Biografia

Archimedes “padre era Fidia, un astronomo. Non sappiamo nient’altro di Fidia oltre a questo fatto e lo sappiamo solo da allora Archimede ci fornisce queste informazioni in una delle sue opere, The Sandreckoner. Un amico di Archimedes chiamato Heracleides ha scritto una biografia di lui ma purtroppo questo lavoro è andato perduto. Come la nostra conoscenza di Archimedes sarebbe trasformata se quest’opera perduta fosse mai ritrovata, o addirittura estratti trovati in scritti di altri.
Archimede era originario di Siracusa, in Sicilia. Alcuni autori riferiscono che visitò l’Egitto e lì inventò un dispositivo ora noto come “vite di Archimede”. Questa è una pompa, ancora utilizzata in molte parti del mondo. È molto probabile che, quando era giovane, Archimede studiò con i successori di Euclide ad Alessandria. Certamente conosceva perfettamente la matematica sviluppata lì, ma ciò che rende questa congettura molto più certa, conosceva personalmente i matematici che lavoravano lì e inviava i suoi risultati ad Alessandria con messaggi personali. Considerava Conone di Samo, uno dei matematici ad Alessandria, entrambi molto apprezzati per le sue capacità di matematico e lo considerava anche un caro amico.
Nella prefazione a Sulle spirali Archimede racconta una storia divertente riguardante i suoi amici in Alessandria. Ci dice che aveva l’abitudine di inviare loro dichiarazioni dei suoi ultimi teoremi, ma senza fornire prove. Apparentemente alcuni dei matematici presenti avevano affermato i risultati come propri, quindi Archimede dice che l’ultima volta quando ha inviato loro dei teoremi ne ha inclusi due falsi: –

… quindi che coloro che pretendono di scoprire tutto, ma non producono prove dello stesso, possono essere confutati come aver finto di scoprire l’impossibile.

Oltre che nelle prefazioni alle sue opere, informazioni su Archimede ci viene da una serie di fonti come nelle storie di Plutarco, Livio e altri. Plutarco ci dice che Archimede era imparentato con il re Ierone II di Siracusa (vedi per esempio): –

Archimede … per iscritto al re Gerone, di cui era amico e parente stretto. …

Ancora una volta la prova almeno della sua amicizia con la famiglia del re Hieron II deriva dal fatto che The Sandreckoner era dedicato a Gelon, il figlio del re Hieron.
Ci sono, infatti, un bel numero di riferimenti ad Archimede negli scritti del tempo perché aveva guadagnato una reputazione ai suoi tempi che pochi altri matematici di questo periodo hanno raggiunto. La ragione di ciò non era un interesse diffuso per le nuove idee matematiche, ma piuttosto che Archimede aveva inventato molte macchine che erano usate come motori di guerra. Questi furono particolarmente efficaci nella difesa di Siracusa quando fu attaccata dai romani sotto il comando di Marcello.

Plutarco scrive nella sua opera su Marcello, il comandante romano, su come le “macchine da guerra di Archimede furono usate contro i romani in l’assedio del 212 aC: –

… quando Archimede iniziò a maneggiare i suoi motori, sparò subito contro le forze di terra ogni sorta di armi da lancio e immense masse di pietra che caddero con un rumore e una violenza incredibili; contro i quali nessun uomo poteva resistere; poiché abbatterono quelli sui quali caddero a mucchi, rompendo tutte le loro file e file. Nel frattempo enormi pali sporsero dalle mura sopra le navi e affondarono alcuni da grandi pesi che calavano dall’alto su di loro; altri li sollevavano in aria con una mano di ferro o un becco come il becco di una gru e, quando li avevano sollevati dalla prua, e li avevano sistemati su la cacca, le hanno immerse in fondo al mare; oppure le navi, trainate da motori all’interno, e volteggiavano, si scagliavano contro ripide rocce che si stagliavano sotto le mura, con grande distruzione dei soldati che erano a bordo. Una nave veniva spesso sollevata fino a una grande altezza nell’aria (una cosa terribile da vedere), e veniva fatta rotolare avanti e indietro, e continuava a oscillare, finché i marinai non furono tutti buttati fuori, quando alla fine si schiantò contro le rocce, o lasciar cadere.

Archimedes era stato persuaso dal suo amico e parente Re Hieron a costruire tali macchine: –

Queste macchine avevano progettato e inventato, non come materia di alcuna importanza, ma come mero divertimento in geometria; in conformità con il desiderio e la richiesta di re Hiero, qualche tempo prima, di ridurre a praticare una parte della sua ammirevole speculazione scientifica, e adattando la verità teorica alla sensazione e all’uso ordinario, portarla più all’interno dell’apprezzamento di le persone in generale.

