Pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné (nebo vektoru) X uvedena jako fX (x), je možné (ale často není nutné; viz níže) vypočítat funkce hustoty pravděpodobnosti nějaké proměnné Y = g (X). Toto se také nazývá „změna proměnné“ a v praxi se používá ke generování náhodné proměnné libovolného tvaru fg (X) = fY pomocí známého (například jednotného) generátoru náhodných čísel.

It je lákavé si myslet, že k nalezení očekávané hodnoty E (g (X)) je třeba nejprve najít hustotu pravděpodobnosti fg (X) nové náhodné proměnné Y = g (X). Místo výpočtu

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

místo toho lze najít

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

Hodnoty obou integrálů jsou stejné ve všech případech, ve kterých X i g (X) skutečně mají funkce hustoty pravděpodobnosti. Není nutné, aby g bylo a funkce jedna ku jedné. V některých případech je druhý integrál vypočítán mnohem snadněji než ten první. Viz Zákon OSN vědomý statistik.

Skalární na skalárníUpravit

Nechť g: R → R {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} být monotónní funkce, pak výsledná funkce hustoty je

f Y (y) = f X (g – 1 (y)) | d d y (g – 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right |.}

Zde g − 1 označuje inverzní funkci.

To vyplývá ze skutečnosti, že pravděpodobnost obsažená v rozdílná oblast musí být při změně proměnných neměnná. To znamená,

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ left | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

nebo

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g – 1 (y)) | f X (g – 1 (y)) = | (g – 1) ′ (y) | ⋅ f X (g – 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right | f_ {X } {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} = {{\ big |} {\ big (} g ^ {- 1} {\ big)} „(y) {\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)}.}

U funkcí, které nejsou monotónní, je funkce hustoty pravděpodobnosti pro y

∑ k = 1 n (y) | ddygk – 1 (y) | ⋅ f X (gk – 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ vlevo | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) \ right | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) {\ big)},}

Vector to vectorEdit

Výše uvedené vzorce lze zobecnit na proměnné (které budeme znovu nazývat y) v závislosti na více než jedné další proměnné. f (x1, …, xn) označuje funkci hustoty pravděpodobnosti proměnných, na kterých y závisí, a závislost musí být y = g (x1, …, xn). Výsledná funkce hustoty je pak

∫ y = g (x 1 ,…, Xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ xj (x 1, …, xn) 2 d V, {\ Displaystyle \ int \ lim jeho _ {y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ částečné g} {\ částečné x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

kde je integrál nad celým (n – 1) -rozměrným řešením dolní indexu a symbolický dV musí být nahrazen parametrizací tohoto řešení pro konkrétní výpočet; proměnné x1, …, xn jsou pak samozřejmě funkcemi této parametrizace.

Toto je odvozeno od následujícího, snad intuitivnějšího znázornění: Předpokládejme, že x je n-rozměrná náhodná proměnná s hustotou spojů f. Pokud y = H (x), kde H je bijektivní, diferencovatelná funkce, pak y má hustotu g:

g (y) = f (H – 1 (y)) | det | {\ displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Big (} H ^ {- 1} (\ mathbf {y}) {\ Big)} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

s diferenciálem považovaným za Jacobian inverze H (.), hodnoceno na y.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 – 1 (y 1, y 2), H 2 – 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 – 1 ∂ y 1 ∂ H 2 – 1 ∂ y 2 – ∂ H 1 – 1 ∂ y 2 ∂ H 2 – 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ big (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ big)} \ left \ vert {\ frac {\ částečné H_ {1} ^ {- 1}} { \ částečné y_ {1}}} {\ frac {\ částečné H_ {2} ^ {- 1}} {\ částečné y_ {2}}} – {\ frac {\ částečné H_ {1} ^ {- 1}} {\ částečné y_ {2}}} {\ frac {\ částečné H_ {2} ^ {- 1}} {\ částečné y_ {1}}} \ pravé \ vert.}

Vektor do scalarEdit

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

Tento výsledek vede k Zákonu statistika nevědomého:

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y – V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \ \ d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operatorname {E} _ {X}.}

Důkaz:

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ začátek { bmatrix} Z + V (X) \\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}.

Je jasné, že H {\ displaystyle H} je bijektivní mapování a jakobián z H – 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}} je dán vztahem:

d H – 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {- 1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})}} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 & – {\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})}} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}},

což je horní trojúhelníková matice s jednotkami na hlavní úhlopříčce, proto je její determinant 1. Použitím změny věty proměnné z předchozí části získáme, že

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y – V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

což při marginalizaci nad x {\ displaystyle x} vede k požadované funkci hustoty pravděpodobnosti.