Sai che mi piacciono i MythBusters, vero? Ebbene, è da un po ‘di tempo che volevo guardare il mito dei proiettili nell’aria. Adesso è il momento. Se non hai catturato quel particolare episodio, i MythBusters volevano vedere quanto fosse pericoloso sparare un proiettile in aria.

Non ho intenzione di sparare con nessuna pistola e nemmeno di far cadere proiettili – quello è per i MythBusters. Quello che farò invece è fare un calcolo numerico del movimento di un proiettile sparato in aria. Ecco cosa ha detto Adam riguardo ai proiettili:

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• Una cartuccia .30-06 raggiungerà un’altezza di 10.000 piedi e impiegherà 58 secondi per tornare giù
• Un 9 mm andrà a 4000 piedi e impiegherà 37 secondi per tornare indietro.

Adam è stato anche in grado di determinare sperimentalmente che sia il 9 mm che il .30-06 hanno una velocità terminale di circa 100 mph. Quindi, questo è ciò con cui devo lavorare. Oh – inoltre, hanno misurato fino a che punto un proiettile da 9 mm è penetrato nello sporco (ma non sono riusciti a trovare quelli .30-06).

Il piano

Questo è in realtà simile a Hancock che lancia un ragazzo. Il piano di base è utilizzare un calcolo numerico per modellare il movimento di un proiettile. Dopo che il proiettile ha lasciato la pistola, ha forze che agiscono su di esso in questo modo:

Ho creato due diagrammi di forza perché la forza di resistenza dell’aria sarà nella direzione opposta al movimento. Ciò significa che spostarsi verso l’alto avrà un aspetto diverso rispetto all’abbassamento. Quindi, questo problema sembra abbastanza semplice, giusto? L’ho già fatto prima (ecco un esempio della resistenza dell’aria su un pallone da calcio). Ma in questo caso, ci sono altre cose da considerare.

• Il modello normale di resistenza all’aria funziona (essendo proporzionale a v2)?
• Qual è il coefficiente di resistenza di un proiettile?
• E la densità dell’aria? Devo tenerne conto?
• E la variazione del campo gravitazionale della Terra quando il proiettile si alza?

Modellazione numerica

Non voglio entrare nei dettagli, ma nel caso te ne fossi dimenticato, il calcolo numerico funziona in questo modo:

• Suddividi il movimento in piccoli passi temporali. Durante questi passaggi, posso fingere (presumere) che la forza sia costante. Con un tempo sufficientemente breve, questo è abbastanza vero.
• Per ogni fase temporale: calcola la forza
• Calcola la variazione della quantità di moto (assumendo una forza costante)
• Calcola la variazione di posizione (assumendo una quantità di moto costante)
• ripeti

Se desideri maggiori dettagli sui calcoli numerici, dai un’occhiata a questo articolo di base.

Informazioni iniziali

Guarderò solo il .30-06, ma ho bisogno di alcune informazioni balistiche. Ecco cosa ho trovato (wikipedia, ovviamente)

• Massa lumaca = 9,7 grammi
• Velocità muso = 880 m / s (in realtà, questo è solo il più veloce – il più lento è 760 m / se 14 g – non sono sicuro di quale dei Mythbusters usassero)
• Velocità terminale = 44,7 m / s

Resistenza all’aria

Se voglio modellare la resistenza all’aria, posso utilizzare quanto segue:

Il problema è che i proiettili vanno molto veloci. Voglio dire molto veloce. Non è lecito ritenere che il coefficiente di resistenza (C) sia costante con la velocità. Wikipedia viene di nuovo in soccorso. In questo caso, c’è questa tabella molto utile:

A quanto pare, c’è molto dibattito sulla resistenza all’aria di un proiettile. Userò semplicemente la tabella sopra per creare un coefficiente di resistenza variabile. Quindi, questo è C, posso trovare l’area effettiva osservando la velocità terminale. Alla velocità terminale, il peso = resistenza dell’aria quindi:

Utilizzo i valori noti per massa, g, C (dalla tabella) e la densità dell’aria (a livello del mare), ottengo un’area di A = 3,45 x 10-4 m2. Wikipedia elenca il proiettile come avente un diametro di 7,823 mm – questo darebbe un’area di 1,9 x 10-4 m2. Immagino che si trovino nello stesso parco giochi. Bene, c’è un modo per verificare che sia giusto, ma inizierò con quello dalla velocità terminale.