Forse è triste che i motori di guerra fossero apprezzati dalle persone di questo tempo in un modo che la matematica teorica non lo era, ma si dovrebbe osservare che il mondo non è molto luogo diverso alla fine del secondo millennio d.C. Anche altre invenzioni di Archimede come la carrucola composta gli portarono una grande fama tra i suoi contemporanei. Ancora una volta citiamo Plutarco: –

aveva affermato che data la forza, qualsiasi dato peso poteva essere spostato e persino vantato, ci viene detto, basandosi sulla forza della dimostrazione, che se ci fosse un’altra terra, entrando in essa avrebbe potuto rimuoverla. Hiero fu colpito da questo stupore e supplicandolo di risolvere questo problema con un vero esperimento e di mostrare un grande peso mosso da un piccolo motore, si fissò di conseguenza su una nave da carico fuori dall’arsenale del re, che non poteva essere tirato fuori dal molo senza grande fatica e molti uomini; e, caricandola con molti passeggeri e un carico completo, sedendosi per un po ‘lontano, senza grandi sforzi, ma tenendo solo la testa della carrucola in mano e tirando le corde per gradi, ha disegnato la nave in linea retta, in modo fluido e uniforme come se fosse stata in mare.

Eppure Archimede, sebbene abbia raggiunto la fama grazie alle sue invenzioni meccaniche , credeva che la matematica pura fosse l’unica ricerca degna. Ancora una volta Plutarco descrive magnificamente l’atteggiamento di Archimede, ma vedremo in seguito che Archimede in realtà usò alcuni metodi molto pratici per scoprire i risultati della geometria pura: –

Archimede possedeva una così alta a spirito, un’anima così profonda e tali tesori di conoscenza scientifica, che sebbene queste invenzioni gli avessero ora ottenuto la fama di una sagacia più che umana, tuttavia non si degnava di lasciarsi dietro alcun commento o scritto su tali argomenti; ma, ripudiando in quanto sordido e ignobile l’intero mestiere dell’ingegneria e ogni sorta di arte che si presta a mero uso e profitto, ha riposto tutto il suo affetto e ambizione in quelle speculazioni più pure dove non può esserci riferimento ai bisogni volgari della vita ; studi, la cui superiorità rispetto a tutti gli altri è indiscussa, e in cui l’unico dubbio può essere se la bellezza e la grandiosità dei soggetti esaminati, della precisione e della coerenza dei metodi e dei mezzi di prova, meritano la nostra ammirazione.

La sua passione per la geometria è splendidamente descritta da Plutarco: –

Spesso i servi di Archimede “lo portavano contro la sua volontà ai bagni, per lavarsi e ungere lui, eppure essendo lì, avrebbe sempre disegnato dalle figure geometriche, anche nelle stesse braci del camino. E mentre lo ungevano con olii e aromi dolci, con le dita disegnava linee sul suo corpo nudo , finora è stato sottratto a se stesso e portato in estasi o trance, con la gioia che aveva nello studio della geometria.

Le conquiste di Archimede sono piuttosto eccezionali. È considerato dalla maggior parte degli storici della matematica come uno dei più grandi matematici di tutti i tempi . Ha messo a punto un metodo di integrazione che gli ha permesso di trovare aree, volumi e superfici di molti corpi. Chasles ha detto che Archimede “lavora sull’integrazione (vedi): –

… ha dato vita al calcolo dell’infinito concepito e portato alla perfezione da Keplero, Cavalieri, Fermat, Leibniz e Newton.

Archimedes è stato in grado di applicare il metodo dell’esaurimento, che è la prima forma di integrazione, per ottenere tutta una serie di risultati importanti e ne citiamo alcuni nelle descrizioni di Archimede fornì anche un’approssimazione accurata a π e dimostrò che poteva approssimare accuratamente le radici quadrate. Inventò un sistema per esprimere grandi numeri. In meccanica Archimede scoprì teoremi fondamentali riguardanti il centro di gravità delle figure piane e dei solidi. il famoso teorema dà il peso di un corpo immerso in un liquido, detto principio di Archimede.

