Die dimensionslose Reynolds-Zahl spielt eine herausragende Rolle bei der Vorhersage der Muster im Verhalten einer Flüssigkeit. Die Reynolds-Zahl, die als Re bezeichnet wird, wird verwendet, um zu bestimmen, ob der Fluidstrom laminar oder turbulent ist. Es ist einer der Hauptsteuerungsparameter in allen viskosen Strömungen, bei denen ein numerisches Modell gemäß der vorberechneten Reynolds-Zahl ausgewählt wird.

Obwohl die Reynolds-Zahl sowohl statische als auch kinetische Eigenschaften von Flüssigkeiten umfasst, wird sie als angegeben eine Fließeigenschaft, da dynamische Bedingungen untersucht werden. Technisch gesehen ist die Reynoldszahl das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den viskosen Kräften. Dieses Verhältnis hilft bei der Kategorisierung von laminaren Strömungen aus turbulenten Strömungen.

Trägheitskräfte widerstehen einer Änderung der Geschwindigkeit eines Objekts und sind die Ursache für die Flüssigkeitsbewegung. Diese Kräfte dominieren in turbulenten Strömungen. Andernfalls ist die Strömung laminar, wenn die viskosen Kräfte, definiert als Strömungswiderstand, dominieren. Die Reynolds-Zahl kann wie folgt angegeben werden:

$$ Re = \ frac {Trägheitskraft} {viskose ~ Kraft} = \ frac {Fluid ~ und ~ Fließ ~ Eigenschaften} {Fluid ~ Eigenschaften} \ tag {1} $$

Beispielsweise befindet sich ein Glas Wasser, das unabhängig von der Schwerkraft auf einer statischen Oberfläche steht, in Ruhe und die Fließeigenschaften werden ignoriert. Somit ist der Zähler in Gleichung (1) „0“. Dies führt zu einer Unabhängigkeit von der Reynolds-Zahl für eine ruhende Flüssigkeit. Andererseits kann eine Reynolds-Zahl geschätzt werden, während Wasser durch Kippen eines wassergefüllten Glases verschüttet wird zur Vorhersage des Flüssigkeitsflusses, der in Abbildung 1 dargestellt ist.

Geschichte

Die Theorie einer dimensionslosen Zahl, die den Flüssigkeitsfluss vorhersagt, wurde ursprünglich von Sir George Stokes (1819-1903) eingeführt, der versucht hatte, die Widerstandskraft auf eine Kugel herauszufinden, wobei der Trägheitsterm vernachlässigt wurde. Stokes hatte auch die Studien von Claude Louis Navier (1785-1836) durchgeführt, um sie weiterzuentwickeln und die Bewegungsgleichung durch Hinzufügen eines viskosen Ausdrucks im Jahr 1851 abzuleiten – wodurch der Navier-S enthüllt wurde tokes Gleichung \ (^ 1 \).

Der Stokes-Fluss, benannt nach Stokes ‚Ansatz für den viskosen Flüssigkeitsfluss, ist das mathematische Modell, bei dem die Reynolds-Zahl so niedrig ist, dass angenommen wird, dass sie Null ist. Verschiedene Wissenschaftler hatten Studien durchgeführt, um die Eigenschaften der Flüssigkeitsbewegung nach Stokes zu untersuchen. Obwohl die Navier-Stokes-Gleichungen den Flüssigkeitsfluss gründlich analysierten, war es ziemlich schwierig, sie für beliebige Flüsse anzuwenden, bei denen die Reynolds-Zahl die Flüssigkeitsbewegung leicht vorhersagen konnte.

1883 entdeckte der irische Wissenschaftler Osborne Reynolds die dimensionslose Zahl das sagt den Fluidfluss basierend auf statischen und dynamischen Eigenschaften wie Geschwindigkeit, Dichte, dynamischer Viskosität und Eigenschaften des Fluids voraus \ (^ 2 \). Er führte experimentelle Studien durch, um die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und dem Verhalten des Flüssigkeitsflusses zu untersuchen. Zu diesem Zweck wurde von Reynolds ein Versuchsaufbau (Abbildung 2a) unter Verwendung von gefärbtem Wasser erstellt, das in der Mitte der Querschnittsfläche in das klare Hauptwasser freigesetzt wurde, um die Bewegung des Flüssigkeitsflusses durch das Glasrohr zu visualisieren (Abbildung 2b).

