1 / 2,1 / 2,1 / 2) a na tři jedinečné okraje jednotkové buňky (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 ; a 0,0,1 / 2) vyžaduje ekvivalentní iont Na + v každé oktaedrické díře v jednotkové buňce.

ZnS krystalizuje jako kubické nejbližší pole iontů S2 s ionty Zn2 + v čtyřboká díra. Ionty S2 v tomto krystalu zaujímají stejné pozice jako ionty Cl v NaCl. Jediným rozdílem mezi těmito krystaly je umístění kladných iontů. Obrázek níže ukazuje, že čtyřboké díry v kubické jednotkové buňce se středem tváře jsou v rozích jednotkové buňky na souřadnicích jako 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Anatom s těmito souřadnicemi by se dotýkal atomu v tomto rohu stejně jako atomů ve středech tří ploch, které tvoří tento roh. I když je obtížné to vidět bez trojrozměrného modelu, čtyři atomy, které obklopují tuto díru, jsou uspořádány do rohů čtyřstěnu.

Protože rohy kubické jednotkové buňky jsou identické, musí to být čtyřboká díra v každém z osmi rohů kubické jednotkové buňky vycentrované na povrch. Pokud ionty S2 zabírají želattické body kubické jednotkové buňky se středem tváře a ionty Zn2 + jsou baleny do všech ostatních čtyřboká díra, dostaneme jednotkovou buňku ZnS zobrazenou na obrázku níže. „d1514f9d59“>

Strukturu ZnS lze tedy popsat následovně.

Všimněte si, že v tomto krystalu je obsazena pouze polovina čtyřboká díra, protože existují dvě čtyřboká díry pro každý iont S2 v nejužším poli těchto iontů.

Jednotkové buňky: Měření vzdálenosti mezi částicemi

Nikl je jedním z kovů, které krystalizují v krychli struktura. Když vezmete v úvahu, že atom niklu má hmotnost pouze 9,75 x 10 – 23 ga iontový poloměr pouze 1,24 x 10 – 10 m, je pozoruhodným úspěchem popsat strukturu tohoto kovu. Zjevná otázka zní: Jak víme, že nikl je zabalen ve struktuře zabalené v krychli?

Jediným způsobem, jak určit strukturu hmoty na atomové škále, je použít sondu, která je ještě menší. Jednou z nejužitečnějších sond pro studium hmoty v tomto měřítku je elektromagnetické záření.

V roce 1912 Max van Laue zjistil, že rentgenové paprsky, které zasáhly povrch krystalu, byly rozptýleny do vzorů, které se podobaly vzorům vytvářeným při průchodu světla velmi úzký. Krátce poté William Lawrence Bragg, který právě dokončil vysokoškolské studium fyziky na Cambridge, vysvětlil van Laueovy výsledky pomocí rovnice známé jako Braggequation, která nám umožňuje vypočítat vzdálenost mezi rovinami atomů v krystalu ze vzorce difrakce ofx – pole známé vlnové délky.

n = 2d sin T

Vzor, kterým jsou rentgenové paprsky rozptýleny niklovými kovy, tento kov se hromadí v kubické jednotce s adistencí mezi rovinami atomů 0,3524 nm. Délka okraje buňky v tomto krystalu tedy musí být 0,3524 nm. Vědět, že nikl krystalizuje v kubické jednotce, nestačí.Stále se musíme rozhodnout, zda se jedná o jednoduchou kubickou buňku, kubickou jednotku se středem těla nebo kubickou jednotku se středem tváře. Toho lze dosáhnout měřením hustoty kovu.

Jednotkové buňky: Určení jednotkové buňky krystalu

Atomy na rozích, hranách a plochách jednotkové buňky sdíleny více než jedna jednotková buňka, jak je znázorněno na obrázku níže. Atom na ploše je sdílen dvěma jednotkovými buňkami, takže ke každé z těchto buněk patří pouze polovina atomu. Atom na hraně je sdílen čtyřmi jednotkovými buňkami a atom na rohu je sdílen osmi jednotkovými buňkami. Ke každé z jednotkových buněk, které tyto atomy sdílejí, lze tedy přiřadit pouze čtvrtinu atomu na okraji a jednu osminu atomu na rohu.

Pokud by nikl krystalizoval v jednoduché kubické jednotce, byl by na něm atom niklu každý z osmi rohů buňky. Protože dané jednotkové buňce lze přiřadit pouze osminu těchto atomů, měla by každá jednotková buňka v jednoduché kubické struktuře jediný čistý atom niklu.

Jednoduchá kubická struktura:

8 rohů x 1/8 = 1 atom

Pokud by nikl vytvořil kubickou strukturu zaměřenou na tělo, byly by na jednotku buňky dva atomy, protože atom niklu ve středu těla nebude sdílen s žádnými jinými jednotkovými buňkami.

Kubická struktura zaměřená na tělo:

(8 rohů x 1/8) + 1 tělo = 2 atomy

Pokud by nikl krystalizoval v kubické struktuře zaměřené na obličej, šest atomů na tvářích jednotkové buňky by přispělo threenetovými atomy niklu, pro celkem čtyři atomy na jednotku buňky.

