In tutti questi approcci viene seguita la stessa procedura di base.

• Durante la preelaborazione
  • La geometria e i limiti fisici del problema può essere definito utilizzando CAD (Computer Aided Design). Da lì, i dati possono essere opportunamente elaborati (ripuliti) e il volume del fluido (o dominio del fluido) viene estratto.
  • Il volume occupato dal fluido viene suddiviso in celle discrete (la mesh). La mesh può essere uniforme o non uniforme, strutturata o non strutturata, costituita da una combinazione di elementi esaedrici, tetraedrici, prismatici, piramidali o poliedrici.
  • Viene definita la modellazione fisica, ad esempio le equazioni del fluido movimento + entalpia + radiazione + conservazione delle specie
  • Vengono definite le condizioni al contorno. Ciò implica la specifica del comportamento e delle proprietà del fluido su tutte le superfici di delimitazione del dominio del fluido. Per i problemi transitori, vengono definite anche le condizioni iniziali.
• La simulazione viene avviata e le equazioni vengono risolte iterativamente come stato stazionario o transitorio.
• Infine viene utilizzato un postprocessore per l’analisi e la visualizzazione della soluzione risultante.

Metodi di discrezionalità Modifica

La stabilità della discretizzazione selezionata è generalmente stabilita numericamente piuttosto che analiticamente come con semplici problemi lineari. È inoltre necessario prestare particolare attenzione per garantire che la discretizzazione gestisca con grazia le soluzioni discontinue. Sia le equazioni di Eulero che le equazioni di Navier-Stokes ammettono shock e superfici di contatto.

Alcuni dei metodi di discretizzazione utilizzati sono:

Metodo dei volumi finiti Modifica

Il metodo dei volumi finiti (FVM) è un approccio comune utilizzato nei codici CFD, poiché ha un vantaggio nell’utilizzo della memoria e nella velocità di soluzione, specialmente per problemi di grandi dimensioni, flussi turbolenti con elevato numero di Reynolds e flussi dominati dal termine sorgente (come combustione).

Nel metodo dei volumi finiti, le equazioni alle derivate parziali che governano (tipicamente le equazioni di Navier-Stokes, le equazioni di conservazione di massa ed energia e le equazioni di turbolenza) sono rifuso in una forma conservativa e poi risolto su volumi di controllo discreti. Questa discretizzazione garantisce la conservazione dei flussi attraverso un particolare volume di controllo. L’equazione dei volumi finiti fornisce le equazioni governanti nella forma,

∂ ∂ t ∭ Q d V + ∬ F d A = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ iiint Q \ , dV + \ iint F \, d \ mathbf {A} = 0,}

dove Q {\ displaystyle Q} è il vettore delle variabili conservate, F {\ displaystyle F} è il vettore dei flussi (vedi equazioni di Eulero o Navier – Stokes), V {\ displaystyle V} è il volume dell’elemento volume di controllo e A {\ displaystyle \ mathbf {A}} è l’area della superficie dell’elemento volume di controllo.

Finite metodo degli elementiModifica

Il metodo degli elementi finiti (FEM) è utilizzato nell’analisi strutturale dei solidi, ma è applicabile anche ai fluidi. Tuttavia, la formulazione FEM richiede un’attenzione particolare per garantire una soluzione conservativa. La formulazione FEM è stata adattata per l’uso con le equazioni che governano la dinamica dei fluidi. Sebbene FEM debba essere attentamente formulato per essere conservativo, è molto più stabile rispetto all’approccio a volumi finiti. Tuttavia, FEM può richiedere più memoria e ha tempi di soluzione più lenti rispetto alla FVM.

In questo metodo, si forma un’equazione residua ponderata:

R i = ∭ W i Q d V e {\ displaystyle R_ {i} = \ iiint W_ {i} Q \, dV ^ {e}}

Metodo delle differenze finite Modifica

La differenza finita metodo (FDM) ha importanza storica ed è semplice da programmare. Attualmente è utilizzato solo in pochi codici specializzati, che gestiscono geometrie complesse con elevata precisione ed efficienza utilizzando confini incorporati o griglie sovrapposte (con la soluzione interpolata su ciascuna griglia).

