Bezwymiarowa liczba Reynoldsa odgrywa znaczącą rolę w przewidywaniu wzorców w zachowaniu płynu. Liczba Reynoldsa, określana jako Re, służy do określenia, czy przepływ płynu jest laminarny, czy turbulentny. Jest to jeden z głównych parametrów kontrolnych we wszystkich przepływach lepkościowych, w których model numeryczny jest wybierany zgodnie z wstępnie obliczoną liczbą Reynoldsa.

Chociaż liczba Reynoldsa obejmuje zarówno właściwości statyczne, jak i kinetyczne płynów, jest określana jako właściwość przepływu, ponieważ badane są warunki dynamiczne. Technicznie rzecz biorąc, liczba Reynoldsa to stosunek sił bezwładności do sił lepkości. Ten stosunek pomaga sklasyfikować przepływy laminarne od turbulentnych.

Siły bezwładności są odporne na zmianę prędkości obiektu i są przyczyną ruchu płynu. Siły te dominują w przepływach turbulentnych. W przeciwnym razie, jeśli dominują siły lepkości, definiowane jako opór przepływu – przepływ jest laminarny. Liczbę Reynoldsa można określić w następujący sposób:

$$ Re = \ frac {inertial ~ force} {lepkość ~ siła} = \ frac {fluid ~ and ~ flow ~ properties} {fluid ~ properties} \ tag {1} $$

Na przykład szklanka wody stojąca na statycznej powierzchni, niezależnie od sił innych niż grawitacja, pozostaje w spoczynku, a właściwości przepływu są ignorowane. Zatem licznik w równaniu (1) wynosi „0”. Oznacza to niezależność od liczby Reynoldsa dla płynu w spoczynku. Z drugiej strony, podczas gdy woda jest rozlewana przez przechylanie szklanki wypełnionej wodą, można oszacować liczbę Reynoldsa do przewidywania przepływu płynu przedstawionego na rysunku 1.

Historia

Teoria bezwymiarowej liczby, która przewiduje przepływ płynu, została początkowo wprowadzona przez Sir George’a Stokesa (1819-1903), który próbował obliczyć siłę oporu działającą na kulę, zaniedbując termin bezwładności. Stokes przeprowadził również badania Claude’a Louisa Naviera (1785-1836), idąc dalej i wyprowadzając równanie ruchu przez dodanie lepkiego terminu w 1851 roku – tym samym ujawniając Navier-S równanie tokesa \ (^ 1 \).

Przepływ Stokesa, nazwany tak od podejścia Stokesa do lepkiego przepływu płynu, jest modelem matematycznym, w którym liczba Reynoldsa jest tak mała, że przyjmuje się, że wynosi zero. Różni naukowcy przeprowadzili badania, aby zbadać właściwości ruchu płynu po Stokesie. Mimo że równania Naviera-Stokesa dokładnie przeanalizowały przepływ płynu, trudno było je zastosować do dowolnych przepływów, w których liczba Reynoldsa mogła z łatwością przewidzieć ruch płynu.

W 1883 roku irlandzki naukowiec Osborne Reynolds odkrył bezwymiarową liczbę który przewiduje przepływ płynu na podstawie właściwości statycznych i dynamicznych, takich jak prędkość, gęstość, lepkość dynamiczna i charakterystyka płynu \ (^ 2 \). Przeprowadził badania eksperymentalne, aby zbadać związek między prędkością a zachowaniem przepływu płynu. W tym celu Reynolds stworzył układ doświadczalny (ryc. 2a) przy użyciu zabarwionej wody, która została uwolniona w środku obszaru przekroju poprzecznego do głównej czystej wody, aby zwizualizować ruch przepływu płynu przez szklaną rurkę (ryc. 2b). .

