Biografía

El padre de Arquímedes era Fidias, un astrónomo. No sabemos nada más sobre Fidias aparte de este hecho y sólo lo sabemos desde Arquímedes nos da esta información en una de sus obras, The Sandreckoner. Un amigo de Arquímedes llamado Heracleides escribió una biografía de él pero lamentablemente esta obra está perdida. Cómo nuestro conocimiento de Arquímedes se transformaría si alguna vez se encontrara esta obra perdida, o incluso extractos encontrados en la escritura de otros.
Arquímedes era un nativo de Siracusa, Sicilia. Algunos autores informan que visitó Egipto y allí inventó un dispositivo ahora conocido como «tornillo de Arquímedes». Esta es una bomba que todavía se utiliza en muchas partes del mundo. Es muy probable que, cuando era joven, Arquímedes estudiara con los sucesores de Euclides en Alejandría. Ciertamente estaba completamente familiarizado con las matemáticas que se desarrollaban allí, pero lo que hace mucho más cierta esta conjetura, conocía personalmente a los matemáticos que trabajaban allí y envió sus resultados a Alejandría con mensajes personales. Consideraba a Conon de Samos, uno de los matemáticos de Alejandría, ambos muy apreciados por sus habilidades como matemático y también lo consideraba un amigo cercano.
En el prefacio de Sobre espirales, Arquímedes relata una divertida historia sobre sus amigos en Alejandría. Nos dice que tenía la costumbre de enviarles enunciados de sus últimos teoremas, pero sin dar pruebas. Al parecer, algunos de los matemáticos habían reclamado los resultados como propios, por lo que Arquímedes dice que la última vez que les envió teoremas incluyó dos que eran falsos: –

… así que que aquellos que pretenden descubrirlo todo, pero no presentan pruebas de lo mismo, pueden ser refutados por haber fingido descubrir lo imposible.

Aparte de los prefacios de sus obras, la información sobre Arquímedes nos llega de varias fuentes, como historias de Plutarco, Livio y otros. Plutarco nos dice que Arquímedes estaba relacionado con el rey Hierón II de Siracusa (ver por ejemplo): –

Arquímedes … por escrito al rey Hierón, de quien era amigo y pariente cercano. …

Una vez más, la evidencia de al menos su amistad con la familia del rey Hieron II proviene del hecho de que The Sandreckoner estaba dedicado a Gelon, el hijo del rey Hieron.
De hecho, hay bastantes referencias a Arquímedes en los escritos de la época, ya que en su época se había ganado una reputación que pocos otros matemáticos de este período lograron. La razón de esto no fue un interés generalizado en las nuevas ideas matemáticas, sino que Arquímedes había inventado muchas máquinas que se utilizaron como motores de guerra. Estos fueron particularmente efectivos en la defensa de Siracusa cuando fue atacada por los romanos bajo el mando de Marcelo.

Plutarco escribe en su trabajo sobre Marcelo, el comandante romano, sobre cómo Arquímedes «las máquinas de guerra se utilizaron contra los romanos en el asedio del 212 aC: –

… cuando Arquímedes comenzó a manejar sus motores, inmediatamente disparó contra las fuerzas terrestres todo tipo de armas de proyectiles e inmensas masas de piedra que cayeron con un ruido y una violencia increíbles, contra los cuales ningún hombre podía resistir, porque derribaron a aquellos sobre quienes cayeron en montones, rompiendo todas sus filas y filas. Mientras tanto, enormes postes salieron de las paredes sobre los barcos y hundieron algunos con grandes pesos que bajaron desde lo alto sobre ellos; otros los levantaron en el aire con una mano de hierro o con un pico como el pico de una grulla y, cuando los hubieron levantado por la proa, y los pusieron de punta sobre la caca, los arrojaron al fondo del mar; o bien los barcos, arrastrados por motores en el interior y girando, se estrellaron contra las escarpadas rocas que sobresalían bajo los muros, con gran destrucción de los soldados que estaban a bordo. Con frecuencia, un barco se elevaba a una gran altura en el aire (algo terrible de contemplar), y se balanceaba de un lado a otro y se balanceaba hasta que todos los marineros fueron arrojados fuera, cuando finalmente se estrelló contra las rocas.

Arquímedes había sido persuadido por su amigo y pariente el rey Hierón para que construyera tales máquinas: –

Estas máquinas habían diseñado y inventado, no como asuntos de importancia, sino como meras diversiones en geometría; de acuerdo con el deseo y pedido del rey Hierón, poco tiempo antes, de que redujera a la práctica alguna parte de su admirable especulación en la ciencia, y acomodando la verdad teórica a la sensación y al uso ordinario, la llevara más a la apreciación de la gente en general.