Die Studie von Osborne Reynolds mit dem Titel ‚Eine experimentelle Untersuchung der Umstände, die bestimmen, ob die Bewegung von Wasser in parallelen Kanälen muss direkt oder gewunden sein ‚in Bezug auf die dimensionslose Zahl, die in „Philosophical Transactions of the Royal Society“ veröffentlicht wurde. Dem Artikel zufolge war die von Reynolds entdeckte dimensionslose Zahl geeignet, den Flüssigkeitsfluss in einem weiten Bereich von Wasser vorherzusehen Strömung in einem Rohr zum Luftstrom über ein Strömungsprofil \ (^ 2 \).

Die dimensionslose Zahl wurde als Parameter bezeichnet: math: ‚R‘, bis zum Präsentation des deutschen Physikers Arnold Sommerfeld (1868 – 1951) auf dem 4. Internationalen Mathematikerkongress in Rom (1908), wo er die R-Nummer als Reynolds bezeichnete Nummer‘. Der von Sommerfeld verwendete Begriff wird seit \ (^ 3 \) weltweit verwendet.

Ableitung

Die dimensionslose Reynolds-Zahl sagt voraus, ob der Flüssigkeitsstrom laminar oder turbulent sein würde, bezogen auf mehrere Eigenschaften wie Geschwindigkeit, Länge, Viskosität und auch Art des Flusses.Es wird als Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften ausgedrückt und kann in Einheiten bzw. Parametern wie folgt erklärt werden:

$$ Re = \ frac {ρVL} {μ} = \ frac { VL} {v} \ tag {2} $$

$$ Re = \ frac {F_ {Trägheit}} {F_ {viskos}} = \ frac {\ frac {kg} {m ^ 3 } \ times {\ frac {m} {s}} \ times {m}} {Pa \ times {s}} = \ frac {F} {F} \ tag {3} $$

$$ v = \ frac {μ} {ρ} \ tag {4} $$

Flüssigkeits-, Durchfluss- und Reynolds-Zahl

Die Anwendbarkeit der Reynolds-Zahl hängt von den Spezifikationen ab der Fluidströmung wie die Variation der Dichte (Kompressibilität), die Variation der Viskosität (nicht-Newtonsch), die interne oder externe Strömung usw. Die kritische Reynolds-Zahl ist der Ausdruck des Wertes zur Angabe des Übergangs zwischen Regimen, der sich in Bezug auf die Art der Strömung und Geometrie. Während die kritische Reynoldszahl für die turbulente Strömung in einem Rohr 2000 beträgt, liegt die kritische Reynoldszahl für die turbulente Strömung über einer flachen Platte, wenn die Strömungsgeschwindigkeit die Geschwindigkeit des freien Stroms ist, in einem Bereich von \ (10 ^ 5 \) bis \ (10 ^ 6 \). \ (^ 4 \)

Die Reynolds-Zahl sagt auch das viskose Verhalten der Strömung voraus, falls Flüssigkeiten Newtonsch sind. Daher ist es sehr wichtig, den physischen Fall wahrzunehmen, um ungenaue Vorhersagen zu vermeiden. Übergangsregime und interne & externe Flüsse sind die Grundfelder für eine umfassende Untersuchung der Reynolds-Zahl. Newtonsche Flüssigkeiten sind Flüssigkeiten mit konstanter Viskosität. Wenn die Temperatur gleich bleibt, spielt es keine Rolle, wie stark eine Newtonsche Flüssigkeit belastet wird. es wird immer die gleiche Viskosität haben. Beispiele hierfür sind Wasser, Alkohol und Mineralöl.

Übergang von laminar zu turbulent

Der Flüssigkeitsstrom kann unter zwei verschiedenen Bedingungen spezifiziert werden: laminar und turbulent. Der Übergang zwischen den Regimen ist ein wichtiges Thema, das sowohl von den Fluid- als auch von den Fließeigenschaften abhängt. Wie bereits erwähnt, kann die kritische Reynolds-Zahl als intern und extern klassifiziert werden. Während die Reynolds-Zahl bezüglich des laminar-turbulenten Übergangs für die interne Strömung angemessen definiert werden kann, ist es schwierig, eine Definition für die externe Strömung anzugeben.

