Biografi

Archimedes ‘far var Phidias, en astronom. Vi kender intet andet om Phidias end denne ene kendsgerning, og vi ved det kun siden Archimedes giver os disse oplysninger i et af hans værker, The Sandreckoner. En ven af Archimedes kaldet Heracleides skrev en biografi om ham, men desværre går dette arbejde tabt. Hvordan vores viden om Archimedes ville blive transformeret, hvis dette mistede arbejde nogensinde blev fundet, eller endda uddrag fundet i skrifter af andre.
Archimedes var hjemmehørende i Syracuse, Sicilien. Det er rapporteret af nogle forfattere, at han besøgte Egypten, og der opfandt en enhed, der nu er kendt som Archimedes “skrue. Dette er en pumpe, der stadig bruges i mange dele af verden. Det er højst sandsynligt, at Archimedes, da han var ung mand, studerede med efterfølgerne til Euclid i Alexandria. Bestemt var han helt fortrolig med den matematik, der blev udviklet der, men hvad der gør denne formodning meget mere sikker, han kendte personligt de matematikere, der arbejdede der, og han sendte sine resultater til Alexandria med personlige beskeder. Han betragtede Conon af Samos, en af matematikerne i Alexandria, begge meget højt for hans evner som matematiker, og han betragtede ham også som en nær ven.
Forordet til On spirals fortæller Archimedes en morsom historie om sine venner i Alexandria. Han fortæller os, at han var vant til at sende dem udsagn om sine seneste sætninger, men uden at give bevis. Nogle af matematikerne der havde tilsyneladende hævdet resultaterne som deres egne, så Archimedes siger, at ved sidste lejlighed, da han sendte dem sætninger, inkluderede han to, der var falske: –

… så at de, der hævder at opdage alt, men ikke fremlægger bevis for det samme, kan forveksles med at have foregivet at opdage det umulige.

Bortset fra i forordene til hans værker, information om Archimedes kommer til os fra en række kilder såsom i historier fra Plutarch, Livy og andre. Plutarch fortæller os, at Archimedes var beslægtet med kong Hieron II af Syracuse (se f.eks.): –

Archimedes … skriftligt til kong Hiero, hvis ven og nærmeste forhold han var. …

Igen bevis for i det mindste hans venskab med familien til kong Hieron II kommer fra det faktum, at Sandreckoner var dedikeret til Gelon, søn af kong Hieron.
Der er faktisk en hel række henvisninger til Archimedes i tidens skrifter, for han havde fået et ry på sin egen tid, som kun få andre matematikere i denne periode opnåede. Årsagen til dette var ikke en udbredt interesse i nye matematiske ideer, men snarere at Archimedes havde opfundet mange maskiner, der blev brugt som krigsmotorer. Disse var især effektive i forsvaret af Syracuse, da det blev angrebet af romerne under kommando af Marcellus.

Plutarch skriver i sit arbejde om Marcellus, den romerske kommandør, om hvordan Archimedes ‘krigsmotorer blev brugt mod romerne i belejringen af 212 f.Kr.: –

… da Archimedes begyndte at plyse sine motorer, skød han straks mod landstyrkerne alle mulige missilvåben og enorme stenmasser, der kom ned med utrolig støj og vold, som ingen kunne stå imod, for de bankede dem ned, som de faldt i bunker på, brækkede alle deres rækker og arkiver. ved store vægte, som de lod ned fra højt over dem; andre løftede de op i luften med en jernhånd eller næb som en kranæb, og når de havde trukket dem op ved stævnen, og satte dem på bækkenet, de kastede dem ned til havbunden; ellers blev skibene, trukket af motorer indeni og hvirvlet omkring, styrtet mod stejle klipper, der stod ud under væggene med stor ødelæggelse af soldaterne, der var ombord på dem. Et skib blev ofte løftet op i en stor højde i luften (en frygtelig ting at se) og blev rullet frem og tilbage og blev svingende, indtil søfolkene alle blev kastet ud, når det til sidst blev slået mod klipperne, eller lad falde.

