Você sabe que gosto dos MythBusters, certo? Bem, há já algum tempo que pretendo ver o mito das balas atirando no ar. Agora é a hora. Se você não pegou aquele episódio em particular, os MythBusters queriam ver o quão perigoso era atirar uma bala direto para o ar.

Não vou atirar em nenhuma arma, nem mesmo lançar balas – isso é para os MythBusters. O que farei em vez disso é fazer um cálculo numérico do movimento de uma bala disparada no ar. Aqui está o que Adam disse sobre as balas:

Veja mais

• Um cartucho .30-06 alcançará 10.000 pés de altura e levará 58 segundos para descer
• Um 9 mm vai 4.000 pés e leva 37 segundos para descer.

Adam também foi capaz de determinar experimentalmente que tanto o 9 mm quanto o .30-06 tem uma velocidade terminal de cerca de 160 km / h. Então, é com isso que eu tenho que trabalhar. Oh – também, eles mediram a distância que uma bala de 9 mm penetrou na terra (mas não conseguiram encontrar as .30-06).

O plano

Na verdade, é semelhante a Hancock jogando um menino. O plano básico é usar um cálculo numérico para modelar o movimento de uma bala. Depois que a bala sai da arma, ela tem forças agindo sobre ela assim:

Fiz dois diagramas de força porque a força da resistência do ar vai estar na direção oposta do movimento. Isso significa que mover o marcador para cima será diferente do que descer. Portanto, este problema parece bastante simples – certo? Na verdade, já fiz isso antes (aqui está um exemplo da resistência do ar em uma bola de futebol). Mas, neste caso, há algumas outras coisas a se considerar.

• O modelo normal de resistência do ar funciona (sendo proporcional a v2)?
• Qual é o coeficiente de arrasto de uma bala?
• E quanto à densidade do ar? Preciso levar isso em consideração?
• E quanto à mudança no campo gravitacional da Terra conforme a bala se move para cima?

Modelagem Numérica

Não quero entrar em detalhes, mas caso você tenha esquecido, o cálculo numérico funciona desta maneira:

• Divida o movimento em pequenos passos de tempo. Durante esses passos, posso fingir (supor) que a força é constante. Com um tempo pequeno o suficiente, isso é verdade.
• Para cada etapa de tempo: Calcule a força
• Calcule a mudança no momento (assumindo a força constante)
• Calcule a mudança na posição (assumindo o momento constante)
• repita

Se você quiser mais detalhes sobre cálculos numéricos, verifique esta postagem básica.

Informações iniciais

Vou apenas dar uma olhada no .30-06, mas preciso de algumas informações de balística. Aqui está o que eu encontrei (wikipedia, é claro)

• Massa da lesma = 9,7 gramas
• Velocidade do focinho = 880 m / s (na verdade, este é apenas o mais rápido – o mais lento é 760 m / se 14 g – não tenho certeza de quais Mythbusters usaram)
• Velocidade terminal = 44,7 m / s

Resistência do ar

Se eu quiser modelar a resistência do ar, posso usar o seguinte:

O problema é que as balas vão muito rápido. Quero dizer muito rápido. Não é seguro assumir que o coeficiente de arrasto (C) é constante com a velocidade. A Wikipedia vem para o resgate novamente. Neste caso, existe esta tabela muito útil:

Aparentemente, há muito debate sobre a resistência de uma bala no ar. Vou apenas usar a tabela acima para fazer o coeficiente de arrasto variável. Então, isso é C, posso encontrar a área efetiva olhando para a velocidade terminal. Na velocidade terminal, o peso = resistência do ar, então:

Usando os valores conhecidos para massa, g, C (da tabela) e a densidade do ar (ao nível do mar), obtenho uma área de A = 3,45 x 10-4 m2. A Wikipedia lista a bala como tendo um diâmetro de 7,823 mm – isso daria uma área de 1,9 x 10-4 m2. Acho que estão no mesmo estádio. Bem, existe uma maneira de testar o que é certo – mas vou começar com a da velocidade terminal.

Densidade do ar

Isso está começando a ficar complicado. Ainda bem que estou fazendo um computador fazer todo o trabalho. Se os MythBusters estiverem corretos e a bala atingir 10.000 pés de altura, então terei que olhar para a mudança na densidade do ar. Aqui está uma explicação da densidade com cálculo de altitude. Usando essa expressão (que não estou mostrando porque é enfadonha), posso representar graficamente a densidade em função da altitude.É isso:

Dependência da gravidade com a altura

Claro que o campo gravitacional não é constante com a altura, mas está perto o suficiente? O campo gravitacional real (g) é:

Onde G é a constante gravitacional universal, mE é a massa da Terra, RE é o raio da Terra e h é a altura acima da superfície. Qual seria o valor de g em 4000 metros? (os MythBusters disseram que a bala atingiu 10.000 pés – cerca de 3.000 metros). Ou melhor, qual seria a diferença percentual entre a superfície e 3.000 metros acima? É 99,9% do valor na superfície. Posso apenas fingir que é constante.

Agora, para o cálculo:

Aqui está um gráfico da posição vertical do projétil em função do tempo, disparado diretamente para cima.

Bem, isso não “concorda com o modelo MythBusters”. E se eu escolher o valor de área menor?

Melhor, mas ainda não concorda? Eu poderia tentar uma bala diferente. Deixe-me tentar aquele com menor velocidade de focinho, mas maior massa. Vou usar uma massa de 14 gramas e uma velocidade inicial de 760 m / s. Isso dá uma altura máxima de cerca de 1300 metros com um tempo total de cerca de 34 segundos.

I acho que vejo outro erro. Minha tabela de coeficientes de arrasto são comparados com o número mach, não com a velocidade. Se eu aumentar minha altitude, isso muda a velocidade do som – doh! Ok, não acho que isso importe muito. Aqui está uma calculadora de velocidade do som. É da NASA, então tem que ser boa, certo? De qualquer forma, ele diz que a velocidade do som ao nível do mar é de 340 m / s, a 5000 metros é de 320 m / s. Em vez de calcular a velocidade em todas as alturas, apenas mudei a velocidade do som para 320 m / s. Isso realmente não muda a altura máxima.

Talvez o problema seja com o coeficiente de arrasto. Aqui está um gráfico do coeficiente de arrasto (C) como uma função da velocidade.

Parece “em bloco” porque estou apenas usando dados daquela tabela da Wikipédia. Mas talvez isso é o problema. Na verdade, talvez o problema seja que a tabela de coeficientes de arrasto não funciona muito bem em velocidades baixas (muito baixas).

Talvez isso nem esteja errado

Agora que penso sobre isso, o MythBuster disse que simularam o .30-06, mas quando eles atiraram no ar, eles nunca ouviram nem encontraram as balas. Quem sabe quanto tempo demorou. Eles sabiam a hora das balas de 9 mm, eles as ouviram atingir o solo. Deixe-me fazer meus cálculos com as informações de 9 mm. Usando massa de 7,45 gramas e velocidade inicial de 435 m / s, obtenho:

O que parece muito mais próximo do que eles (MythBusters) tinham. E acabei de perceber outro erro no .30-06. Calculei a área com o diâmetro em vez do raio.

Ver. Isso é melhor. Espero que esta seja uma lição para todos vocês, crianças. Cuidado com o fator de 2 “s. Claro, se eu fizer isso funcionar, agora minha velocidade terminal é muito maior do que o que eles mediram. Muito bem.

Meu próximo passo é olhar para a velocidade final de a bala se você atirar não diretamente para cima. Suspeito que é assim que as pessoas são mortas.