Interne Strömung

Die Fluidströmung in Reynolds hatte ein Rohr als interne Strömung wie in Abbildung 2b dargestellt. Die kritische Reynolds-Zahl für den internen Fluss lautet: \ (4 \)

Strömungstyp	Reynolds-Nummernbereich
Laminares Regime	bis Re = 2300
Übergangsregime	2300 < Re < 4000
Turbulentes Regime	Re > 4000

Strömung mit offenem Kanal, Flüssigkeitsströmung in einem Objekt und Strömung mit Rohrreibung sind interne Strömungen, in denen die Reynolds-Zahl wird basierend auf dem hydraulischen Durchmesser \ (D \) anstelle der charakteristischen Länge \ (L \) vorhergesagt. Wenn das Rohr zylindrisch ist, wird der hydraulische Durchmesser \ (D \) als tatsächlicher Durchmesser des Zylinders akzeptiert, was bedeutet, dass die Reynolds-Zahl wie folgt lautet:

$$ Re = \ frac {F_ {Trägheit }} {F_ {viskos}} = \ frac {ρVD_H} {μ} \ tag {5} $$

Die Form eines Rohrs oder Kanals kann variieren (z. B. quadratisch, rechteckig usw.). In diesen Fällen wird der hydraulische Durchmesser wie folgt bestimmt:

$$ D_H = \ frac {4A} {P} \ tag {6} $$

wobei \ (A \ ) ist die Querschnittsfläche und \ (P \) ist der benetzte Umfang.

Die Reibung auf der Rohroberfläche aufgrund der Rauheit ist ein wirksamer Parameter, der berücksichtigt werden muss, da sie einen laminaren zu Turbulenzübergang und Energieverluste verursacht . Das „Moody Chart“ (Abbildung 4) wurde von Lewis Ferry Moody (1944) erstellt, um den Flüssigkeitsfluss in Rohren vorherzusagen, in denen die Rauheit wirksam war. Es ist eine praktische Methode, um Energieverluste in Bezug auf den Reibungsfaktor aufgrund der Rauheit über die gesamte Innenfläche eines Rohrs zu bestimmen. Die kritische Reynoldszahl für ein Rohr mit Oberflächenrauheit entspricht den oben genannten Bedingungen (\ (^ 2 \)). In der folgenden Tabelle sehen Sie unten eine logarithmische Skala mit einer Skala für den Reibungsfaktor links und die relative Rauheit des Rohrs rechts.

Externer Fluss

Externer Fluss, bei dem der Mainstream keine Bezirksgrenzen hat, ähnelt dem internen Fluss, der auch ein Übergangsregime hat. Strömungen über Körpern wie einer flachen Platte, einem Zylinder und einer Kugel sind die Standardfälle, mit denen der Einfluss der Geschwindigkeit im gesamten Strom untersucht wird.Der deutsche Wissenschaftler Ludwig Prandtl entdeckte 1914 die Grenzschicht, die teilweise von der Reynolds-Zahl abhängt und die Oberfläche durch laminare, turbulente und auch Übergangsregime bedeckt (^ 5 \). Die Strömung über eine flache Oberfläche ist in 5 mit Regimen gezeigt, in denen \ (x_c \) die kritische Länge für den Übergang ist, \ (L \) die Gesamtlänge der Platte ist und \ (u \) die Geschwindigkeit des freien ist Streamflow.