Badanie Osborne Reynolds zatytułowane „Eksperymentalne badanie okoliczności, które określają, czy ruch wody w kanałach równoległych powinno być bezpośrednie lub faliste ”, biorąc pod uwagę bezwymiarową liczbę opublikowaną w„ Filozoficznych transakcjach Towarzystwa Królewskiego ”. Zgodnie z artykułem, bezwymiarowa liczba odkryta przez Reynoldsa była odpowiednia do przewidzenia przepływu płynu w szerokim zakresie od wody przepływ w rurze do przepływu powietrza nad płatem \ (^ 2 \).

Bezwymiarowa liczba była określana jako parametr: matematyka: 'R', aż do prezentacja niemieckiego fizyka Arnolda Sommerfelda (1868 – 1951) na IV Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Rzymie (1908), gdzie odniósł się do liczby „R” jako „Reynolds liczba ”. Termin używany przez Sommerfelda jest używany na całym świecie od \ (^ 3 \).

Wyprowadzenie

Bezwymiarowa liczba Reynoldsa przewiduje, czy przepływ płynu będzie laminarny czy turbulentny, odnosząc się do kilku właściwości, takie jak prędkość, długość, lepkość, a także rodzaj przepływu.Jest wyrażona jako stosunek sił bezwładności do sił lepkości i może być wyjaśniona odpowiednio za pomocą jednostek i parametrów, jak poniżej:

$$ Re = \ frac {ρVL} {μ} = \ frac { VL} {v} \ tag {2} $$

$$ Re = \ frac {F_ {inertia}} {F_ {Viscous}} = \ frac {\ frac {kg} {m ^ 3 } \ times {\ frac {m} {s}} \ times {m}} {Pa \ times {s}} = \ frac {F} {F} \ tag {3} $$

$$ v = \ frac {μ} {ρ} \ tag {4} $$

Płyn, przepływ i liczba Reynoldsa

Możliwość zastosowania liczby Reynoldsa różni się w zależności od specyfikacji przepływu płynu, takie jak zmiana gęstości (ściśliwość), zmiana lepkości (nienewtonowska), przepływ wewnętrzny lub zewnętrzny itp. Krytyczna liczba Reynoldsa jest wyrażeniem wartości określającej przejście między reżimami, które różnicuje się pod względem rodzaj przepływu i geometrię. Podczas gdy krytyczna liczba Reynoldsa dla przepływu turbulentnego w rurze wynosi 2000, krytyczna liczba Reynoldsa dla przepływu turbulentnego po płaskiej płycie, gdy prędkość przepływu jest prędkością swobodnego strumienia, mieści się w zakresie od \ (10 ^ 5 \) do \ (10 ^ 6 \). \ (^ 4 \)

Liczba Reynoldsa również przewiduje lepkie zachowanie przepływu w przypadku, gdy płyny są niutonowskie. Dlatego bardzo ważne jest, aby dostrzec fizyczny przypadek, aby uniknąć niedokładnych prognoz. Reżimy przejściowe i wewnętrzne & przepływy zewnętrzne są podstawowymi polami do kompleksowego badania liczby Reynoldsa. Płyny newtonowskie to płyny o stałej lepkości. Jeśli temperatura pozostaje taka sama, nie ma znaczenia, jak duży nacisk zostanie przyłożony do płynu newtonowskiego; zawsze będzie miał tę samą lepkość. Przykłady obejmują wodę, alkohol i olej mineralny.

Przejście laminarne do turbulentnego

Przepływ płynu można określić w dwóch różnych trybach: laminarnym i turbulentnym. Przejście między reżimami jest ważną kwestią wynikającą zarówno z właściwości płynu, jak i przepływu. Jak wspomniano wcześniej, krytyczną liczbę Reynoldsa można podzielić na wewnętrzną i zewnętrzną. Mimo że liczbę Reynoldsa dotyczącą przejścia laminarno-turbulentnego można rozsądnie zdefiniować dla przepływu wewnętrznego, trudno jest określić definicję przepływu zewnętrznego.