Tal vez sea triste que las máquinas de guerra fueran apreciadas por la gente de esta época de una manera que no lo eran las matemáticas teóricas, pero habría que señalar que el mundo no es muy lugar diferente a finales del segundo milenio d.C. Otros inventos de Arquímedes como la polea compuesta también le dieron gran fama entre sus contemporáneos. Nuevamente citamos a Plutarco: –

había declarado que dada la fuerza, cualquier peso dado podría moverse, e incluso jactarse, se nos dice, confiando en la fuerza de la demostración, que si hubiera fuera otra tierra, al entrar en ella podría eliminar esto. Hiero, sorprendido por esto, y rogándole que solucionara el problema mediante un experimento real y que mostrara un gran peso movido por una pequeña máquina, se fijó en consecuencia en un barco de carga del arsenal del rey, que no podía ser sacado del muelle sin mucho trabajo y muchos hombres; y, cargándola con muchos pasajeros y una carga completa, sentándose él mismo el rato lejos, sin gran esfuerzo, pero solo sosteniendo el cabezal de la polea en la mano y tirando las cuerdas por grados, dibujó el barco en línea recta, tan suave y uniformemente como si hubiera estado en el mar.

Sin embargo, Arquímedes, aunque alcanzó la fama por sus inventos mecánicos , creía que las matemáticas puras eran la única búsqueda digna. Nuevamente Plutarco describe bellamente la actitud de Arquímedes, sin embargo, veremos más adelante que Arquímedes usó algunos métodos muy prácticos para descubrir resultados de la geometría pura: –

Arquímedes poseía tan alto espíritu, un alma tan profunda, y tantos tesoros de conocimiento científico, que aunque estos inventos le habían obtenido ahora el renombre de algo más que la sagacidad humana, no se dignaría dejar atrás ningún comentario o escritura sobre tales temas; pero, repudiando por sórdido e innoble todo el oficio de la ingeniería y todo tipo de arte que se preste al mero uso y al lucro, puso todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras donde no puede haber referencia a las vulgares necesidades de la vida. ; estudios cuya superioridad sobre todos los demás es incuestionable, y en los que la única duda puede ser si la belleza y la grandeza de los temas examinados, la precisión y la fuerza de los métodos y medios de prueba, merecen más nuestra admiración.

Plutarco describe maravillosamente su fascinación por la geometría: –

A veces, los sirvientes de Arquímedes «lo llevaban contra su voluntad a los baños, a lavarse y ungir. él, y sin embargo, estando allí, siempre estaría dibujando figuras geométricas, incluso en las mismas ascuas de la chimenea. Y mientras lo ungían con aceites y aromas dulces, con los dedos trazaba líneas en su cuerpo desnudo , hasta ahora fue arrebatado de sí mismo y llevado al éxtasis o al trance, con el deleite que tenía en el estudio de la geometría.

Los logros de Arquímedes son bastante sobresalientes. Se le considera por la mayoría de los historiadores de las matemáticas como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos . Perfeccionó un método de integración que le permitió encontrar áreas, volúmenes y superficies de muchos cuerpos. Chasles dijo que Arquímedes «el trabajo de integración (ver): –

… dio a luz al cálculo del infinito concebido y llevado a la perfección por Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz y Newton.

Arquímedes pudo aplicar el método del agotamiento, que es la forma temprana de integración, para obtener una amplia gama de resultados importantes y mencionamos algunos de ellos en las descripciones de Arquímedes también dio una aproximación precisa a π y demostró que podía aproximar raíces cuadradas con precisión. Inventó un sistema para expresar números grandes. En mecánica, Arquímedes descubrió teoremas fundamentales sobre el centro de gravedad de figuras planas y sólidos. El famoso teorema da el peso de un cuerpo sumergido en un líquido, llamado principio de Arquímedes.

