→ Para obtener más tutoriales de matemáticas, consulte Math Hacks en YouTube. ←

La primera vez que escuché este problema, estaba en un curso de Estadística Matemática de nivel 300 en una pequeña universidad en el noroeste del Pacífico. Era una clase de unos 30 estudiantes y el profesor apostó que al menos dos de nosotros compartíamos el mismo cumpleaños.

Luego procedió a que todos dijeran su cumpleaños. Cuando llegó mi turno, indiqué mi fecha de nacimiento como «dos al cubo, tres al cubo», lo que hizo reír a la clase cuando nuestro profesor cerebral se tomó un tiempo para descifrar la fecha.

De todos modos, como predijo antes de llegar el último estudiante había encontrado un par de cumpleaños coincidentes.

Entonces, ¿qué suerte tuvo de haber encontrado un par coincidente?

Calentamiento

Supuesto: En aras de la simplicidad, ignoraremos la posibilidad de nacer el 29 de febrero.

Comencemos con un ejemplo simple para calentar nuestros cerebros:

¿Cuál es la probabilidad de que ¿Dos personas comparten el mismo cumpleaños?

La persona A puede nacer cualquier día del año, ya que es la primera persona a la que preguntamos. La probabilidad de nacer cualquier día del año es 1 o más específicamente: 365/365.

Dado que la Persona B debe nacer el mismo día que la Persona A, su probabilidad es 1/365.

Queremos que ambos eventos sucedan, así que multiplica las probabilidades:

Así que tienes un 0,27% de posibilidades de acercarte a un extraño y descubrir que su cumpleaños es el mismo día que el tuyo. Eso es bastante escaso.

Pero, ¿qué pasa con un grupo más grande?

¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de cada 4 personas compartan el mismo cumpleaños?

Bueno, Para resolver este problema, tendríamos que calcular todo lo siguiente:

• La probabilidad A y B comparten el mismo cumpleaños
• La probabilidad A y C comparten el mismo cumpleaños
• La probabilidad A y D comparten el mismo cumpleaños
• La probabilidad B y C comparten el mismo cumpleaños
• La probabilidad B y D comparten el mismo cumpleaños
• Probabilidad C y D comparten el mismo cumpleaños
• Probabilidad A, B y C comparten el mismo cumpleaños
• Probabilidad B, C y D comparten el mismo cumpleaños
• Probabilidad A , C y D comparten el mismo cumpleaños
• Probabilidad A, B y D comparten el mismo cumpleaños
• Probabilidad A, B, C y D comparten el mismo cumpleaños

¡Qué asco, son muchos cálculos! ¡Imagínese cuántas probabilidades tendríamos que calcular para un aula de 30 estudiantes!

Tiene que haber una forma mejor …

Una forma mejor: el truco del complemento

La forma más sencilla de calcular las probabilidades de un bajillón es mirar el problema desde un ángulo diferente:

¿Cuál es la probabilidad de que nadie comparta el mismo cumpleaños?

Este ejercicio alternativo es útil porque es todo lo contrario de nuestro problema original (es decir, el complemento). En probabilidad, sabemos que el total de todos los resultados posibles (es decir, el espacio muestral) siempre es igual a 1, o 100% de probabilidad.

Dado que la probabilidad de que al menos 2 personas tengan el mismo cumpleaños y la probabilidad de que nadie tenga el mismo cumpleaños cubre todos los escenarios posibles, sabemos que la suma de sus probabilidades es 1.

O de manera equivalente:

¡Sí! Será mucho más fácil de calcular.

El cálculo

¡Genial! Finalmente estamos listos para descubrir qué tan segura es la apuesta que hizo el profesor.

Calculemos la probabilidad de que nadie comparta el mismo cumpleaños en una sala de 30 personas.

Veamos esto paso a paso:

• El primer alumno puede nacer cualquier día, así que le daremos una probabilidad de 365/365.
• El próximo estudiante ahora está limitado a 364 días posibles, por lo que la probabilidad del segundo estudiante es 364/365.
• El tercer alumno puede nacer en cualquiera de los 363 días restantes, es decir, 363/365.

Este patrón continúa de modo que nuestro último alumno tiene una probabilidad de 336 / 365 (365 – 29 días desde que los estudiantes anteriores a ella consumieron 29 días potenciales).

Nuevamente multiplique las 30 probabilidades juntas:

¡Espera! Eso es un poco complicado. Limpiemos esto.

Dado que el denominador es treinta 365 multiplicados, podríamos reescribirlo como:

Usemos factoriales (simbólicamente:!) para limpiar aún más este cálculo.

(Recuerde que los factoriales son útiles para multiplicar números enteros positivos descendentes. Por ejemplo, 5! es igual a 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Usando factoriales, ¡365! equivaldría al producto de todos los números enteros descendentes de 365 a 1. ¡Solo queremos el producto de los números enteros de 365 a 336, así que dividiremos los números extraños dividiendo 365! por 335 !.

Nota: si esto te confunde, prueba con un valor menor como 5. / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Observa cómo 3 • 2 • 1 están tanto en el numerador como en el denominador. ¡Se «cancelan» haciendo 5! / 3! = 5 • 4.

Poniéndolo todo junto, ahora tenemos una expresión que se puede ingresar fácilmente en una calculadora científica:

Esto calcula un 0.294 o 29.4% de probabilidad de que nadie en la clase tenga el mismo cumpleaños. Por supuesto, queremos el complemento, así que lo restaremos de 1 para encontrar la probabilidad de que al menos 2 personas en un grupo de 30 compartan el mismo día de nacimiento.

¡Resulta que fue una apuesta bastante segura para nuestro profesor! Tenía casi un 71% de probabilidades de que dos o más de nosotros compartiéramos un cumpleaños.

Una probabilidad de cincuenta y cincuenta

Muchas personas se sorprenden al descubrir que si repite este cálculo con en un grupo de 23 personas, todavía tendrá un 50% de probabilidad de que al menos dos personas hayan nacido el mismo día.

¡Es un grupo relativamente pequeño de personas considerando que hay 365 cumpleaños posibles! Lo que significa que en cualquier grupo de más de 23 personas es probable que al menos 2 personas compartan el mismo día de nacimiento.

¡Qué pequeño factoide loco!

❤ MANTÉNGASE CONECTADO ❤

¡Manténgase actualizado con todo lo que Math Hacks está haciendo!