Le nombre de Reynolds sans dimension joue un rôle de premier plan dans la prévision des modèles dans le comportement d’un fluide. Le nombre de Reynolds, appelé Re, est utilisé pour déterminer si l’écoulement du fluide est laminaire ou turbulent. C’est l’un des principaux paramètres de contrôle dans tous les écoulements visqueux où un modèle numérique est sélectionné en fonction du nombre de Reynolds précalculé.

Bien que le nombre de Reynolds comprenne à la fois les propriétés statiques et cinétiques des fluides, il est spécifié comme une propriété d’écoulement puisque les conditions dynamiques sont étudiées. Techniquement parlant, le nombre de Reynolds est le rapport des forces d’inertie aux forces visqueuses. Ce rapport aide à catégoriser les flux laminaires des flux turbulents.

Les forces inertielles résistent à un changement de vitesse d’un objet et sont la cause du mouvement du fluide. Ces forces sont dominantes dans les écoulements turbulents. Sinon, si les forces visqueuses, définies comme la résistance à l’écoulement, sont dominantes – l’écoulement est laminaire. Le nombre de Reynolds peut être spécifié comme suit:

$$ Re = \ frac {inertial ~ force} {viscous ~ force} = \ frac {fluid ~ and ~ flow ~ properties} {fluid ~ properties} \ tag {1} $$

Par exemple, un verre d’eau posé sur une surface statique, quelles que soient les forces en dehors de la gravité, est au repos et les propriétés d’écoulement sont ignorées. Ainsi, le numérateur dans l’équation (1) est « 0 ». Cela se traduit par une indépendance du nombre de Reynolds pour un fluide au repos. D’autre part, tandis que l’eau est renversée en inclinant un verre rempli d’eau, un nombre de Reynolds peut être estimé pour prédire le débit de fluide illustré à la Figure 1.

Histoire

La théorie d’un nombre sans dimension qui prédit l’écoulement de fluide a été initialement introduite par Sir George Stokes (1819-1903) qui avait tenté de déterminer la force de traînée sur une sphère en négligeant le terme inertiel. Stokes avait également réalisé les études de Claude Louis Navier (1785-1836) en les poussant plus loin et en dérivant l’équation du mouvement en ajoutant un terme visqueux en 1851 – révélant ainsi le Navier-S tokes équation \ (^ 1 \).

Le flux de Stokes, nommé d’après l’approche de Stokes à l’écoulement de fluide visqueux, est le modèle mathématique dans lequel le nombre de Reynolds est si bas qu’il est présumé égal à zéro. Divers scientifiques avaient mené des études pour examiner les propriétés du mouvement des fluides après Stokes. Même si les équations de Navier-Stokes analysaient en profondeur le flux de fluide, il était assez difficile de les appliquer pour des flux arbitraires où le nombre de Reynolds pouvait facilement prédire le mouvement du fluide.

En 1883, le scientifique irlandais Osborne Reynolds a découvert le nombre sans dimension qui prédit l’écoulement du fluide en fonction des propriétés statiques et dynamiques telles que la vitesse, la densité, la viscosité dynamique et les caractéristiques du fluide \ (^ 2 \). Il a mené des études expérimentales pour examiner la relation entre la vitesse et le comportement de l’écoulement du fluide. À cette fin, une configuration expérimentale (Figure 2a) a été établie par Reynolds en utilisant de l’eau colorée qui a été libérée au milieu de la zone de coupe transversale dans l’eau claire principale pour visualiser le mouvement de l’écoulement du fluide à travers le tube de verre (Figure 2b) .

L’étude d’Osborne Reynolds intitulée ‘Une enquête expérimentale sur les circonstances qui déterminent si le mouvement d’eau dans des canaux parallèles doit être directe ou sinueuse »en ce qui concerne le nombre sans dimension a été publié dans » Philosophical Transactions of the Royal Society « . Selon l’article, le nombre sans dimension découvert par Reynolds était approprié pour prévoir l’écoulement de fluide dans une large gamme de l’eau s’écouler dans un tuyau pour faire circuler l’air sur une voilure \ (^ 2 \).

Le nombre sans dimension était appelé paramètre: math: ‘R’, jusqu’à ce que présentation du physicien allemand Arnold Sommerfeld (1868 – 1951) au 4e Congrès international des mathématiciens à Rome (1908), où il a appelé le nombre ‘R’ comme le ‘Reynolds numéro’. Le terme utilisé par Sommerfeld est utilisé dans le monde entier depuis \ (^ 3 \).