Kubická struktura zaměřená na obličej:

(8 rohů x 1/8) + (6 ploch x 1/2) = 4 atomy

Protože mají v jednotkové buňce různé počty atomů, měla by každá z těchto struktur jinou hustotu. Nechť „proto vypočítáme hustotu niklu na základě každé z těchto struktur a délku okraje jednotkové buňky pro nikl uvedenou v předchozí části: 0,3524 nm. Abychom to mohli udělat, potřebujeme znát objem jednotkové buňky v kubických centimetrech a hmotnost jednoho atomu niklu.

Objem (V) jednotkové buňky se rovná délce hrany buňky (a) na kostičky.

V = a3 = (0,3524nm) 3 = 0,04376 nm3

Jelikož v metru je 109 nm a v ametru 100 cm, musí být v cm 107 nm.

Můžeme tedy převést objem jednotkové buňky na cm3as takto.

Hmotnost atomu niklu lze vypočítat z atomové hmotnosti tohoto kovu a čísla společnosti Avogadro.

Hustota niklu, pokud by krystalizoval v jednoduché kubické struktuře, byl by tedy 2,23 g / cm3, na tři významná čísla.

Jednoduchá kubická struktura:

Protože v krychlové struktuře zaměřené na tělo by krystalikoval nikl dvakrát více atomů na jednotkovou buňku, byla by hustota niklu v této struktuře dvakrát větší.

Krychlová struktura zaměřená na tělo:

V krychlové struktuře se středem tváře by byly čtyři atomy na jednotku buňky a hustota niklu v této struktuře by byla čtyři krát větší.

Krychlová struktura zaměřená na obličej:

Experimentální hodnota hustoty niklu je 8,90 g / cm3. Zjevným závěrem je, že nikl krystalizuje v kubické jednotce s centrem na povrchu, a proto má kubický -balená struktura.

Jednotkové buňky: Výpočet kovových nebo iontových poloměrů

Odhady poloměrů většiny atomů kovů lze nalézt. Odkud tyto údaje pocházejí? Jak například víme, že teradius atomu niklu je 0,1246 nm?

Nikl krystalizuje v kubické jednotkové buňce se středem tváře o délce okraje acelu 0,3524 nm, aby vypočítal poloměr niklu .

Jedna z tváří kubické jednotkové buňky se středem tváře je zobrazena na obrázku níže.

Podle tohoto obrázku se úhlopříčka přes tvář této jednotkové buňky rovná čtyřnásobku poloměru atomu niklu .

Pythagorova věta uvádí, že úhlopříčka přes pravý trojúhelník se rovná součtu čtverců ostatních stran. Úhlopříčka přes povrch jednotkové buňky proto souvisí s délkou okraje jednotkové buňky pomocí následující rovnice.

Vezmeme-li druhá odmocnina obou stran dává následující výsledek.

Nyní do této rovnice dosadíme vztah mezi úhlopříčkou přes tvář tato jednotková buňka a poloměr atomu niklu:

Řešení pro poloměr atomu niklu dává hodnotu 0,1246 nm:

Podobný přístup lze použít k odhadu velikosti aniontu.Začněme tím, že k výpočtu vzdálenosti mezi středy iontů Cs + a Cl- inCsCl použijeme délku buněčného okraje chloridu incesia 0,4123 nm.

CsCl krystalizuje v jednoduché kubické jednotce buňky Cl-ionty s iontem Cs + ve středu těla buňky, jak je znázorněno na obrázku níže.

Před můžeme vypočítat vzdálenost mezi středy iontů Cs + a Cl- v tomto krystalu, ale musíme uznat platnost jednoho z nejjednodušších předpokladů o iontových pevných látkách: kladných a záporných iontů, které tvoří tyto krystaly.

Můžeme tedy předpokládat, že úhlopříčka přes tělo buněčné jednotky CsCl je ekvivalentní součtu poloměrů dvou iontů Cl a dvou iontů Cs +.

Trojrozměrný ekvivalent Pythagorovy věty naznačuje, že čtverec úhlopříčky přes tělo Acube je součtem čtverců tří stran.

Převzetím druhé odmocniny na obou stranách této rovnice získáte následující výsledek.

Pokud je délka okraje buňky v CsCl 0,4123 nm, úhlopříčka přes tělo v této jednotkové buňce je 0,7141 nm.

Součet iontových poloměrů iontů Cs + a Cl je polovina této vzdálenosti, neboli 0,3571 nm.

Pokud bychom měli odhad velikosti buď Cs + nebo Cl-ion, mohli bychom výsledky použít k vypočítat theradius druhého iontu. Iontový poloměr Cl-iontu je 0,181 nm. Dosazením této hodnoty do poslední rovnice získáte pro poloměr iontu Cs + hodnotu 0,176 nm.

Výsledky tohoto výpočtu jsou v rozumné shodě se známou hodnotou 0,169 nm pro poloměr iontu Cs +. Rozpor mezi těmito hodnotami odráží skutečnost, že se thationické poloměry liší od jednoho krystalu k druhému. Hodnoty v tabulce jsou průměrem výsledků řady výpočtů tohoto typu.