Le opere di Archimede che sono sopravvissute sono le seguenti. Sugli equilibri piani (due libri), Quadratura della parabola, Sulla sfera e sul cilindro (due libri), Sulle spirali, Su conoidi e sferoidi, Su corpi fluttuanti (due libri), Misura di un cerchio e The Sandreckoner. Nell’estate del 1906, JL Heiberg, professore di filologia classica presso l’Università di Copenaghen, scoprì un manoscritto del X secolo che includeva “Il metodo” di Archimede. Ciò fornisce una visione notevole di come Archimede scoprì molti dei suoi risultati e ne discuteremo una volta che abbiamo fornito ulteriori dettagli su ciò che è contenuto nei libri sopravvissuti.
L’ordine in cui Archimede scrisse le sue opere non è noto con certezza.Abbiamo usato l’ordine cronologico suggerito da Heath per elencare queste opere sopra, eccetto per Il Metodo che Heath ha posto immediatamente prima della sfera e del cilindro. L’articolo esamina gli argomenti per un diverso ordine cronologico delle opere di Archimede.
Il trattato Sugli equilibri piani espone i principi fondamentali della meccanica, utilizzando i metodi della geometria. Archimede scoprì i teoremi fondamentali riguardanti il centro di gravità delle figure piane e questi sono dati in questo lavoro. In particolare egli trova, nel libro 1, il centro di gravità di un parallelogramma, un triangolo e un trapezio. Il libro due è interamente dedicato a trovare il centro di gravità di un segmento di una parabola. In la Quadratura della parabola Archimede trova l’area di un segmento di una parabola tagliata da una corda qualsiasi.
Nel primo libro di Sulla sfera e sul cilindro Archimede mostra che la superficie di una sfera è quattro volte quella di un grande cerchio , trova l’area di qualsiasi segmento di una sfera, mostra che il volume di una sfera è due terzi del volume di un cilindro circoscritto e che la superficie di una sfera è due terzi della superficie di un cilindro circoscritto inc ingannando le sue basi. Viene fornita una buona discussione su come Archimede possa essere stato portato ad alcuni di questi risultati utilizzando infinitesimali. Nel secondo libro di quest’opera Archimede “il risultato più importante è mostrare come tagliare una data sfera di un piano in modo che il rapporto tra i volumi dei due segmenti abbia un rapporto prescritto.
In Sulle spirali Archimede definisce una spirale , fornisce proprietà fondamentali che collegano la lunghezza del vettore raggio con gli angoli attraverso i quali ha ruotato. Fornisce risultati sulle tangenti alla spirale oltre a trovare l’area di porzioni della spirale. Nel lavoro Su conoidi e sferoidi Archimede esamina paraboloidi di rivoluzione, iperboloidi di rivoluzione e sferoidi ottenuti ruotando un’ellisse attorno al suo asse maggiore o attorno al suo asse minore. Lo scopo principale del lavoro è indagare il volume dei segmenti di queste figure tridimensionali. Alcuni sostengono che ci sia una mancanza di rigore in alcuni dei risultati di questo lavoro, ma l’interessante discussione in attribuisce questo a una ricostruzione moderna.

Sui corpi galleggianti è un’opera in cui Archimede depone il ba principi sic di idrostatica. Il suo teorema più famoso che dà il peso di un corpo immerso in un liquido, chiamato principio di Archimede, è contenuto in quest’opera. Studiò anche la stabilità di vari corpi galleggianti di diverse forme e differenti pesi specifici. In Misurazione del Circolo Archimede mostra che il valore esatto di π è compreso tra i valori 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 e 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Questo ha ottenuto circoscrivendo e inscrivendo un cerchio con poligoni regolari aventi 96 lati.
Il Sandreckoner è un’opera notevole in cui Archimede propone un sistema numerico in grado di esprimere numeri fino a 8 × 10638 \ x 10 ^ {63} 8 × 1063 in notazione moderna. Egli sostiene in questo lavoro che questo numero sia abbastanza grande da contare il numero di granelli di sabbia che potrebbero essere inseriti nell’universo. Ci sono anche importanti osservazioni storiche in questo lavoro, perché Archimede deve dare le dimensioni dell’universo per poter contare il numero di granelli di sabbia whi ch potrebbe contenere. Afferma che Aristarco ha proposto un sistema con il sole al centro e i pianeti, compresa la Terra, che ruotano attorno ad esso. Citando i risultati sulle dimensioni egli dichiara i risultati dovuti a Eudosso, Fidia (suo padre) e ad Aristarco. Ci sono altre fonti che menzionano il “lavoro di Archimede sulle distanze dai corpi celesti. Ad esempio in Osborne ricostruisce e discute: –

… una teoria delle distanze dei corpi celesti ascritta ad Archimede, ma lo stato corrotto dei numeri nell’unico manoscritto superstite significa che il materiale è difficile da maneggiare.

Nel Metodo, Archimede ha descritto il modo in cui ha scoperto molti dei i suoi risultati geometrici (vedi): –

… certe cose mi sono apparse per la prima volta chiare con un metodo meccanico, sebbene dovettero essere dimostrate dalla geometria in seguito perché la loro indagine da parte del detto il metodo non ha fornito una prova effettiva. Ma è ovviamente più facile, quando abbiamo acquisito in precedenza, con il metodo, una certa conoscenza delle domande, fornire la prova piuttosto che trovarla senza alcuna conoscenza precedente.