Dérivation

Le nombre de Reynolds sans dimension prédit si l’écoulement du fluide serait laminaire ou turbulent faisant référence à plusieurs propriétés telles que la vitesse, la longueur, la viscosité et également le type d’écoulement.Il est exprimé comme le rapport des forces d’inertie aux forces visqueuses et peut être expliqué en termes d’unités et de paramètres respectivement, comme ci-dessous:

$$ Re = \ frac {ρVL} {μ} = \ frac { VL} {v} \ tag {2} $$

$$ Re = \ frac {F_ {inertie}} {F_ {visqueux}} = \ frac {\ frac {kg} {m ^ 3 } \ times {\ frac {m} {s}} \ times {m}} {Pa \ times {s}} = \ frac {F} {F} \ tag {3} $$

$$ v = \ frac {μ} {ρ} \ tag {4} $$

Fluide, débit et nombre de Reynolds

L’applicabilité du nombre de Reynolds diffère selon les spécifications de l’écoulement du fluide comme la variation de densité (compressibilité), la variation de viscosité (non newtonienne), étant un flux interne ou externe, etc. Le nombre critique de Reynolds est l’expression de la valeur pour spécifier la transition entre les régimes qui se diversifie en ce qui le type d’écoulement et la géométrie également. Alors que le nombre de Reynolds critique pour un écoulement turbulent dans un tuyau est de 2000, le nombre de Reynolds critique pour un écoulement turbulent sur une plaque plane, lorsque la vitesse d’écoulement est la vitesse d’écoulement libre, est dans une plage allant de \ (10 ^ 5 \) à \ (10 ^ 6 \). \ (^ 4 \)

Le nombre de Reynolds prédit également le comportement visqueux de l’écoulement dans le cas où les fluides sont newtoniens. Par conséquent, il est très important de percevoir le cas physique pour éviter des prédictions inexactes. Les régimes de transition et les flux externes internes & sont les champs de base pour étudier de manière exhaustive le nombre de Reynolds. Les fluides newtoniens sont des fluides qui ont une viscosité constante. Si la température reste la même, peu importe la quantité de stress appliquée sur un fluide newtonien; il aura toujours la même viscosité. Les exemples incluent l’eau, l’alcool et l’huile minérale.

Transition laminaire à turbulent

Le débit de fluide peut être spécifié sous deux régimes différents: laminaire et turbulent. La transition entre les régimes est un problème important qui dépend à la fois des propriétés du fluide et de l’écoulement. Comme mentionné précédemment, le nombre de Reynolds critique peut être classé comme interne et externe. Pourtant, alors que le nombre de Reynolds concernant la transition laminaire-turbulent peut être défini raisonnablement pour l’écoulement interne, il est difficile de spécifier une définition pour l’écoulement externe.

Débit interne

L’écoulement de fluide dans un tuyau comme écoulement interne avait été illustré par Reynolds comme sur la figure 2b. Le nombre de Reynolds critique pour le flux interne est: \ (4 \)

Type de flux	Plage de nombres Reynolds
Régime laminaire	jusqu’à Re = 2300
Régime de transition	2300 < Re < 4000
Régime turbulent	Re > 4000

L’écoulement en canal ouvert, l’écoulement de fluide dans un objet et l’écoulement avec frottement de tuyau sont des écoulements internes dans lesquels le nombre de Reynolds est prédit sur la base du diamètre hydraulique \ (D \) au lieu de la longueur caractéristique \ (L \). Dans le cas où le tuyau est cylindrique, le diamètre hydraulique \ (D \) est accepté comme diamètre réel du cylindre, ce qui signifie que le nombre de Reynolds est le suivant:

$$ Re = \ frac {F_ {inertie }} {F_ {visqueux}} = \ frac {ρVD_H} {μ} \ tag {5} $$

La forme d’un tuyau ou d’un conduit peut varier (par exemple carré, rectangulaire, etc.). Dans ces cas, le diamètre hydraulique est déterminé comme suit:

$$ D_H = \ frac {4A} {P} \ tag {6} $$

où \ (A \ ) est l’aire de la section et \ (P \) est le périmètre mouillé.

Le frottement sur la surface du tuyau dû à la rugosité est un paramètre efficace à considérer car il provoque une transition laminaire à turbulence et des pertes d’énergie . Le «Moody Chart» (Figure 4) a été généré par Lewis Ferry Moody (1944) pour prédire l’écoulement des fluides dans les canalisations où la rugosité était efficace. C’est une méthode pratique pour déterminer les pertes d’énergie en termes de facteur de frottement dues à la rugosité sur toute la surface intérieure d’un tuyau. Le nombre de Reynolds critique pour un tuyau avec une rugosité de surface respecte les régimes ci-dessus \ (^ 2 \). Dans le tableau ci-dessous, vous pouvez voir une échelle logarithmique en bas avec une échelle pour le facteur de friction à gauche et la rugosité relative du tuyau à droite.