∂ Q ∂ t + ∂ F ∂ x + ∂ SOL ∂ y + ∂ H ∂ z = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} = 0}

Spectral element methodEdit

Il metodo degli elementi spettrali è un metodo di tipo agli elementi finiti. Richiede che il problema matematico (l’equazione alle derivate parziali) sia posto in una formulazione debole. Questo viene fatto tipicamente moltiplicando l’equazione differenziale per una funzione di test arbitraria e integrandola su tutto il dominio. Da un punto di vista puramente matematico, le funzioni di test sono completamente arbitrarie: appartengono a uno spazio funzionale a dimensioni infinite. Chiaramente uno spazio funzionale a dimensione infinita non può essere rappresentato su una mesh di elementi spettrali discreti; è qui che inizia la discretizzazione degli elementi spettrali. La cosa più cruciale è la scelta delle funzioni di interpolazione e test.In un FEM standard di basso ordine in 2D, per gli elementi quadrilateri la scelta più tipica è il test bilineare o la funzione di interpolazione della forma v (x, y) = ax + by + cxy + d {\ displaystyle v (x, y) = ax + di + cxy + d}. In un metodo degli elementi spettrali, tuttavia, le funzioni di interpolazione e di test vengono scelte come polinomi di un ordine molto alto (tipicamente, ad esempio, del decimo ordine nelle applicazioni CFD). Ciò garantisce la rapida convergenza del metodo. Inoltre, devono essere utilizzate procedure di integrazione molto efficienti, poiché il numero di integrazioni da eseguire in codici numerici è elevato. Pertanto, vengono utilizzate quadrature di integrazione di Gauss di ordine elevato, poiché raggiungono la massima precisione con il minor numero di calcoli da eseguire.Al momento ci sono alcuni codici CFD accademici basati sul metodo degli elementi spettrali e altri sono attualmente in fase di sviluppo, poiché i nuovi schemi di time-stepping sorgono nel mondo scientifico.

Metodo Lattice Boltzmann Modifica

Il metodo Boltzmann reticolo (LBM) con la sua immagine cinetica semplificata su un reticolo fornisce una descrizione computazionalmente efficiente dell’idrodinamica.A differenza dei metodi CFD tradizionali, che risolvono numericamente le equazioni di conservazione delle proprietà macroscopiche (cioè massa, quantità di moto ed energia), LBM modella il fluido costituito da particelle fittizie e tali particelle eseguono processi di propagazione e collisione consecutivi su una rete reticolare discreta. In questo metodo, si lavora con la versione discreta nello spazio e nel tempo dell’equazione di evoluzione cinetica nella forma Boltzmann Bhatnagar-Gross-Krook (BGK).

Metodo degli elementi di confine Modifica

Nel metodo degli elementi di confine, il confine occupato dal fluido è diviso in una mesh di superficie.

Schemi di discretizzazione ad alta risoluzioneModifica

Schemi ad alta risoluzione vengono utilizzati dove sono presenti shock o discontinuità. La cattura di brusche variazioni nella soluzione richiede l’uso di schemi numerici di secondo o ordine superiore che non introducano oscillazioni spurie. Questo di solito richiede l’applicazione di limitatori di flusso per garantire che la soluzione diminuisca la variazione totale.

Modelli di turbolenzaModifica

Nella modellazione computazionale di flussi turbolenti, un obiettivo comune è ottenere un modello che è in grado di prevedere quantità di interesse, come la velocità del fluido, da utilizzare nei progetti di ingegneria del sistema da modellare. Per i flussi turbolenti, la gamma di scale di lunghezza e la complessità dei fenomeni coinvolti nella turbolenza rendono la maggior parte degli approcci di modellazione proibitivamente costosi; la risoluzione richiesta per risolvere tutte le scale coinvolte nella turbolenza è al di là di ciò che è computazionalmente possibile. L’approccio principale in questi casi è creare modelli numerici per approssimare i fenomeni irrisolti. Questa sezione elenca alcuni modelli computazionali comunemente usati per flussi turbolenti.