Archimedes var blevet overtalt af sin ven og forhold til kong Hieron til at bygge sådanne maskiner: –

Disse maskiner havde designet og konstrueret, ikke som spørgsmål af nogen betydning, men som blotte underholdning i geometri; i overensstemmelse med kong Hieros ønske og anmodning, lidt tid før, om at han skulle reducere til at praktisere en del af hans beundringsværdige spekulation i videnskab og ved at imødekomme den teoretiske sandhed til sensation og almindelig brug bringe det mere inden for forståelsen af folket generelt.

Måske er det trist, at krigsmotorer blev værdsat af befolkningen på denne tid på en måde, som teoretisk matematik ikke var, men man må bemærke, at verden ikke er en særlig andet sted i slutningen af det andet årtusinde e.Kr. Andre opfindelser af Archimedes som den sammensatte remskive bragte ham også stor berømmelse blandt hans samtidige. Igen citerer vi Plutarch: –

havde erklæret, at i betragtning af styrken kunne enhver given vægt flyttes og endda prale, fortælles vi, idet vi stoler på demonstrationens styrke, at hvis der var en anden jord, ved at gå ind i den kunne han fjerne dette. Da Hiero blev ramt med forbløffelse over dette og bønfaldt ham om at udbedre dette problem ved faktiske eksperimenter og vise en stor vægt bevæget af en lille motor, fik han i overensstemmelse hermed et lasteskib ud af kongens arsenal, som ikke kunne trækkes ud af kajen uden stor arbejdskraft og mange mænd; og laster hende med mange passagerer og en fuld fragt, sidder sig selv langt væk uden nogen stor bestræbelse, men kun holder hovedet på remskiven i hånden og trækker snorene gradvist trak han skibet i en lige linje lige så jævnt og jævnt som om hun havde været i havet.

Alligevel Archimedes, skønt han opnåede berømmelse ved sine mekaniske opfindelser , troede, at ren matematik var den eneste værdige forfølgelse. Igen beskriver Plutarch smukt Archimedes holdning, men alligevel skal vi senere se, at Archimedes faktisk brugte nogle meget praktiske metoder til at finde resultater fra ren geometri: –

Archimedes besad så høj a ånd, så dyb sjæl og sådanne skatte af videnskabelig viden, at skønt disse opfindelser nu havde skaffet ham et berømmelse af mere end menneskelig skævhed, ville han alligevel ikke fortælle at efterlade nogen kommentar eller skrivning om sådanne emner; men idet han afviser som sordid og tilsidesætter hele ingeniørbranchen og enhver form for kunst, der kun egner sig til brug og fortjeneste, placerede han hele sin kærlighed og ambition i de renere spekulationer, hvor der ikke kan være nogen henvisning til livets vulgære behov ; Undersøgelser, hvis overlegenhed over for alle andre er ubestridte, og hvor den eneste tvivl kan være, om skønheden og storheden af de undersøgte emner, af præcisionen og sammenhængen i metoderne og bevismidlerne fortjener mest vores beundring. id = “9e04897abd”> Hans fascination af geometri er smukt beskrevet af Plutarch: –

Oftimes Archimedes ‘tjenere fik ham mod sin vilje til badene for at vaske og salve ham, og alligevel være der, ville han nogensinde trække sig ud af de geometriske figurer, selv i skorstenens gløder. Og mens de salvede ham med olier og søde savors, trak han med fingrene linjer på sin nøgne krop. indtil videre blev han taget fra sig selv og bragt i ekstase eller trance med den glæde, han havde i studiet af geometri.

Arkimedes ‘præstationer er ganske fremragende. Han betragtes som af de fleste matematikhistorikere som en af de største matematikere nogensinde . Han perfektionerede en metode til integration, der gjorde det muligt for ham at finde områder, volumener og overfladearealer i mange kroppe. Chasles sagde, at Archimedes “arbejder på integration (se): –

… fødte beregningen af det uendelige udtænkte og bragt til perfektion af Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz og Newton.

