Sabes que me gustan los MythBusters, ¿verdad? Bueno, he tenido la intención de mirar el mito de disparar balas en el aire durante bastante tiempo. Ahora es ese momento. Si no captaste ese episodio en particular, los Cazadores de Mitos querían ver lo peligroso que era disparar una bala directamente al aire.
No voy a disparar armas, ni siquiera lanzar balas. eso es para los Cazadores de Mitos. Lo que haré en su lugar es hacer un cálculo numérico del movimiento de una bala disparada al aire. Esto es lo que dijo Adam sobre las balas:
- Un cartucho .30-06 alcanzará 10,000 pies de altura y tardará 58 segundos en volver a bajar
- Un 9 mm recorre 4000 pies y tardará 37 segundos en volver a bajar.
Adam también pudo determinar experimentalmente que tanto el 9 mm como el .30-06 tengo una velocidad terminal de aproximadamente 100 mph. Entonces, eso es con lo que tengo que trabajar. Oh, también, midieron qué tan lejos una bala de 9 mm penetraba en la tierra (pero no pudieron encontrar las .30-06).
El plan
Esto en realidad es similar a Hancock arrojando a un niño. El plan básico es utilizar un cálculo numérico para modelar el movimiento de una bala. Una vez que la bala sale del arma, tiene fuerzas que actúan sobre ella de la siguiente manera:
Hice dos diagramas de fuerza porque la fuerza de resistencia del aire va a estar en la dirección opuesta al movimiento. Esto significa que subir la bala se verá diferente a bajar. Entonces, este problema parece bastante simple, ¿verdad? De hecho, he hecho esto antes (aquí hay un ejemplo de la resistencia del aire en una pelota de fútbol). Pero en este caso, hay algunas otras cosas a considerar.
- ¿Funciona el modelo normal de resistencia del aire (siendo proporcional a v2)?
- ¿Cuál es el coeficiente de arrastre de una bala?
- ¿Qué pasa con la densidad del aire? ¿Debo tener eso en cuenta?
- ¿Qué pasa con el cambio en el campo gravitacional de la Tierra a medida que la bala se mueve hacia arriba?
Modelado numérico
No quiero entrar en detalles, pero en caso de que lo haya olvidado, el cálculo numérico funciona de esta manera:
- Divida el movimiento en pequeños pasos de tiempo. Durante estos pasos, puedo fingir (asumir) que la fuerza es constante. Con un tiempo lo suficientemente pequeño, esto es bastante cierto.
- Para cada paso de tiempo: Calcule la fuerza
- Calcule el cambio en el momento (asumiendo una fuerza constante)
- Calcule el cambio en la posición (asumiendo el momento constante)
- repita
Si desea obtener más detalles sobre los cálculos numéricos, consulte esta publicación básica.
Información de inicio
Solo voy a ver el .30-06, pero necesito información balística. Esto es lo que encontré (wikipedia, por supuesto)
- Masa de la bala = 9,7 gramos
- Velocidad de salida = 880 m / s (en realidad, este es el más rápido; el más lento es 760 m / sy 14 g; no estoy seguro de cuál usaron los Cazadores de mitos)
- Velocidad terminal = 44.7 m / s
Resistencia del aire
Si quiero modelar la resistencia del aire, puedo usar lo siguiente:
El problema es que las viñetas van muy rápido. Me refiero a muy rápido. No es seguro asumir que el coeficiente de arrastre (C) es constante con la velocidad. Wikipedia vuelve al rescate. En este caso, existe esta tabla muy útil:
Aparentemente, hay mucho debate sobre la resistencia aerodinámica de una bala. Solo usaré la tabla de arriba para hacer un coeficiente de arrastre variable. Entonces, esa es C, puedo encontrar el área efectiva mirando la velocidad terminal. A la velocidad terminal, el peso = resistencia del aire así:
Usando los valores conocidos de masa, g, C (de la tabla) y la densidad del aire (al nivel del mar), obtengo un área de A = 3.45 x 10-4 m2. Wikipedia enumera la bala con un diámetro de 7.823 mm, lo que daría un área de 1.9 x 10-4 m2. Supongo que están en el mismo parque de pelota. Bueno, hay una manera de probar cuál es la correcta, pero comenzaré con la de la velocidad terminal.