Flux externe

Un flux externe dans lequel le courant dominant n’a pas de limites de district est semblable au flux interne qui a également un régime de transition. Les écoulements sur des corps tels qu’une plaque plate, un cylindre et une sphère sont les cas standard utilisés pour étudier l’effet de la vitesse dans le courant.En 1914, le scientifique allemand Ludwig Prandtl a découvert la couche limite, qui est en partie la fonction du nombre de Reynolds, couvrant la surface à travers des régimes laminaires, turbulents et de transition \ (^ 5 \). L’écoulement sur une surface plane est illustré à la figure 5 avec des régimes où \ (x_c \) est la longueur critique pour la transition, \ (L \) est la longueur totale de la plaque et \ (u \) est la vitesse du libre streamflow.

En général, la couche limite se dilate avec le mouvement dans la direction \ (x \) sur la plaque qui aboutit finalement à des conditions instables où le nombre de Reynolds augmente simultanément. Le nombre de Reynolds critique pour l’écoulement sur une surface plane est:

$$ Re_ {critical} = \ frac {ρVx} {μ} ≥3 \ times {10 ^ 5} ~ to ~ 3 \ times { 10 ^ 6} \ tag {7} $$

qui dépend de l’uniformité de l’écoulement sur la surface. Pourtant, alors que les nombres de Reynolds critiques pour les régimes sont virtuellement spécifiés pour un écoulement interne, il est difficile de les détecter pour un écoulement externe qui diversifie le nombre de Reynolds critique en ce qui concerne la géométrie. De plus, en dehors du flux interne, la séparation des couches limites est un problème anormal pour les flux externes où plusieurs ambiguïtés sont rencontrées pour générer un modèle numérique fiable par rapport à un domaine physique. \ (^ 6 \)

Faible et Nombre de Reynolds élevé

Le nombre de Reynolds est également efficace sur les équations de Navier-Stokes pour tronquer les modèles mathématiques. Alors que \ (Re → ∞ \), les effets visqueux sont présumés négligeables lorsque les termes visqueux dans les équations de Navier-Stokes sont supprimés. La forme simplifiée des équations de Navier-Stokes – appelées équations d’Euler – peut alors être spécifiée comme suit:

$$ \ frac {Dρ} {Dt} = – ρ∇ \ times {u} \ tag { 8} $$

$$ \ frac {Du} {Dt} = – \ frac {∇p} {ρ} + g \ tag {9} $$

$$ \ frac {De} {Dt} = – \ frac {p} {ρ} ∇ \ times {u} \ tag {10} $$

où \ (ρ \) est la densité, \ (u \) est la vitesse, \ (p \) est la pression, \ (g \) est l’accélération gravitationnelle, et \ (e \) est l’énergie interne spécifique. \ (6 \) Bien que les effets visqueux soient relativement importants pour les fluides, le non visqueux modèle de flux fournit partiellement un modèle mathématique fiable pour prédire un processus réel pour des cas spécifiques. Par exemple, l’écoulement externe à grande vitesse sur les corps est une approximation largement utilisée où l’approche non visqueuse convient raisonnablement.

Alors que \ (Re≪1 \), les effets d’inertie sont présumés négligeables et des termes connexes dans le Navier -Les équations de Stokes peuvent être supprimées. La forme simplifiée des équations de Navier-Stokes est appelée flux rampant ou Stokes:

$$ μ∇ ^ 2u-∇p + f = 0 \ tag {11} $$

$$ ∇ \ times {u} = 0 \ tag {12} $$

Application du nombre de Reynolds

La solution numérique de l’écoulement de fluide repose sur des modèles mathématiques qui ont été générés par des études expérimentales et des lois physiques connexes. L’une des étapes importantes de l’examen numérique consiste à déterminer un modèle mathématique approprié qui simule le domaine physique. Pour obtenir une prévision raisonnablement bonne du comportement des fluides dans diverses circonstances, le nombre de Reynolds a été accepté comme une condition préalable substantielle à l’analyse de l’écoulement des fluides. Par exemple, le mouvement de la glycérine dans un conduit circulaire peut être prédit par le nombre de Reynolds comme suit: \ (^ 7 \)

$$ Re_ {Glycerin} = \ frac {ρVD_H} {μ} = \ frac {1259 \ times {0,5} \ times {0,05}} {0,950} ≈ 33,1 \ tag {13} $$

où le flux de glycérine est laminaire conformément au nombre de Reynolds critique pour le flux interne.

Nombre de Reynolds SimScale

Le nombre de Reynolds n’est jamais vraiment visible dans les projets de simulation de SimScale car il est calculé automatiquement mais il influence beaucoup d’entre eux. Voici quelques articles de blog intéressants à lire sur le nombre de Reynolds en référence à son utilisation dans SimScale:

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• 10 Simulations de conception de tuyauterie: analyses d’écoulement de fluide et de contraintes

Dernière mise à jour: 20 janvier 2021