Im Allgemeinen erweitert sich die Grenzschicht mit der Bewegung durch \ (x \) -Richtung auf der Platte, die führt schließlich zu instabilen Bedingungen, bei denen die Reynolds-Zahl gleichzeitig zunimmt. Die kritische Reynolds-Zahl für den Fluss über eine flache Plattenoberfläche ist:

$$ Re_ {kritisch} = \ frac {ρVx} {μ} ≥3 \ mal {10 ^ 5} ~ bis ~ 3 \ mal { 10 ^ 6} \ tag {7} $$

, was von der Gleichmäßigkeit des Flusses über die Oberfläche abhängt. Während die kritischen Reynolds-Zahlen für Regime für den internen Fluss praktisch spezifiziert sind, ist es schwierig, sie für einen externen Fluss zu erkennen, der die kritische Reynolds-Zahl in Bezug auf die Geometrie diversifiziert. Abgesehen von der internen Strömung ist die Grenzschichttrennung ein anomales Problem für die externe Strömung, bei der mehrere Mehrdeutigkeiten auftreten, um ein zuverlässiges numerisches Modell in Bezug auf eine physikalische Domäne zu erzeugen. \ (^ 6 \)

Niedrig und Hohe Reynoldszahl

Die Reynoldszahl ist auch bei Navier-Stokes-Gleichungen wirksam, um mathematische Modelle abzuschneiden. Während \ (Re → ∞ \), werden die viskosen Effekte als vernachlässigbar angenommen, wenn viskose Terme in Navier-Stokes-Gleichungen fallengelassen werden. Die vereinfachte Form der Navier-Stokes-Gleichungen – Euler-Gleichungen genannt – kann dann wie folgt angegeben werden:

$$ \ frac {Dρ} {Dt} = – ρ∇ \ times {u} \ tag { 8} $$

$$ \ frac {Du} {Dt} = – \ frac {∇p} {ρ} + g \ tag {9} $$

$$ \ frac {De} {Dt} = – \ frac {p} {ρ} ∇ \ times {u} \ tag {10} $$

wobei \ (ρ \) Dichte ist, \ (u \) ist Geschwindigkeit, \ (p \) ist Druck, \ (g \) ist Gravitationsbeschleunigung und \ (e \) ist die spezifische innere Energie. \ (6 \) Obwohl viskose Effekte für Flüssigkeiten relativ wichtig sind, ist das Unsichtbare Das Flussmodell bietet teilweise ein zuverlässiges mathematisches Modell, um einen realen Prozess für bestimmte Fälle vorherzusagen. Beispielsweise ist der externe Hochgeschwindigkeitsfluss über Körper eine weit verbreitete Näherung, bei der der nichtviskose Ansatz angemessen passt.

Während \ (Re≪1 \), werden die Trägheitseffekte im Navier als vernachlässigbar und verwandte Begriffe angenommen -Stokes-Gleichungen können gelöscht werden. Die vereinfachte Form der Navier-Stokes-Gleichungen wird entweder als Kriech- oder Stokes-Fluss bezeichnet:

$$ μ∇ ^ 2u-∇p + f = 0 \ tag {11} $$

$$ ∇ \ times {u} = 0 \ tag {12} $$

Anwendung der Reynolds-Zahl

Die numerische Lösung des Flüssigkeitsflusses basiert auf mathematischen Modellen, die generiert wurden sowohl durch experimentelle Studien als auch durch verwandte physikalische Gesetze. Einer der wesentlichen Schritte während der numerischen Untersuchung besteht darin, ein geeignetes mathematisches Modell zu bestimmen, das den physikalischen Bereich simuliert. Um eine einigermaßen gute Vorhersage für das Verhalten von Flüssigkeiten unter verschiedenen Umständen zu erhalten, wurde die Reynolds-Zahl als wesentliche Voraussetzung für die Analyse des Flüssigkeitsflusses akzeptiert. Zum Beispiel kann die Bewegung von Glycerin in einem kreisförmigen Kanal durch die Reynolds-Zahl wie folgt vorhergesagt werden: \ (^ 7 \)

$$ Re_ {Glycerin} = \ frac {ρVD_H} {μ} = \ frac {1259 \ times {0.5} \ times {0.05}} {0.950} ≈ 33.1 \ tag {13} $$

wobei der Glycerinfluss gemäß der kritischen Reynolds-Zahl für den internen Fluss laminar ist.

Reynolds-Zahl SimScale

Die Reynolds-Zahl ist in SimScales Simulationsprojekten nie wirklich sichtbar, da sie automatisch berechnet wird, aber viele davon beeinflusst. Hier sind einige interessante Blog-Beiträge, die Sie über die Reynolds-Nummer in Bezug auf ihre Verwendung in SimScale lesen sollten:

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Letzte Aktualisierung: 20. Januar 2021