Densidad del aire
Esto está empezando a complicarse. Menos mal que estoy haciendo que una computadora haga todo el trabajo. Si los MythBusters son correctos y la bala llega a 10,000 pies de altura, entonces tendré que observar el cambio en la densidad del aire. Aquí hay una explicación de la densidad con cálculo de altitud. Usando esta expresión (que no estoy mostrando porque es aburrida), puedo trazar la densidad en función de la altitud.Esto es:
Dependencia de la gravedad con la altura
Por supuesto, el campo gravitacional no es constante con la altura, pero ¿está lo suficientemente cerca? El campo gravitacional real (g) es:
Donde G es la constante gravitacional universal, mE es la masa de la Tierra, RE es el radio de la Tierra y h es la altura sobre la superficie. ¿Cuál sería el valor de g a 4000 metros? (Los Cazadores de Mitos dijeron que la bala se fue a 10,000 pies, unos 3000 metros). O más bien, ¿cuál sería la diferencia porcentual entre la superficie y los 3000 metros de altura? Es el 99,9% del valor en superficie. Puedo fingir que es constante.
Ahora para el cálculo:
Aquí hay una gráfica de la posición vertical de la bala en función del tiempo, disparada hacia arriba.
Bueno, eso no «concuerda con el modelo MythBusters». ¿Qué pasa si elijo el valor de área más pequeño?
Mejor, pero aun no esta de acuerdo? Podría probar con una bala diferente. Déjeme probar el que tiene la velocidad de salida más baja, pero la masa más alta. Usaré una masa de 14 gramos y una velocidad inicial de 760 m / s. Esto da una altura máxima de aproximadamente 1300 metros con un tiempo total de aproximadamente 34 segundos.
I creo que veo otro error. Mi tabla de coeficientes de arrastre coincide con el número de mach, no con la velocidad. Si aumento mi altitud, eso cambia la velocidad del sonido, ¡doh! Ok, no creo que esto importe demasiado. Aquí hay una calculadora de velocidad de sonido. Es de la NASA, así que tiene que ser buena, ¿verdad? De todos modos, dice que la velocidad del sonido al nivel del mar es de 340 m / s, a 5000 metros es de 320 m / s. En lugar de calcular la velocidad a cada altura, simplemente cambié la velocidad del sonido a 320 m / s. Realmente no cambia la altura máxima.
Quizás el problema esté en el coeficiente de arrastre. Aquí hay una gráfica del coeficiente de arrastre (C) como función de la velocidad.
Parece «en bloque» porque solo estoy usando datos de esa tabla de Wikipedia. Pero tal vez esto es el problema. En realidad, tal vez el problema es que la tabla de coeficientes de arrastre no funciona muy bien a velocidades bajas (muy bajas).
Tal vez esto ni siquiera sea incorrecto
Ahora que lo pienso, los Cazadores de Mitos dijeron que simularon el .30-06, pero cuando lo dispararon al aire, nunca escucharon ni encontraron las balas. Quién sabe cuánto tiempo tomó. Sabían el tiempo de las balas de 9 mm, las escucharon golpear el suelo. Déjame ejecutar mis cálculos con la información de 9 mm. Usando una masa de 7,45 gramos y una velocidad inicial de 435 m / s, obtengo:
Lo que parece mucho más cercano a lo que ellos (MythBusters) tenían. Y me acabo de dar cuenta de otro error en el .30-06. Calculé el área con el diámetro en lugar del radio.
Ver. Eso es mejor. Espero que esta sea una lección para todos ustedes, niños. Tenga en cuenta su factor de 2 «s. Por supuesto, si consigo que esto funcione, ahora mi velocidad terminal es mucho más alta que lo que midieron. Oh, bueno.
Mi siguiente paso es observar la velocidad final de la bala si no la disparas directamente. Sospecho que así es como mueren las personas.