Przepływ wewnętrzny

Przepływ płynu w Rura jako przepływ wewnętrzny została zilustrowana przez Reynoldsa na rysunku 2b. Krytyczna liczba Reynoldsa dla przepływu wewnętrznego to: \ (4 \)

Typ przepływu	Zakres liczb Reynoldsa
Reżim laminarny	do Re = 2300
Reżim przejściowy	2300 < Re < 4000
Tryb burzliwy	Re > 4000

Przepływ w otwartym kanale, przepływ płynu w obiekcie i przepływ z tarciem w rurach to przepływy wewnętrzne, w których liczba Reynoldsa jest przewidywany na podstawie średnicy hydraulicznej \ (D \) zamiast długości charakterystycznej \ (L \). W przypadku, gdy rura jest cylindryczna, za rzeczywistą średnicę cylindra przyjmuje się średnicę hydrauliczną \ (D \), co oznacza, że liczba Reynoldsa jest następująca:

$$ Re = \ frac {F_ {inertia }} {F_ {Viscous}} = \ frac {ρVD_H} {μ} \ tag {5} $$

Kształt rury lub kanału może się zmieniać (np. Kwadratowy, prostokątny itp.). W takich przypadkach średnica hydrauliczna jest określana w następujący sposób:

$$ D_H = \ frac {4A} {P} \ tag {6} $$

gdzie \ (A \ ) to pole przekroju, a \ (P \) to obwód zwilżany.

Tarcie na powierzchni rury spowodowane chropowatością jest skutecznym parametrem do rozważenia, ponieważ powoduje przejście laminarne do turbulencji i straty energii . „Wykres Moody’ego” (Rysunek 4) został wygenerowany przez Lewisa Ferry’ego Moody’ego (1944) w celu przewidzenia przepływu płynu w rurach, w których szorstkość była skuteczna. Jest to praktyczna metoda określania strat energii w kategoriach współczynnika tarcia spowodowanego chropowatością na wewnętrznej powierzchni rury. Krytyczna liczba Reynoldsa dla rury o chropowatości powierzchni jest zgodna z reżimami powyżej \ (^ 2 \). Na poniższym wykresie na dole widać skalę logarytmiczną ze skalą współczynnika tarcia po lewej stronie i względną chropowatością rury po prawej stronie.

Przepływ zewnętrzny

Przepływ zewnętrzny, w którym główny nurt nie ma granic dzielnic, jest podobny do przepływu wewnętrznego, który również ma system przejściowy. Przepływy nad ciałami takimi jak płaska płyta, cylinder i kula są standardowymi przypadkami używanymi do badania wpływu prędkości w całym strumieniu.W 1914 roku niemiecki naukowiec Ludwig Prandtl odkrył warstwę graniczną, która jest częściowo funkcją liczby Reynoldsa, pokrywającą powierzchnię poprzez reżimy laminarne, turbulentne, a także przejściowe \ (^ 5 \). Przepływ po płaskiej powierzchni pokazano na rysunku 5 w reżimach, w których \ (x_c \) to długość krytyczna przejścia, \ (L \) to całkowita długość płyty, a \ (u \) to prędkość swobodnego streamflow.

Ogólnie warstwa graniczna rozszerza się wraz z ruchem w kierunku \ (x \) na płycie, ostatecznie powoduje niestabilne warunki, w których liczba Reynoldsa rośnie jednocześnie. Krytyczna liczba Reynoldsa dla przepływu po powierzchni płaskiej płyty wynosi:

$$ Re_ {krytyczne} = \ frac {ρVx} {μ} ≥3 \ times {10 ^ 5} ~ do ~ 3 \ times { 10 ^ 6} \ tag {7} $$

co zależy od jednorodności przepływu na powierzchni. Jednak chociaż krytyczne liczby Reynoldsa dla reżimów są praktycznie określone dla przepływu wewnętrznego, trudno jest je wykryć dla przepływu zewnętrznego, który różnicuje krytyczną liczbę Reynoldsa w zakresie geometrii. Ponadto, poza przepływem wewnętrznym, separacja warstwy granicznej jest anomalnym problemem dla przepływu zewnętrznego, w którym napotyka się kilka niejednoznaczności w celu wygenerowania wiarygodnego modelu numerycznego w odniesieniu do domeny fizycznej. \ (^ 6 \)