I modelli di turbolenza possono essere classificati in base alla spesa computazionale, che corrisponde alla gamma di scale che vengono modellate rispetto a quelle risolte (le scale più turbolente che vengono risolte, maggiore è la risoluzione della simulazione e quindi maggiore è il costo computazionale). Se la maggior parte o tutte le scale turbolente non sono modellate, il costo computazionale è molto basso, ma il compromesso si presenta sotto forma di una minore precisione.

Oltre all’ampia gamma di scale di lunghezza e tempo e il costo computazionale associato, le equazioni di governo della dinamica dei fluidi contengono un termine di convezione non lineare e un termine di gradiente di pressione non lineare e non locale. Queste equazioni non lineari devono essere risolte numericamente con le condizioni iniziali e al contorno appropriate.

Navier – StokesEdit media di Reynolds

Le equazioni di Navier – Stokes (RANS) medie di Reynolds sono l’approccio più antico alla modellazione della turbolenza. Viene risolta una versione di insieme delle equazioni che governano, che introduce nuove tensioni apparenti note come tensioni di Reynolds. Questo aggiunge un tensore del secondo ordine di incognite per cui vari modelli possono fornire diversi livelli di chiusura. È un malinteso comune che le equazioni RANS non si applichino ai flussi con un flusso medio variabile nel tempo perché queste equazioni sono “mediate nel tempo”. In effetti, i flussi statisticamente instabili (o non stazionari) possono essere trattati allo stesso modo. Questo a volte è indicato come URANS. Non c’è nulla di inerente alla media di Reynolds che lo precluda, ma i modelli di turbolenza usati per chiudere le equazioni sono validi solo fintanto che il tempo in cui si verificano questi cambiamenti nella media è grande rispetto alle scale temporali del moto turbolento contenente la maggior parte di l’energia.

I modelli RANS possono essere suddivisi in due ampi approcci:

Ipotesi di Boussinesq Questo metodo implica l’utilizzo di un’equazione algebrica per le sollecitazioni di Reynolds che includono la determinazione della viscosità turbolenta e a seconda del livello di sofisticazione del modello, risolvendo equazioni di trasporto per determinare l’energia cinetica turbolenta e la dissipazione. I modelli includono k-ε (Launder and Spalding), Mixing Length Model (Prandtl) e Zero Equation Model (Cebeci e Smith). I modelli disponibili in questo approccio sono spesso indicati dal numero di equazioni di trasporto associate al metodo. Ad esempio, il modello Mixing Length è un modello “Zero Equation” perché non vengono risolte equazioni di trasporto; il k – ϵ {\ displaystyle k- \ epsilon} è un modello “a due equazioni” perché vengono risolte due equazioni di trasporto (una per k {\ displaystyle k} e una per ϵ {\ displaystyle \ epsilon}). Modello di sollecitazione di Reynolds (RSM) Questo approccio tenta di risolvere effettivamente le equazioni di trasporto per le sollecitazioni di Reynolds. Ciò significa l’introduzione di diverse equazioni di trasporto per tutte le sollecitazioni di Reynolds e quindi questo approccio è molto più costoso nello sforzo della CPU.

Large Eddy SimulationModifica

La simulazione di grandi vortici (LES) è una tecnica in cui le più piccole scale del flusso vengono rimosse attraverso un’operazione di filtraggio e il loro effetto modellato utilizzando modelli in scala di sottogriglia. Ciò consente di risolvere le scale più grandi e importanti della turbolenza, riducendo notevolmente il costo computazionale sostenuto dalle scale più piccole. Questo metodo richiede maggiori risorse di calcolo rispetto ai metodi RANS, ma è molto più economico del DNS.

