Celule unitare

Celule unitare: Unitatea cea mai simplă care se repetă într-un cristal

Structura solidelor poate fi descrisă ca și cum ar fi ele analogi tridimensionali ai unei bucăți de tapet. Tapetul are un design regulat care se repetă, care se extinde de la o margine la alta. Cristalele au un design similar care se repetă, dar în acest caz designul se extinde în trei dimensiuni de la o margine a solidului la cealaltă.

Putem descrie fără ambiguitate o bucată de tapet specificând dimensiunea, forma și conținutul unitate simplă de repetare în proiectare. Putem descrie un cristal tridimensional specificând dimensiunea, forma și conținutul celei mai simple unități repetate și modul în care aceste unități repetitive se stivuiesc pentru a forma cristalul.

Cea mai simplă unitate repetantă dintr-un cristal se numește unitate celulară. Fiecare celulă unitară este definită în termeni de puncte de rețea puncte din spațiu despre care particulele sunt libere să vibreze într-un cristal.

Structurile celulei unitare pentru o varietate de săruri sunt prezentate mai jos.

În 1850, Auguste Bravais a arătat că cristalele ar putea fi împărțite în 14 celule unitare, care îndeplinesc următoarele criterii.

• Celula unitară este cea mai simplă unitate repetantă din cristal.
• Fețele opuse ale o celulă unitate este paralelă.
• Marginea celulei unitare conectează puncte echivalente.

Cele 14 celule unitare Bravais sunt prezentate în figura de mai jos.

Aceste celule unitare se împart în șapte categorii, care diferă între cele trei lungimi ale muchiei unității celulei (a, b și c ) și trei unghiuri interne (a, � și g), așa cum se arată în tabelul de mai jos.

Cele șapte categorii de celule unitare Bravais

Ne vom concentra asupra categoriei cubice, care include cele trei tipuri de celule unitare cubec simplecubic, centrat pe corp și cubic centrat pe față, prezentat în figura de mai jos.

Aceste celule unitare sunt importante din două motive. În primul rând, un număr de metale, solide ionice și compuși intermetalici cristalizează în celule unitare cubice. În al doilea rând, este relativ ușor să faci calcule cu aceste celule unitare, deoarece lungimile marginii celulei sunt toate la fel și unghiurile celulei sunt toate 90.

Celula simplă a unității cubice este cea mai simplă unitate de repetare într-o structură cubică simplă . Fiecare colț al celulei unitare este definit de un punct de rețea în care un atom, ion sau moleculă poate fi găsit în cristal. Prin convenție, marginea unei unități conectează celular puncte echivalente. Prin urmare, fiecare dintre cele opt colțuri ale celulei unitare trebuie să conțină o particulă identică. Alte particule pot fi prezente pe marginile sau fețele celulei unitare sau în corpul celulei unitare. Dar minimul care trebuie să fie prezent pentru ca celula unitară să fie clasificată ca particule echivalente cubice simple în cele opt colțuri.

Celula unității cubice centrate pe corp este unitatea simplă de repetare într-o structură cubică centrată pe corp. Încă o dată, există opt particule identice pe cele opt colțuri ale celulei unității. Cu toate acestea, de data aceasta există o a noua particulă identică în centrul corpului celulei unitare.

Celula unității cubice centrate pe față începe, de asemenea, cu particule identice pe cele opt colțuri ale cubului. Dar această structură conține, de asemenea, aceleași particule în centrele celor șase fețe ale celulei unitare, pentru un total de 14 puncte de rețea identice.

Celula unității cubice centrate pe față este cea mai simplă unitate de repetare dintr-o structură cubică cea mai apropiată. De fapt, prezența celulelor unității cubice centrate pe față în această structură explică de ce structura este cunoscută sub denumirea de cel mai apropiat cub.

Celule unitare: AT Grafic tridimensional

Rețelele o celulă unitară cubică poate fi descrisă intermediarele unui grafic tridimensional. Deoarece toate cele trei lungimi ale marginii celulei sunt aceleași într-o unitate de celule cubice, nu contează ce orientare este utilizată pentru a, b și caxe. Din motive de argument, vom defini axa ca axa verticală a sistem de coordonate, așa cum se arată în figura de mai jos.

