Ha egy X véletlen változó (vagy vektor) valószínűségi sűrűségfüggvényét fX (x) formában adjuk meg, akkor lehetséges (de gyakran nem szükséges; lásd alább) a valamilyen változó valószínűségi sűrűségfüggvénye Y = g (X). Ezt “változóváltásnak” is nevezik, és a gyakorlatban egy tetszőleges fg (X) = fY alakú véletlen változó előállítására használják egy ismert (például egységes) véletlenszám-generátor felhasználásával.

Ez csábító azt gondolni, hogy a várható E (g (X)) érték megtalálásához először meg kell találni az új Y = g (X) véletlenszerű változó fg (X) valószínűségi sűrűségét. p> E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operátor neve {E} {\ nagy (} g (X) {\ nagy)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

lehet találni helyettük

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ kezelőnév {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

A két integrál értéke megegyezik minden olyan esetben, amikor mind X, mind pedig g (X) valószínûséggel sûrûségfüggvényekkel rendelkezik. Nem szükséges, hogy g legyen a egy-egy funkció. Bizonyos esetekben az utóbbi integrált sokkal könnyebben lehet kiszámítani, mint az előbbit. Lásd az un. törvényét tudatos statisztikus.

Scalar to skalarEdit

Legyen g: R → R {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} monoton függvény, akkor a kapott sűrűségfüggvény

f Y (y) = f X (g – 1 (y)) | d d y (g – 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ balra | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right |.}

Itt a g − 1 az inverz függvényt jelöli.

Ez abból következik, hogy a a differenciálterületnek a változók változása alatt invariánsnak kell lennie. Vagyis

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ left | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

vagy

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g – 1 (y)) | f X (g – 1 (y)) = | (g – 1) ′ (y) | ⋅ f X (g – 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ bal | {\ frac {dx} {dy}} \ jobb | f_ {X} (x) = \ bal | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right | f_ {X } {\ nagy (} g ^ {- 1} (y) {\ nagy)} = {{\ nagy |} {\ nagy (} g ^ {- 1} {\ nagy)} “(y) {\ nagy |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)}.}

Nem monoton függvények esetén az y valószínűségi sűrűségfüggvény

∑ k = 1 n (y) | ddygk – 1 (y) | ⋅ f X (gk – 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ balra | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) \ right | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) {\ nagy)},}

Vektor a vektorbaEdit

A fenti képletek több változótól függően általánosíthatók változókra (amelyeket ismét y-nek fogunk hívni). f (x1, …, xn) jelöli azoknak a változóknak a valószínűségi sűrűségfüggvényét, amelyektől függ y, a függőség pedig y = g (x1,…, xn). Ezután a kapott sűrűségfüggvény

∫ y = g (x 1 ,…, Xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ xj (x 1,…, xn) 2 d V, {\ displaystyle \ int \ lim annak _ {y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ részleges g} {\ részleges x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

ahol az integrál az aláírt egyenlet teljes (n – 1) dimenziós megoldása felett van, és a szimbolikus dV-t egy adott számításhoz ennek a megoldásnak a paraméterezésével kell helyettesíteni; az x1, …, xn változók természetesen ennek a paraméterezésnek a függvényei.

Ez a következő, talán intuitívabb ábrázolásból származik: Tegyük fel, hogy x egy n dimenziós véletlen változó, amelynek f sűrűsége sűrűségű. Ha y = H (x), ahol H jelentése bijektív, differenciálható függvény, akkor y sűrűsége g:

g (y) = f (H – 1 (y)) | det | {\ displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Nagy (} H ^ {- 1} (\ mathbf {y}) {\ Nagy)} \ bal \ vert \ det \ bal \ jobb \ vert}

a H (.) inverzének jakobinak tekintett differenciáljával, y-nál értékelve.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 – 1 (y 1, y 2), H 2 – 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 – 1 ∂ y 1 ∂ H 2 – 1 ∂ y 2 – ∂ H 1 – 1 ∂ y 2 ∂ H 2 – 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ nagy (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ nagy)} \ bal \ vert {\ frac {\ részleges H_ {1} ^ {- 1}} { \ részleges y_ {1}}} {\ frac {\ részleges H_ {2} ^ {- 1}} {\ részleges y_ {2}}} – {\ frac {\ részleges H_ {1} ^ {- 1}} {\ részleges y_ {2}}} {\ frac {\ részleges H_ {2} ^ {- 1}} {\ részleges y_ {1}}} \ jobb \ vert.}

Vektor: scalarEdit

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

Ez az eredmény a tudattalan statisztikus törvényéhez vezet:

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y – V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ displaystyle \ kezelőnév {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operátor neve {E} _ {X}.}

Bizonyítás:

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ begin { bmatrix} Z + V (X) \\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}.

Nyilvánvaló, hogy a H {\ displaystyle H} bijektív leképezés, és a H – 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}} jakobust a következő adja:

d H – 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {- 1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 & – {\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ szor n} \ end {bmatrix }}},

amely egy felső háromszög alakú mátrix, a főátlón lévőkkel, ezért meghatározója 1. Az előző szakasz változótételének változását alkalmazva azt kapjuk, hogy

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y – V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

amely az x {\ displaystyle x} fölött marginalizálva a kívánt valószínűségi sűrűség függvényhez vezet.