Simulazione eddy staccataModifica

Simulazioni parassite distaccata (DES) è una modifica di un modello RANS in cui il modello passa a una formulazione a scala di sottorete in regioni sufficientemente fini per i calcoli LES. Alle regioni vicine ai confini solidi e in cui la scala della lunghezza turbolenta è inferiore alla dimensione massima della griglia viene assegnata la modalità di soluzione RANS. Poiché la scala della lunghezza turbolenta supera la dimensione della griglia, le regioni vengono risolte utilizzando la modalità LES. Pertanto, la risoluzione della griglia per DES non è così impegnativa come LES puro, riducendo così notevolmente i costi di calcolo. Sebbene DES sia stato inizialmente formulato per il modello Spalart-Allmaras (Spalart et al., 1997), può essere implementato con altri modelli RANS (Strelets, 2001), modificando opportunamente la scala di lunghezza che è esplicitamente o implicitamente coinvolta nel modello RANS . Quindi, mentre il DES basato sul modello Spalart-Allmaras agisce come LES con un modello di muro, DES basato su altri modelli (come due modelli di equazioni) si comporta come un modello RANS-LES ibrido. La generazione della rete è più complicata rispetto a un semplice caso RANS o LES a causa dello switch RANS-LES. DES è un approccio non zonale e fornisce un singolo campo di velocità uniforme attraverso le regioni RANS e LES delle soluzioni.

Simulazione numerica direttaModifica

La simulazione numerica diretta (DNS) risolve l’intera gamma di scale di lunghezza turbolenta. Ciò marginalizza l’effetto dei modelli, ma è estremamente costoso. Il costo computazionale è proporzionale a R e 3 {\ displaystyle Re ^ {3}}. Il DNS è intrattabile per flussi con geometrie complesse o configurazioni di flusso.

Simulazione di vortice coerenteModifica

L’approccio di simulazione di vortice coerente decompone il campo di flusso turbolento in una parte coerente, costituita da un movimento vorticale organizzato, e la parte incoerente, che è il flusso di sfondo casuale. Questa scomposizione viene eseguita utilizzando il filtro wavelet. L’approccio ha molto in comune con LES, poiché utilizza la decomposizione e risolve solo la parte filtrata, ma è diverso in quanto non utilizza un filtro passa-basso lineare. Invece, l’operazione di filtraggio si basa su wavelet e il filtro può essere adattato man mano che il campo di flusso si evolve. Farge e Schneider hanno testato il metodo CVS con due configurazioni di flusso e hanno mostrato che la porzione coerente del flusso mostrava lo spettro di energia – 40 39 {\ displaystyle – {\ frac {40} {39}}} esibito dal flusso totale, e corrispondeva a strutture coerenti (tubi a vortice), mentre le parti incoerenti del flusso costituivano un rumore di fondo omogeneo, che non mostrava strutture organizzate. Goldstein e Vasilyev hanno applicato il modello FDV alla simulazione di grandi vortici, ma non presumevano che il filtro wavelet eliminasse completamente tutti i movimenti coerenti dalle scale del subfiltro. Impiegando sia il filtraggio LES che quello CVS, hanno dimostrato che la dissipazione SFS era dominata dalla porzione coerente del campo di flusso SFS.

Metodi PDFModifica

I metodi della funzione di densità di probabilità (PDF) per la turbolenza, introdotti per la prima volta da Lundgren, si basano sul tracciamento del PDF a un punto della velocità, f V (v; x , t) dv {\ displaystyle f_ {V} ({\ boldsymbol {v}}; {\ boldsymbol {x}}, t) d {\ boldsymbol {v}}}, che fornisce la probabilità della velocità al punto x {\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}} si trova tra v {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}} e v + dv {\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} + d {\ boldsymbol {v}}}. Questo approccio è analogo alla teoria cinetica dei gas, in cui le proprietà macroscopiche di un gas sono descritte da un gran numero di particelle. I metodi PDF sono unici in quanto possono essere applicati nell’ambito di una serie di diversi modelli di turbolenza; le principali differenze si presentano nella forma dell’equazione di trasporto PDF. Ad esempio, nel contesto di una simulazione di grandi vortici, il PDF diventa il PDF filtrato. I metodi PDF possono essere utilizzati anche per descrivere le reazioni chimiche e sono particolarmente utili per simulare flussi che reagiscono chimicamente perché il termine della fonte chimica è chiuso e non richiede un modello. Il PDF viene comunemente tracciato utilizzando i metodi delle particelle lagrangiane; se combinato con la simulazione di grandi vortici, questo porta a un’equazione di Langevin per l’evoluzione delle particelle del subfiltro.