Axa b va descrie apoi mișcarea din fața celulei unității, iar axa c va reprezenta mișcarea spre spatele celula unitară. Mai mult, vom defini în mod arbitrar colțul din stânga jos al celulei unității ca origine (0,0,0). Coordonatele 1,0,0 indică un punct de rețea care este o lungime a marginii celulei departe de origine de-a lungul axei. În mod similar, 0,1,0 și 0,0,1 reprezintă puncte de rețea care sunt deplasate cu o lungime a muchiei celulei de la origine de-a lungul axelor c ale benzii, respectiv.

Gândindu-ne la celula unitară ca la trei -dimensional ne permite să descriem structura unui cristal cu o cantitate extrem de mică de informații. Putem specifica structura clorurii de cesiu, de exemplu, cu doar patru bucăți de informații.

Deoarece marginea celulei trebuie să conecteze puncte de rețea echivalente, prezența unui ion de Cl-la un colț al celulei unitare (0,0,0) implică prezența unui Cl-ion la fiecare colț al celulei . Coordonatele 1 / 2,1 / 2,1 / 2 descriu punctul de reticul în centrul celulei. Deoarece nu există niciun alt punct în celula unității care este la o lungime a marginii celulei de aceste coordonate, acesta este singurul ion Cs + din celulă. CsCl este, prin urmare, o celulă simplă a unității cubice de ioni Cl cu un Cs + în centrul corpului celulei.

Celule unitare: NaCl și ZnS

NaCl ar trebui să cristalizeze într-un matricea cubică cea mai apropiată de ioni Cl cu ioni Na + în găurile octaedrice dintre planuri de ioni Cl. Putem traduce aceste informații într-un model de unitate de celule pentru NaCl, amintind că celula de unitate cubică centrată pe față este cea mai simplă unitate de repetare din structura acubică cea mai apropiată.

Figura de mai jos arată că există o gaură octaedrică în centrul unei celule de unitate cubică centrată pe față, la coordonatele1 / 2,1 / 2,1 / 2. Orice particulă în acest moment atinge particulele din centrele celor șase fețe ale celulei unitare.

Celelalte găuri octaedrice dintr-o celulă cubică centrată pe față sunt pe marginile celulei, așa cum se arată în figură mai jos.

Dacă ioni Cl- ocupă punctele de rețea ale celulei cubice centrate în față și toate găurile octaedrice sunt umplute cu ioni Na +, obținem celula unitară prezentată în figura de mai jos. d7d48861e1 „>

Prin urmare, putem descrie structura NaCl în termenii următoarelor informații.

Plasarea unui Cl-ion în aceste patru poziții implică prezența unui Cl- ion pe fiecare dintre cele 14 puncte de rețea care definesc o unitate cubică centrată pe față. Plasarea unui ion Na + în centrul celulei unitare (1 / 2,1 / 2,1 / 2) și pe cele trei margini unice ale celulei unitare (1 / 2,0,0; 0,1 / 2,0 și 0,0,1 / 2) necesită un ion Na + echivalent în fiecare octaedru în celula unitară.

ZnS cristalizează ca o matrice cubică de ioni S2 cu ioni Zn2 + în găuri tetraedrice. Ionii S2 din acest cristal ocupă aceleași poziții ca și ionii Cl din NaCl. Singura diferență dintre aceste cristale este localizarea ionilor pozitivi. Figura de mai jos arată că găurile tetraedrice dintr-o celulă cubică centrată pe față se află în colțurile celulei unitare, la coordonate precum 1 / 4,1 / 4,1 / 4. Anatomul cu aceste coordonate ar atinge atomul de la aceste cornere, precum și atomii din centrele celor trei fețe care formează acest colț. Deși este dificil de văzut fără un model tridimensional, cei patru atomi care înconjoară această holă sunt dispuși spre colțurile unui tetraedru.

Deoarece colțurile unei celule de unitate cubică sunt identice, trebuie să fie o gaură tetraedrică în fiecare dintre cele opt colțuri ale celulei de unitate cubică centrată pe față. Dacă ionii S2- ocupă punctele de rețea ale unei celule cubice centrate pe față și ionii Zn2 + sunt împachetați în orice altă gaură tetraedrică, obținem celula de unitate a ZnS prezentată în figura de mai jos.

Prin urmare, structura ZnS poate fi descrisă după cum urmează.