Densità dell’aria

Questo sta iniziando a complicarsi. Meno male che sto facendo fare tutto il lavoro a un computer. Se i MythBusters sono corretti e il proiettile raggiunge un’altezza di 10.000 piedi, allora dovrò osservare il cambiamento nella densità dell’aria. Ecco una spiegazione della densità con il calcolo dell’altitudine. Usando questa espressione (che non mostro perché noiosa), posso tracciare la densità in funzione dell’altitudine.Eccolo:

Dipendenza dalla gravità dall’altezza

Ovviamente il campo gravitazionale non è costante con l’altezza, ma è abbastanza vicino? Il campo gravitazionale reale (g) è:

Dove G è la costante gravitazionale universale, mE è la massa della Terra, RE è il raggio della Terra e h è l’altezza sopra la superficie. Quale sarebbe il valore di g a 4000 metri? (i MythBusters hanno detto che il proiettile è andato 10.000 piedi – circa 3000 metri). O meglio, quale sarebbe la differenza percentuale tra la superficie e 3000 metri di altezza? È il 99,9% del valore in superficie. Posso solo fingere che sia costante.

Ora per il calcolo:

Ecco un grafico della posizione verticale del proiettile in funzione del tempo, sparato verso l’alto.

Be ‘, questo non “è d’accordo con il modello MythBusters”. E se scelgo il valore dell’area più piccolo?

Meglio, ma ancora non è d’accordo? Potrei provare un proiettile diverso. Fammi provare quello con la velocità della volata inferiore, ma con una massa maggiore. Userò una massa di 14 grammi e una velocità iniziale di 760 m / s. Ciò fornisce un’altezza massima di circa 1300 metri con un tempo totale di circa 34 secondi.

I credo di vedere un altro errore. La mia tabella dei coefficienti di resistenza è abbinata al numero di mach, non alla velocità. Se aumento la mia altitudine, cambia la velocità del suono – doh! Ok, non penso che questo importi troppo. Ecco un calcolatore di velocità del suono. Viene dalla NASA, quindi deve essere buono, giusto? Comunque, si dice che la velocità del suono a livello del mare è di 340 m / s, a 5000 metri è di 320 m / s. Invece di calcolare la velocità ad ogni altezza, ho semplicemente cambiato la velocità del suono a 320 m / s. Non cambia realmente l’altezza massima.

Forse il problema è con il coefficiente di resistenza. Ecco un grafico del coefficiente di resistenza (C) in funzione della velocità.

Sembra “a blocchi” perché sto solo usando i dati di quella tabella di Wikipedia. Ma forse questo è il problema. In realtà, forse il problema è che la tabella dei coefficienti di resistenza non funziona molto bene a velocità basse (molto basse).

Forse questo non è nemmeno sbagliato

Ora che ci penso, i MythBuster hanno detto di aver simulato il .30-06, ma quando lo hanno sparato in aria, non hanno mai sentito né trovato i proiettili. Chissà quanto tempo ci è voluto. Conoscevano l’ora per i proiettili da 9 mm, li hanno sentiti toccare il suolo. Fammi eseguire i miei calcoli con le informazioni da 9 mm. Usando una massa di 7,45 grammi e una velocità iniziale di 435 m / s, ottengo:

Il che sembra molto più vicino a quello che avevano (MythBusters). E ho appena realizzato un altro errore sul .30-06. Ho calcolato l’area con il diametro anziché con il raggio.

Vedere. Quello è meglio. Spero che questa sia una lezione per tutti voi ragazzi là fuori. Tieni a mente il tuo fattore di 2 “. Ovviamente se riesco a farlo funzionare, ora la mia velocità terminale è molto più alta di quella misurata. Vabbè.

Il mio prossimo passo è guardare la velocità finale di il proiettile se gli spari non verso l’alto. Sospetto che sia così che le persone vengono uccise.