Metodo vorticeModifica

Il metodo vortice è una tecnica senza griglia per la simulazione di flussi turbolenti. Utilizza i vortici come elementi di calcolo, imitando le strutture fisiche in turbolenza. I metodi Vortex sono stati sviluppati come una metodologia senza griglia che non sarebbe limitata dagli effetti di levigatura fondamentali associati ai metodi basati su griglia. Per essere pratici, tuttavia, i metodi del vortice richiedono mezzi per calcolare rapidamente le velocità dagli elementi del vortice, in altre parole richiedono la soluzione a una forma particolare del problema degli N-corpi (in cui il movimento di N oggetti è legato alle loro mutue influenze ). Una svolta avvenne alla fine degli anni ’80 con lo sviluppo del metodo multipolo veloce (FMM), un algoritmo di V. Rokhlin (Yale) e L. Greengard (Courant Institute). Questa svolta ha aperto la strada al calcolo pratico delle velocità dagli elementi del vortice ed è la base di algoritmi di successo.

Il software basato sul metodo del vortice offre un nuovo mezzo per risolvere i problemi di dinamica dei fluidi difficili con un intervento minimo da parte dell’utente . Tutto ciò che è richiesto è la specifica della geometria del problema e l’impostazione dei limiti e delle condizioni iniziali. Tra i vantaggi significativi di questa moderna tecnologia;

• È praticamente grid-free, eliminando così numerose iterazioni associate a RANS e LES.
• Tutti i problemi vengono trattati in modo identico. Non sono richiesti input di modellazione o calibrazione.
• Sono possibili simulazioni di serie temporali, che sono cruciali per una corretta analisi dell’acustica.
• La piccola scala e la grande scala sono simulate accuratamente al stesso tempo.

Metodo di confinamento della vorticità Modifica

Il metodo del confinamento della vorticità (VC) è una tecnica euleriana usata nel simulazione di scie turbolente. Utilizza un approccio simile a un’onda solitaria per produrre una soluzione stabile senza diffusione numerica. VC può catturare le caratteristiche su piccola scala fino a 2 celle della griglia. All’interno di queste caratteristiche, viene risolta un’equazione alle differenze non lineari rispetto all’equazione alle differenze finite. VC è simile ai metodi di cattura degli urti, in cui le leggi di conservazione sono soddisfatte, in modo che le quantità integrali essenziali siano calcolate accuratamente.

Modello lineare eddyModifica

Il modello lineare eddy è una tecnica usata per simulare la miscelazione convettiva che avviene in flusso turbolento. Nello specifico, fornisce un modo matematico per descrivere le interazioni di una variabile scalare all’interno del campo di flusso vettoriale. Viene utilizzato principalmente nelle rappresentazioni unidimensionali del flusso turbolento, poiché può essere applicato a un’ampia gamma di scale di lunghezza e numeri di Reynolds. Questo modello viene generalmente utilizzato come elemento costitutivo per rappresentazioni di flusso più complicate, poiché fornisce previsioni ad alta risoluzione che valgono per un’ampia gamma di condizioni di flusso.

Flusso a due fasiEdit

La modellazione di due il flusso di fase è ancora in fase di sviluppo. Sono stati proposti diversi metodi, compreso il metodo Volume of fluid, il metodo level-set e il front tracking. Questi metodi spesso comportano un compromesso tra il mantenimento di un’interfaccia nitida o il risparmio di massa. Ciò è fondamentale poiché la valutazione della densità, viscosità e tensione superficiale si basa sui valori mediati sull’interfaccia. I modelli multifase lagrangiani, utilizzati per i mezzi dispersi, si basano sulla risoluzione dell’equazione del moto lagrangiana per la fase dispersa.