Rețineți că doar jumătate din găurile tetraedrice sunt ocupate în acest cristal, deoarece există două tetraedri găuri pentru fiecare ion S2 dintr-o gamă cea mai apropiată a acestor ioni.

Celule unitare: măsurarea distanței dintre particule

Nichelul este unul dintre metalele care cristalizează într-un ambalaj cel mai mic structura. Când considerați că un atom de nichel are o masă de numai 9,75 x 10-23 g și o rază ionică de numai 1,24 x 10-10 m, este o realizare remarcabilă să puteți descrie structura acestui metal. Întrebarea evidentă este: De unde știm că nichelul se împachetează într-o structură cu cea mai mică densitate?

Singura modalitate de a determina structura materiei pe o scară atomică este utilizarea unei sonde care este și mai mică. Una dintre cele mai utile sonde pentru studierea materiei pe această scară este radiația electromagnetică.

În 1912, Max van Laue a constatat că razele X care loveau suprafața unui cristal erau difractate în modele care seamănă cu modelele produse atunci când lumina trece un foarte îngust. La scurt timp după aceea, William Lawrence Bragg, care tocmai își încheia diploma de licență în fizică la Cambridge, a explicat rezultatele lui Van Laue cu o ecuație cunoscută sub numele de Braggequation, care ne permite să calculăm distanța dintre planurile de atomi dintr-un cristal de tiparul de difracție ofx -raje de lungime de undă cunoscută.

n = 2d sin T

Modelul prin care razele X sunt difractate de metalele din nichel sugerează că acest metal se împachetează într-o celulă cubică cu distanță între planurile atomilor de 0,3524 nm. Astfel, lungimea marginii celulei în acest cristal trebuie să fie 0,3524 nm. Știind că nichelul cristalizează într-o celulă cubică nu este suficient.Trebuie totuși să decidem dacă este o celulă cubică simplă, centrată pe corp sau centrată pe față. Acest lucru se poate face prin măsurarea densității metalului.

Celule unitare: determinarea celulei unitare a unui cristal

Atomii de pe colțuri, margini și fețe ale unei celule unitare sunt împărțiți cu mai multe decât o unitate de celule, așa cum se arată în figura de mai jos. Un atom de pe o față este împărțit de două celule unitare, astfel încât doar jumătate din atom aparține fiecăreia dintre aceste celule. Un atom pe o margine este împărțit de patru celule unitare, iar un atom pe un colț este împărțit de opt celule unitare. Astfel, numai un sfert de atom pe o margine și o optime de atom pe un colț pot fi atribuite fiecărei celule unitare care împart acești atomi.

Dacă nichelul cristalizează într-o celulă simplă de unitate cubică, ar exista un atom de nichel pe Fiecare dintre cele opt colțuri ale celulei. Deoarece doar o optime dintre acești atomi poate fi atribuită unei celule de unitate date, fiecare celulă dintr-o structură cubică simplă ar avea un atom net de nichel.

8 colțuri x 1/8 = 1 atom

Dacă nichelul ar forma o structură cubică centrată pe corp, ar exista doi atomi pe unitate de celulă, deoarece atomul de nichel din centrul corpului nu ar putea fi partajat cu alte celule unitare.

Structura cubică centrată pe corp:

(8 colțuri x 1/8) + 1 corp = 2 atomi

Dacă nichelul se cristalizează într-o structură cubică centrată pe față, cei șase atomi de pe fețele celulei unitare ar contribui la atomi de nichel, pentru un total de patru atomi pe unitate de celulă.

Structură cubică centrată pe față:

(8 colțuri x 1/8) + (6 fețe x 1/2) = 4 atomi

Deoarece au un număr diferit de atomi într-o unitate celulară, fiecare dintre aceste structuri ar avea o densitate diferită. Să „calculăm, prin urmare, densitatea pentru nichel pe baza fiecărei structuri și lungimea unității de margine a celulei pentru nichel din secțiunea anterioară: 0,3524 nm. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem volumul celulei unitare în centimetri cubi și masa dintr-un singur atom de nichel.

Volumul (V) al celulei unitare este egal cu lungimea marginii celulei (a) în cuburi.

V = a3 = (0.3524nm) 3 = 0,04376 nm3

Deoarece există 109 nm într-un metru și 100 cm în ametru, trebuie să existe 107 nm într-un cm.

