→ For flere matematikkopplæringer, sjekk ut Math Hacks på YouTube! ←

Første gang jeg hørte dette problemet, satt jeg på et 300-trinns matematisk statistikk-kurs i et lite universitet i stille nordvest. Det var en klasse på rundt 30 studenter, og professoren satset på at minst to av oss hadde samme bursdag.

Han fortsatte så med at alle oppga bursdagen sin. Når det kom til min tur, uttalte jeg fødselsdatoen min som «to kuberte, tre kuberte», noe som fikk klassen til å le da vår cerebrale professor tok en stund for å tyde datoen.

Uansett som han spådde før han kom til den siste studenten et par matchende bursdager ble funnet.

Så hvor heldig var det at han fant et matchende par?

Oppvarming

Antagelse: For enkelhets skyld vil vi ignorere muligheten for å bli født 29. februar.

La oss begynne med et enkelt eksempel for å varme opp hjernen vår:

Hva er sannsynligheten for at to personer deler samme bursdag?

Person A kan bli født på hvilken som helst dag i året siden de er den første personen vi spør om. Sannsynligheten for å bli født hvilken som helst dag i året er 1 eller nærmere bestemt: 365/365.

Siden person B må være født samme dag som person A, er sannsynligheten deres 1/365.

Vi vil at begge disse hendelsene skal skje slik multipliser sannsynlighetene:

Så du har 0,27% sjanse for å gå opp til en fremmed og oppdage at bursdagen deres er samme dag som din. Det er ganske slank.

Men hva med en større gruppe?

Hva er sjansen for at minst 2 av 4 personer deler samme bursdag?

Vel å løse dette problemet må vi beregne alt følgende:

• Sannsynlighet A og B deler samme bursdag
• Sannsynlighet A og C deler samme bursdag
• Sannsynlighet A og D deler samme bursdag
• Sannsynlighet B og C deler samme bursdag
• Sannsynlighet B og D deler samme bursdag
• Sannsynlighet C og D deler samme bursdag
• Sannsynlighet A, B og C deler samme bursdag
• Sannsynlighet B, C og D deler samme bursdag
• Sannsynlighet A , C og D deler samme bursdag
• Sannsynlighet A, B og D deler samme bursdag
• Sannsynlighet A, B, C og D deler alle samme bursdag

Yuck, det er mange beregninger! Tenk deg hvor mange sannsynligheter vi må beregne for et klasserom på 30 studenter!

Det må være en bedre måte …

En bedre måte: komplikasjonens triks

Den enkleste måten å komme seg rundt på å beregne en sannsynlighet for bajillion er å se på problemet fra en annen vinkel:

Hva er sannsynligheten for at ingen deler samme bursdag?

Denne alternative øvelsen er nyttig fordi den er det helt motsatte av vårt opprinnelige problem (dvs. komplementet). Sannsynligvis vet vi at summen av alle mulige utfall (dvs. prøveområdet) alltid er lik 1 eller 100% sjanse.

Siden sannsynligheten for at minst 2 personer har samme bursdag og sannsynligheten for at ingen skal ha samme bursdag dekker alle mulige scenarier, vi vet at summen av sannsynlighetene deres er 1.

Eller tilsvarende:

Yay! Det blir mye lettere å beregne.

Beregningen

Kjempebra! Vi er endelig klar til å finne ut hvor trygt et veddemål professor gjorde.

La oss finne ut sannsynligheten for at ingen deler den samme bursdagen ut av et rom på 30 personer.

La oss ta dette trinn for trinn:

• Den første studenten kan bli født hvilken som helst dag, så vi gir ham en sannsynlighet på 365/365.
• Neste student er nå begrenset til 364 mulige dager, så den andre studentens sannsynlighet er 364/365.
• Den tredje studenten kan bli født på en hvilken som helst av de resterende 363 dagene, så 363/365.

Dette mønsteret fortsetter slik at vår siste student har en sannsynlighet på 336 / 365 (365 – 29 dager siden studentene før henne brukte 29 potensielle dager).

Igjen multipliser alle 30 sannsynlighetene sammen:

Vent! Det er litt rotete. La oss rydde opp i dette.

Siden nevneren er tredve 365 multiplisert sammen, kan vi skrive den om som:

La oss bruke fabrikkmerker (symbolsk:!) for å rydde opp denne beregningen ytterligere.

(Husk at faktorier er nyttige for å multiplisere sammen synkende positive heltall. For eksempel 5! tilsvarer 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Bruk av fakta, 365! ville tilsvare produktet av alle synkende heltall fra 365 ned til 1. Vi vil bare ha produktet av heltallene fra 365 til 336, så vi deler ut de fremmede tallene ved å dele 365! av 335 !.

Merk: Hvis dette forvirrer, prøver du en mindre verdi som 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Legg merke til hvordan 3 • 2 • 1 er i både teller og nevner. De ‘avbryter’ og lager 5! / 3! = 5 • 4.

Når vi setter det hele sammen, har vi nå et uttrykk som enkelt kan legges inn på en vitenskapelig kalkulator:

Dette beregner til 0,294 eller 29,4% sjanse for at ingen i klassen har samme bursdag. Selvfølgelig vil vi ha komplementet, så vi trekker det fra 1 for å finne sannsynligheten for at minst 2 personer i en gruppe på 30 deler samme fødselsdag.

Det viser seg at det var en ganske trygg innsats for professoren vår! Han hadde nesten 71% sjanse for at to eller flere av oss ville dele en bursdag.

En femti-femti sjanse

Mange mennesker er overrasket over å finne ut at hvis du gjentar denne beregningen med en gruppe på 23 personer vil du fremdeles ha 50% sjanse for at minst to personer ble født samme dag.

Det er en relativt liten gruppe mennesker med tanke på at det er 365 mulige fødselsdager! Det betyr at det i alle grupper på mer enn 23 personer er sannsynlig at minst to personer deler samme fødselsdag.

For en gal liten faktoid!

❤ BLI TILKOBLET ❤

Hold deg oppdatert med alt Math Hacks gjør!