Las obras de Arquímedes que han sobrevivido son las siguientes. Sobre equilibrios planos (dos libros), Cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro (dos libros), Sobre espirales, Sobre conoides y esferoides, Sobre cuerpos flotantes (dos libros), Medida de un círculo y The Sandreckoner. En el verano de 1906, JL Heiberg, profesor de filología clásica en la Universidad de Copenhague, descubrió un manuscrito del siglo X que incluía el trabajo de Arquímedes El método. Esto proporciona una visión notable de cómo Arquímedes descubrió muchos de sus resultados y lo discutiremos. a continuación, una vez que hayamos dado más detalles de lo que hay en los libros supervivientes. El orden en el que Arquímedes escribió sus obras no se conoce con certeza.Hemos utilizado el orden cronológico sugerido por Heath al enumerar estos trabajos arriba, excepto por El método que Heath ha colocado inmediatamente antes En la esfera y el cilindro. El artículo analiza los argumentos para un orden cronológico diferente de las obras de Arquímedes.
El tratado Sobre los equilibrios planos establece los principios fundamentales de la mecánica, utilizando los métodos de la geometría. Arquímedes descubrió los teoremas fundamentales sobre el centro de gravedad de las figuras planas y Estos se dan en esta obra. En particular, encuentra, en el libro 1, el centro de gravedad de un paralelogramo, un triángulo y un trapecio. El libro dos está dedicado por completo a encontrar el centro de gravedad de un segmento de una parábola. la cuadratura de la parábola Arquímedes encuentra el área de un segmento de una parábola cortada por cualquier cuerda.
En el primer libro de Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes muestra que la superficie de una esfera es cuatro veces la de un círculo máximo , encuentra el área de cualquier segmento de una esfera, muestra que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen de un cilindro circunscrito, y que la superficie de una esfera es dos tercios de la superficie de un cilindro circunscrito inc luding sus bases. Se da una buena discusión de cómo Arquímedes pudo haber sido llevado a algunos de estos resultados usando infinitesimales. En el segundo libro de esta obra Arquímedes «el resultado más importante es mostrar cómo cortar una esfera dada por un plano de modo que la relación de los volúmenes de los dos segmentos tenga una relación prescrita.
En Sobre espirales Arquímedes define una espiral , da propiedades fundamentales que conectan la longitud del radio vector con los ángulos a través de los cuales ha girado. Da resultados sobre las tangentes a la espiral, así como también encuentra el área de porciones de la espiral. En el trabajo Sobre conoides y esferoides, Arquímedes examina paraboloides de revolución, hiperboloides de revolución y esferoides obtenidos al girar una elipse alrededor de su eje mayor o menor. El objetivo principal del trabajo es investigar el volumen de los segmentos de estas figuras tridimensionales. Algunos afirman que existe una falta de rigor en algunos de los resultados de este trabajo, pero la interesante discusión en lo atribuye a una reconstrucción moderna.

Sobre los cuerpos flotantes es un trabajo en el que Arquímedes establece el ba principios sic de la hidrostática. Su teorema más famoso que da el peso de un cuerpo sumergido en un líquido, llamado principio de Arquímedes, está contenido en este trabajo. También estudió la estabilidad de varios cuerpos flotantes de diferentes formas y diferentes gravedades específicas. En Medición del círculo Arquímedes muestra que el valor exacto de π se encuentra entre los valores 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 y 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Esto lo obtuvo circunscribiendo e inscribiendo un círculo con polígonos regulares que tienen 96 lados.
The Sandreckoner es una obra notable en la que Arquímedes propone un sistema numérico capaz de expresar números hasta 8 × 10638 \ times 10 ^ {63} 8 × 1063 en notación moderna. trabajo que este número es lo suficientemente grande para contar el número de granos de arena que podrían encajar en el universo. También hay importantes comentarios históricos en este trabajo, ya que Arquímedes tiene que dar las dimensiones del universo para poder contar el número de granos de arena whi ch podría contener. Afirma que Aristarco ha propuesto un sistema con el sol en el centro y los planetas, incluida la Tierra, girando a su alrededor. Al citar resultados sobre las dimensiones, afirma los resultados debidos a Eudoxo, Fidias (su padre) y Aristarco. Hay otras fuentes que mencionan el trabajo de Arquímedes sobre distancias a los cuerpos celestes. Por ejemplo en Osborne reconstruye y discute: –

… una teoría de las distancias de los cuerpos celestes adscrita a Arquímedes, pero el estado corrupto de los numerales en el único manuscrito sobreviviente significa que el material es difícil de manejar.

En el Método, Arquímedes describió la forma en que descubrió muchos de los sus resultados geométricos (ver): –

… algunas cosas me quedaron claras primero por un método mecánico, aunque después tuvieron que ser probadas por geometría porque su investigación por dicho El método no proporcionó una prueba real. Pero, por supuesto, es más fácil, cuando hemos adquirido previamente, por el método, algún conocimiento de las preguntas, proporcionar la prueba que encontrarla sin ningún conocimiento previo.

Quizás la brillantez de los resultados geométricos de Arquímedes sea st resumido por Plutarco, quien escribe: –

No es posible encontrar en toda geometría preguntas más difíciles e intrincadas, o explicaciones más simples y lúcidas. Algunos atribuyen esto a su genio natural; mientras que otros piensan que un esfuerzo y un trabajo increíbles produjeron, según todas las apariencias, resultados fáciles y sin esfuerzo.Ninguna investigación suya lograría obtener la prueba y, sin embargo, una vez vista, cree de inmediato que la habría descubierto; por un camino tan suave y rápido que lo lleva a la conclusión requerida.

