確率変数（またはベクトル）Xの確率密度関数がfX（x）として与えられる場合、次のように計算することができます（ただし、多くの場合、必須ではありません。以下を参照）。ある変数Y = g（X）の確率密度関数。これは「変数変換」とも呼ばれ、実際には、既知の（たとえば一様な）乱数ジェネレーターを使用して任意の形状の確率変数fg（X）= fYを生成するために使用されます。

Itは、期待値E（g（X））を見つけるために、最初に新しい確率変数Y = g（X）の確率密度fg（X）を見つける必要があると考えたくなります。ただし、計算するのではなく

E⁡（g（X））= ∫−∞∞yfg（X）（y）dy、{\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big（} g（X）{\ big）} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} yf_ {g（X）}（y）\、dy、}

代わりに見つけることができる

E⁡（g（X））= ∫−∞∞g （x）f X（x）dx。{\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big（} g（X）{\ big）} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} g（x） f_ {X}（x）\、dx。}

2つの積分の値は、Xとg（X）の両方が実際に確率密度関数を持つすべての場合で同じです。gがaである必要はありません。 1対1の関数。場合によっては、後者の積分は前者よりもはるかに簡単に計算されます。国連の法則を参照してください。意識的な統計学者。

スカラーからscalarEdit

g：R→R {\ displaystyle g：{\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}を単調関数の場合、結果の密度関数は次のようになります。

f Y（y）= f X（g − 1（y））| d d y（g − 1（y））| 。 {\ displaystyle f_ {Y}（y）= f_ {X} {\ big（} g ^ {-1}（y）{\ big）} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big （} g ^ {-1}（y）{\ big）} \ right |。}

ここでg-1は逆関数を示します。

これは、に含まれる確率が微分面積は、変数変換の下で不変でなければなりません。つまり、

| f Y（y）d y | = | f X（x）d x | 、{\ displaystyle \ left | f_ {Y}（y）\、dy \ right | = \ left | f_ {X}（x）\、dx \ right |、}

または

f Y（ y）= | d x d y | f X（x）= | d d y（x）| f X（x）= | d d y（g − 1（y））| f X（g − 1（y））= | （g − 1） ′（y）| ⋅fX（g − 1（y））。 {\ displaystyle f_ {Y}（y）= \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X}（x）= \ left | {\ frac {d} {dy}}（x ）\ right | f_ {X}（x）= \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big（} g ^ {-1}（y）{\ big）} \ right | f_ {X } {\ big（} g ^ {-1}（y）{\ big）} = {{\ big |} {\ big（} g ^ {-1} {\ big）} “（y）{\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big（} g ^ {-1}（y）{\ big）}。}

単調でない関数の場合、yの確率密度関数は

∑ k = 1 n（y）| ddygk − 1（y）|⋅fX（gk − 1（y））、{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n（y）} \ left | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {-1}（y）\ right | \ cdot f_ {X} {\ big（} g_ {k} ^ {-1}（y）{\ big）}、}

ベクトルからvectorEdit

上記の式は、他の複数の変数に応じて変数（yと呼びます）に一般化できます。f（x1、…、 xn）は、yが依存する変数の確率密度関数を示し、依存関係はy = g（x1、…、xn）となります。結果として得られる密度関数は、

∫y= g（x 1 、…、xn）f（x 1、…、xn）∑ j =1n∂g∂xj（x 1、…、xn）2 d V、{\ displaystyle \ int \ limその_ {y = g（x_ {1}、\ ldots、x_ {n}）} {\ frac {f（x_ {1}、\ ldots、x_ {n}）} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}}（x_ {1}、\ ldots、x_ {n}）^ {2}}}} \、dV、}

ここで、積分は下付き方程式の（n − 1）次元の解全体にわたっており、シンボリックdVは、特定の計算のためにこの解のパラメーター化に置き換える必要があります。変数x1、…、xnは、もちろんこのパラメーター化の関数です。

これは、次の、おそらくより直感的な表現から導き出されます。xが同時密度fのn次元確率変数であるとします。 y = H（x）の場合、Hは全単射の微分可能関数であり、yの密度はgです。

g（y）= f（H − 1（y））| det | {\ displaystyle g（\ mathbf {y}）= f {\ Big（} H ^ {-1}（\ mathbf {y}）{\ Big）} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

微分をH（。）の逆行列のヤコビアンと見なし、yで評価します。

g（y 1、y 2）= f X 1、X 2（H 1 − 1（y 1、 y 2）、H 2 − 1（y 1、y 2））| ∂H1−1∂y1∂H2−1∂y2 −∂H 1 −1∂y2∂H2−1∂y1 | 。 {\ displaystyle g（y_ {1}、y_ {2}）= f_ {X_ {1}、X_ {2}} {\ big（} H_ {1} ^ {-1}（y_ {1}、y_ { 2}）、H_ {2} ^ {-1}（y_ {1}、y_ {2}）{\ big）} \ left \ vert {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {-1}} { \ partial y_ {1}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {-1}} {\ partial y_ {2}}}-{\ frac {\ partial H_ {1} ^ {-1}} {\ partial y_ {2}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {-1}} {\ partial y_ {1}}} \ right \ vert。}

ベクトルからscalarEdit

f Y（y）=∫RnfX（x）δ（y − V（x））dx。 {\ displaystyle f_ {Y}（y）= \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X}（\ mathbf {x}）\ delta {\ big（} yV（\ mathbf { x}）{\ big）} \、d \ mathbf {x}。}

この結果は、無意識の統計学者の法則につながります。

EY⁡=∫RyfY（y）dy =∫R y∫RnfX（x）δ（y − V（x））dxdy =∫Rn∫RyfX（x）δ（y − V（x））dydx =∫RnV（x）f X（ x）dx =EX⁡。{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y}（y）dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X}（\ mathbf {x}）\ delta {\ big（} yV（\ mathbf {x}）{\ big）} \、d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X}（\ mathbf {x}）\ delta {\ big（} yV（\ mathbf {x }）{\ big）} \、dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V（\ mathbf {x}）f_ {X}（\ mathbf {x} ）d \ mathbf {x} = \ operatorname {E} _ {X}。}

証明：

H（Z、X）= = {\ displaystyle H（Z、X）= {\ begin { bmatrix} Z + V（X）\\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}。

H {\ displaystyle H}が全単射マッピングであり、H − 1 {\ displaystyle H ^ {-1}}のヤコビアンが次の式で与えられることは明らかです。

d H − 1（y、 x〜）dydx〜 = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {-1}（y、{\ tilde {\ mathbf {x}}}）} {dy \、d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 &-{\ frac {dV（{\ tilde {\ mathbf {x}}}）} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}}、

これは主対角線上に1がある上三角行列であるため、行列式は1です。前のセクションの変数定理の変更を適用すると、次のようになります。

f Y、X（y、 x）= f X（x）δ（y − V（x））{\ displaystyle f_ {Y、X}（y、x）= f_ {X}（\ mathbf {x}）\ delta {\ big（} yV（\ mathbf {x}）{\ big）}}、

x {\ displaystyle x}で周辺化すると、目的の確率密度関数になります。