Prin urmare, putem converti volumul celulei unitare în cm3 după cum urmează.

Masa a unui atom de nichel poate fi calculat din greutatea atomică a acestui metal și din numărul lui Avogadro.

Densitatea nichelului, dacă s-ar cristaliza într-o structură cubică simplă, ar fi de aceea 2,23 g / cm3, până la trei cifre semnificative.

Structură cubică simplă:

Deoarece ar exista de două ori mai mulți atomi pe unitate de celulă dacă nichelul cristalizează într-o structură cubică centrată pe corp, densitatea nichelului în această structură ar fi de două ori mai mare.

Structura cubică centrată pe corp:

Ar exista patru atomi pe unitate de celulă într-o structură cubică centrată pe față, iar densitatea nichelului în această structură ar fi de patru de două ori mai mare.

Structură cubică centrată pe față:

Valoarea experimentală pentru densitatea nichelului este de 8,90 g / cm3. Concluzia evidentă este că nichelul cristalizează într-o celulă cubică centrată în față și, prin urmare, are cea mai mică -structură ambalată.

Celule unitare: CalculatingMetallic sau Ionic Radii

Se pot găsi estimări ale razelor celor mai mulți atomi de metal. De unde provin aceste date? De unde știm, de exemplu, că teradiusul unui atom de nichel este de 0,1246 nm?

Nichelul cristalizează într-o celulă cubică centrată pe față, cu o lungime a muchiei acell de 0,3524 nm pentru a calcula raza unui nickelatom .

Una dintre fețele unei celule de unitate cubică centrată pe față este prezentată în figura de mai jos.

Conform acestei figuri, diagonala de pe fața acestei celule de unitate este egală cu de patru ori raza unui atom de nichel .

Teorema lui Pitagora afirmă că diagonala din triunghiul drept este egală cu suma pătratelor celorlalte părți. Diagonala de pe fața celulei unitare este legată de lungimea marginii unitate-celulă prin următoarea ecuație.

Luând rădăcina pătrată a ambelor părți dă următorul rezultat.

Înlocuim acum în această ecuație relația dintre diagonală pe fața această celulă unitară și raza unui atom de nichel:

Rezolvarea pentru raza unui atom de nichel dă o valoare de 0.1246 nm:

O abordare similară poate fi luată pentru estimarea dimensiunii anionului.Să începem folosind faptul că lungimea marginii celulei clorura de incesiu este 0,4123 nm pentru a calcula distanța dintre centrele ionilor Cs + și Cl- înCsCl.

CsCl cristalizează într-o celulă simplă a unității cubice de Ionii Cl cu un ion Cs + în centrul corpului celulei, așa cum se arată în figura de mai jos.

Înainte putem calcula distanța dintre centrele ionilor Cs + și Cl- din acest cristal, totuși, trebuie să recunoaștem validitatea uneia dintre cele mai simple presupuneri despre solidele ionice: ionii pozitivi și negativi care formează aceste cristale se ating.

rin urmare, putem presupune că diagonala de-a lungul corpului celulei unității CsCl este echivalentă cu suma razelor a doi ioni Cl și a doi ioni Cs +.

Echivalentul tridimensional al teoremei pitagoreice sugerează că pătratul diagonalei de pe corpul cubului este suma pătratelor celor trei laturi.

Luând rădăcina pătrată a ambelor părți ale acestei ecuații dă următorul rezultat.

Dacă lungimea marginii celulei în CsCl este 0,4123 nm, diagonala transversală a corpului din această celulă este de 0,7141 nm.

Suma razelor ionice ale ionilor Cs + și Cl-este la jumătate din această distanță, sau 0,3571 nm.

Dacă am avea o estimare a dimensiunii Cs + sau Cl- ion, am putea folosi rezultatele pentru calculați teradiusul celuilalt ion. Raza ionică a ionului Cl este de 0,181 nm. Înlocuirea acestei valori în ultima ecuație oferă o valoare de 0,176 nm pentru raza ionului Cs +.

Rezultatele acestui calcul sunt în acord rezonabil cu valoarea de 0,169 nm cunoscută pentru raza ionului Cs +. Discrepanța dintre aceste valori reflectă faptul că razele ionice variază de la un cristal la altul. Valorile tabulate sunt medii ale rezultatelor unui număr de calcule de acest tip.