Niski i Wysoka liczba Reynoldsa

Liczba Reynoldsa jest również skuteczna w równaniach Naviera-Stokesa przy obcinaniu modeli matematycznych. Podczas gdy \ (Re → ∞ \), zakłada się, że efekty lepkości są nieistotne, gdy wyrazy lepkości w równaniach Naviera-Stokesa są pomijane. Uproszczoną postać równań Naviera-Stokesa – zwaną równaniami Eulera – można następnie określić w następujący sposób:

$$ \ frac {Dρ} {Dt} = – ρ∇ \ times {u} \ tag { 8} $$

$$ \ frac {Du} {Dt} = – \ frac {∇p} {ρ} + g \ tag {9} $$

$$ \ frac {De} {Dt} = – \ frac {p} {ρ} ∇ \ times {u} \ tag {10} $$

gdzie \ (ρ \) to gęstość, \ (u \) to prędkość, \ (p \) to ciśnienie, \ (g \) to przyspieszenie grawitacyjne, a \ (e \) to właściwa energia wewnętrzna. \ (6 \) Chociaż efekty lepkości są stosunkowo ważne dla płynów, model przepływu zapewnia częściowo wiarygodny model matematyczny do przewidywania rzeczywistego procesu w określonych przypadkach. Na przykład, szybki przepływ zewnętrzny nad ciałami jest szeroko stosowanym przybliżeniem, w którym podejście nielepkie pasuje rozsądnie.

Chociaż \ (Re≪1 \), efekty bezwładności są przypuszczalnie nieistotne i powiązane terminy w Navier -Równania Stokesa można porzucić. Uproszczona postać równań Naviera-Stokesa nazywa się przepływem pełzającym lub przepływem Stokesa:

$$ μ∇ ^ 2u-∇p + f = 0 \ tag {11} $$

$$ ∇ \ times {u} = 0 \ tag {12} $$

Zastosowanie liczby Reynoldsa

Numeryczne rozwiązanie przepływu płynu opiera się na modelach matematycznych, które zostały wygenerowane zarówno przez badania eksperymentalne, jak i związane z nimi prawa fizyczne. Jednym z istotnych kroków w badaniu numerycznym jest określenie odpowiedniego modelu matematycznego symulującego domenę fizyczną. Aby uzyskać dość dobre prognozy zachowania płynów w różnych okolicznościach, liczbę Reynoldsa przyjęto jako zasadniczy warunek wstępny analizy przepływu płynów. Na przykład ruch gliceryny w kanale kołowym można przewidzieć na podstawie liczby Reynoldsa w następujący sposób: \ (^ 7 \)

$$ Re_ {Glycerin} = \ frac {ρVD_H} {μ} = \ frac {1259 \ times {0.5} \ times {0,05}} {0,950} ≈ 33,1 \ tag {13} $$

gdzie przepływ gliceryny jest laminarny zgodnie z krytyczną liczbą Reynoldsa dla przepływu wewnętrznego.

Liczba Reynoldsa SimScale

Liczba Reynoldsa nigdy nie jest tak naprawdę widoczna w projektach symulacyjnych SimScale, ponieważ jest obliczana automatycznie, ale wpływa na wiele z nich. Oto kilka interesujących postów na blogu do przeczytania na temat liczby Reynoldsa w odniesieniu do jej użycia w SimScale:

• Co wszyscy powinni wiedzieć o CFD
• Jak dołeczki na piłce golfowej Wpływ na jego lot i aerodynamikę
• 10 symulacji projektowania rurociągów: analizy przepływu płynów i naprężeń

Ostatnia aktualizacja: 20 stycznia 2021