Heath agrega su opinión sobre la calidad del trabajo de Arquímedes «: –

Los tratados son, sin excepción, monumentos de la exposición matemática; la revelación gradual del plan de ataque, el ordenamiento magistral de las proposiciones, la eliminación severa de todo lo que no es inmediatamente relevante para el propósito, el fin del todo, son tan impresionante en su perfección como para crear un sentimiento similar al asombro en la mente del lector.

Hay referencias a otras obras de Arquímedes que ahora se han perdido. Pappus se refiere a una obra de Arquímedes sobre poliedros semi-regulares, el propio Arquímedes se refiere a una obra sobre el sistema numérico que propuso en el Sandreckoner, Pappus menciona un tratado Sobre balanzas y palancas, y Theon menciona un tratado de Arquímedes sobre espejos. discutido en pero la evidencia no es total Muy convincente.
Arquímedes fue asesinado en el 212 a. C. durante la captura de Siracusa por los romanos en la Segunda Guerra Púnica, después de que todos sus esfuerzos por mantener a raya a los romanos con sus máquinas de guerra habían fracasado. Plutarch relata tres versiones de la historia de su asesinato que le habían llegado. La primera versión: –

Arquímedes … era …, según el destino, decidido a resolver algún problema mediante un diagrama, y habiendo fijado tanto su mente como su Con los ojos puestos en el tema de sus especulaciones, nunca notó la incursión de los romanos, ni que la ciudad fuera tomada. En este transporte de estudio y contemplación, un soldado, que inesperadamente se le acercó, le ordenó que lo siguiera hasta Marcelo; lo cual se negó a hacer antes de haber resuelto su problema en una manifestación, el soldado, enfurecido, desenvainó su espada y lo atravesó.

La segunda versión: –

… un soldado romano, corriendo hacia él con una espada desenvainada, se ofreció a matarlo; y que Arquímedes, mirando hacia atrás, le rogó encarecidamente que le tomara la mano un rato, para que no dejara lo que entonces estaba trabajando inconcluso e imperfecto; pero el soldado, nada conmovido por su súplica, lo mató instantáneamente.

Finalmente, la tercera versión que había escuchado Plutarco: –

. … mientras Arquímedes llevaba a Marcelo instrumentos matemáticos, diales, esferas y ángulos, por los cuales la magnitud del sol podía medirse a la vista, algunos soldados lo vieron y creyeron que llevaba oro en un barco y lo mataron.

Arquímedes consideró que sus logros más importantes fueron los relacionados con un cilindro que circunscribe una esfera, y pidió una representación de esto junto con su resultado en la proporción de los dos, para inscribirse en su tumba. Cicerón estuvo en Sicilia en el 75 a. C. y escribe cómo buscó la tumba de Arquímedes (ver por ejemplo): –

… y la encontró rodeada por todas partes y cubierta de zarzas y matorrales ; porque recordé ciertas líneas de tonterías inscritas, como había oído, en su tumba, que decían que una esfera junto con un cilindro habían sido colocados en la parte superior de su tumba. En consecuencia, después de mirar bien alrededor …, noté una pequeña columna que se elevaba un poco por encima de los arbustos, en la que había una figura de una esfera y un cilindro … Los esclavos fueron enviados con hoces … y cuando se abrió un pasaje al lugar nos acercamos al pedestal frente a nosotros; el epigrama fue trazable con aproximadamente la mitad de las líneas legibles, ya que la última parte estaba desgastada.

Es quizás sorprendente que las obras matemáticas de Arquímedes fueran relativamente poco conocidas inmediatamente después de su muerte . Como escribe Clagett en: –

A diferencia de los Elementos de Euclides, las obras de Arquímedes no eran muy conocidas en la antigüedad. … Es cierto que … las obras individuales de Arquímedes fueron obviamente estudiadas en Alejandría, ya que Arquímedes fue citado a menudo por tres eminentes matemáticos de Alejandría: Heron, Pappus y Theon.

Solo después de que Eutocio publicara ediciones de algunas de las obras de Arquímedes, con comentarios, en el siglo VI d.C., los extraordinarios tratados se hicieron más conocidos. Finalmente, vale la pena señalar que la prueba que se utiliza hoy para determinar qué tan cerca del texto original están las diversas versiones de sus tratados de Arquímedes, es determinar si han conservado el dialecto dórico de Arquímedes.