Forse la genialità dei risultati geometrici di Archimede è essere st riassunta da Plutarco, che scrive: –

Non è possibile trovare in tutta la geometria domande più difficili e intricate, o spiegazioni più semplici e lucide. Alcuni lo attribuiscono al suo genio naturale; mentre altri pensano che uno sforzo e una fatica incredibili abbiano prodotto questi, a quanto pare, risultati facili e inesplorati.Nessuna tua indagine riuscirebbe a ottenere la prova, eppure, una volta vista, credi subito che l’avresti scoperta; con un percorso così fluido e veloce che ti porta alla conclusione richiesta.

Heath aggiunge la sua opinione sulla qualità del lavoro di Archimede: –

I trattati sono, senza eccezioni, monumenti dell’esposizione matematica; la graduale rivelazione del piano di attacco, il magistrale ordinamento delle proposizioni, l’eliminazione severa di tutto ciò che non è immediatamente rilevante allo scopo, la conclusione del tutto, sono così impressionanti nella loro perfezione da creare un sentimento simile al timore reverenziale nella mente del lettore.

Ci sono riferimenti ad altre opere di Archimede che ora sono perdute. Pappus si riferisce a un’opera di Archimede sui poliedri semiregolari, Archimede stesso fa riferimento a un lavoro sul sistema numerico da lui proposto nel Sandreckoner, Pappus menziona un trattato Su equilibri e leve, e Theon cita un trattato di Archimede sugli specchi. discusso in ma l’evidenza non è totale ly convincente.
Archimede fu ucciso nel 212 aC durante la presa di Siracusa da parte dei romani nella seconda guerra punica dopo che tutti i suoi sforzi per tenere a bada i romani con le sue macchine da guerra erano falliti. Plutarco racconta tre versioni della storia della sua uccisione che era arrivata a lui. La prima versione: –

Archimede … era …, come voleva il destino, intento a risolvere qualche problema con un diagramma, e dopo aver fissato la sua mente allo stesso modo e la sua Con gli occhi puntati sull’argomento della sua speculazione, non si accorse mai dell’incursione dei romani, né che la città fosse presa. In questo trasporto di studio e di contemplazione, un soldato, avvicinandosi inaspettatamente a lui, gli ordinò di seguirlo da Marcello; cosa che rifiutava di fare prima di aver risolto il suo problema a una dimostrazione, il soldato, infuriato, estrasse la spada e lo trafisse.

La seconda versione: –

… un soldato romano, correndogli addosso con la spada sguainata, si offrì di ucciderlo; e che Archimede, voltandosi indietro, lo pregò vivamente di tenergli la mano per un po ‘, per non lasciare quello che allora stava lavorando su inconcludente e imperfetto; ma il soldato, niente mosso dalla sua supplica, lo uccise all’istante.

Infine, la terza versione che Plutarco aveva sentito: –

. … mentre Archimede stava portando a Marcello strumenti matematici, quadranti, sfere e angoli, con i quali la grandezza del sole poteva essere misurata alla vista, alcuni soldati vedendolo e pensando che avesse portato l’oro in una nave, lo uccisero.

Archimede riteneva che le sue realizzazioni più significative fossero quelle riguardanti un cilindro che circoscrive una sfera, e chiese una rappresentazione di questo insieme al suo risultato sul rapporto tra i due, da incidere su la sua tomba. Cicerone era in Sicilia nel 75 aC e scrive come cercò la tomba di Archimede (vedi per esempio): –

… e la trovò racchiusa tutt’intorno e ricoperta di rovi e boschetti ; poiché ricordavo certe linee di doggerel incise, come avevo sentito, sulla sua tomba, che affermavano che una sfera insieme a un cilindro era stata posta sulla sua tomba. Di conseguenza, dopo aver guardato bene tutto intorno …, ho notato una piccola colonna che sorgeva un po ‘sopra i cespugli, su cui c’erano una figura di una sfera e un cilindro …. Gli schiavi venivano mandati dentro con le falci … e quando un passaggio per il luogo si apriva ci avvicinavamo al piedistallo davanti a noi; l’epigramma era rintracciabile con circa la metà delle righe leggibili, poiché quest’ultima parte era consumata.

È forse sorprendente che le opere matematiche di Archimede fossero relativamente poco conosciute subito dopo la sua morte . Come scrive Clagett in: –

A differenza degli Elementi di Euclide, le opere di Archimede non erano molto conosciute nell’antichità. … È vero che … le singole opere di Archimede furono ovviamente studiate ad Alessandria, poiché Archimede era spesso citato da tre eminenti matematici di Alessandria: Airone, Pappo e Teone.

Solo dopo che Eutocius fece uscire edizioni di alcune opere di Archimede, con commenti, nel VI secolo dC i notevoli trattati divennero più ampiamente conosciuti. Infine, vale la pena sottolineare che il test utilizzato oggi per determinare quanto vicine al testo originale siano le varie versioni dei suoi trattati di Archimede, è quello di determinare se hanno mantenuto il dialetto dorico di Archimede.