Algoritmi di soluzioneModifica

La discretizzazione nello spazio produce un sistema di equazioni differenziali ordinarie per problemi instabili ed equazioni algebriche per problemi stabili. I metodi impliciti o semi-impliciti vengono generalmente utilizzati per integrare le equazioni differenziali ordinarie, producendo un sistema di equazioni algebriche (solitamente) non lineari. L’applicazione di un’iterazione di Newton o di Picard produce un sistema di equazioni lineari che è non simmetrico in presenza di avvezione e indefinito in presenza di incomprimibilità. Tali sistemi, in particolare in 3D, sono spesso troppo grandi per i solutori diretti, quindi vengono utilizzati metodi iterativi, metodi stazionari come il successivo rilassamento eccessivo o metodi subspaziali di Krylov. I metodi di Krylov come GMRES, tipicamente usati con il precondizionamento, operano minimizzando il residuo su sottospazi successivi generati dall’operatore precondizionato.

Multigrid ha il vantaggio di prestazioni asintoticamente ottimali su molti problemi. I solutori ei precondizionatori tradizionali sono efficaci nel ridurre i componenti ad alta frequenza del residuo, ma i componenti a bassa frequenza in genere richiedono molte iterazioni per essere ridotti. Operando su più scale, multigrid riduce tutti i componenti del residuo di fattori simili, portando a un numero di iterazioni indipendente dalla mesh.

Per sistemi indefiniti, precondizionatori come la fattorizzazione LU incompleta, l’additivo Schwarz e il multigrid si comportano male o falliscono completamente, quindi la struttura del problema deve essere utilizzata per un precondizionamento efficace. I metodi comunemente usati in CFD sono gli algoritmi SIMPLE e Uzawa che mostrano tassi di convergenza dipendenti dalla mesh, ma i recenti progressi basati sulla fattorizzazione LU a blocchi combinati con il multigrid per i sistemi definiti risultanti hanno portato a precondizionatori che forniscono tassi di convergenza indipendenti dalla mesh.

Aerodinamica instabileModifica

CFD ha fatto un importante passo avanti alla fine degli anni ’70 con l’introduzione di LTRAN2, un codice 2-D per modellare profili alari oscillanti basato sulla teoria transonica delle piccole perturbazioni di Ballhaus e associati. Utilizza un algoritmo di commutazione Murman-Cole per modellare le onde d’urto in movimento. Successivamente è stato esteso al 3-D con l’uso di uno schema di differenze ruotato da AFWAL / Boeing che ha portato a LTRAN3.

Ingegneria biomedicaEdit

Le indagini CFD vengono utilizzate per chiarire le caratteristiche del flusso aortico in dettagli che sono oltre le capacità di misurazioni sperimentali. Per analizzare queste condizioni, vengono estratti modelli CAD del sistema vascolare umano utilizzando moderne tecniche di imaging come la risonanza magnetica o la tomografia computerizzata. Un modello 3D viene ricostruito da questi dati e il flusso del fluido può essere calcolato. Devono essere prese in considerazione le proprietà del sangue come la densità e la viscosità e le condizioni al contorno realistiche (ad esempio la pressione sistemica). Pertanto, rendendo possibile analizzare e ottimizzare il flusso nel sistema cardiovascolare per diverse applicazioni.

CPU vs GPUEdit

Tradizionalmente, le simulazioni CFD vengono eseguite su CPU. In una tendenza più recente, le simulazioni vengono eseguite anche su GPU. Questi in genere contengono processori più lenti ma più. Per gli algoritmi CFD che presentano buone prestazioni di parallelismo (cioè una buona velocità con l’aggiunta di più core) questo può ridurre notevolmente i tempi di simulazione. I metodi Fluid-implicit particle e reticolo-Boltzmann sono esempi tipici di codici che si adattano bene alle GPU.