Archimedes var i stand til at anvende metoden til udmattelse, som er den tidlige form for integration, for at opnå en lang række vigtige resultater, og vi nævner nogle af disse i beskrivelserne af hans værker nedenfor. Archimedes gav også en nøjagtig tilnærmelse til π og viste, at han kunne tilnærme kvadratrødder nøjagtigt. Han opfandt et system til at udtrykke et stort antal. I mekanikken opdagede Archimedes grundlæggende sætninger om tyngdepunktet for plane figurer og faste stoffer berømte sætning giver vægten af et legeme nedsænket i en væske, kaldet Archimedes-princippet.
Arkimedes-værkerne, der har overlevet, er som følger. På plane ligevægte (to bøger), parabollens kvadratur, På kuglen og cylinderen (to bøger), På spiraler, På konoider og sfæroider, På flydende kroppe (to bøger), Måling af en cirkel og Sandreckoner. Sommeren 1906 opdagede JL Heiberg, professor i klassisk filologi ved Københavns Universitet, et manuskript fra det 10. århundrede, der indeholdt Archimedes ‘arbejde Metoden. Dette giver en bemærkelsesværdig indsigt i, hvordan Archimedes opdagede mange af hans resultater, og vi vil diskutere dette nedenfor, når vi har givet yderligere detaljer om, hvad der er i de overlevende bøger.
Den rækkefølge, som Archimedes skrev sine værker i, vides ikke med sikkerhed.Vi har brugt den kronologiske rækkefølge, som Heath har foreslået, i listen over disse værker ovenfor, bortset fra Metoden, som Heath har placeret umiddelbart før på kuglen og cylinderen. Papiret ser på argumenter for en anden kronologisk rækkefølge af Archimedes “værker.
Afhandlingen om plane ligevægte beskriver de grundlæggende principper for mekanik ved hjælp af metoderne for geometri. Archimedes opdagede grundlæggende sætninger om tyngdepunktet for plane figurer og Disse er givet i dette arbejde. Især finder han i bog 1 tyngdepunktet for et parallelogram, en trekant og et trapezium. Bog to er udelukkende viet til at finde tyngdepunktet for et segment af en parabel. kvadraturen i parabolen Archimedes finder arealet af et segment af en parabel afskåret af ethvert akkord.
I den første bog om kuglen og cylinderen viser Archimedes at overfladen på en kugle er fire gange større end en stor cirkel , han finder arealet af et hvilket som helst segment af en kugle, han viser, at volumenet af en kugle er to tredjedele af volumenet af en omskrevet cylinder, og at overfladen af en kugle er to tredjedele af overfladen af en omskrevet cylinder inkl. hyldende dens baser. En god diskussion af, hvordan Archimedes kan have været ført til nogle af disse resultater ved hjælp af uendelige størrelser, er givet i. I den anden bog i dette arbejde er Archimedes “det vigtigste resultat at vise, hvordan man klipper en given kugle med et plan, så forholdet mellem volumen i de to segmenter har et foreskrevet forhold.
I On spiraler definerer Archimedes en spiral , han giver grundlæggende egenskaber, der forbinder radiusvektorens længde med de vinkler, gennem hvilke den har drejet sig. Han giver resultater på tangenter til spiralen såvel som at finde arealet af dele af spiralen. I arbejdet Om konoider og sfæroider undersøger Archimedes paraboloider af revolution, hyperboloider af revolution og sfæroider opnået ved at rotere en ellipse enten omkring dens hovedakse eller omkring dens mindre akse. Hovedformålet med arbejdet er at undersøge volumenet af segmenter af disse tredimensionelle figurer. Nogle hævder, at der er en mangel på strenghed i visse af resultaterne af dette arbejde, men den interessante diskussion i tilskriver dette en moderne rekonstruktion.
Om flydende kroppe er et værk, hvor Archimedes lægger ba sic-principper for hydrostatik. Hans mest berømte sætning, der giver vægten af et legeme nedsænket i en væske, kaldet Archimedes “-princippet, er indeholdt i dette arbejde. Han studerede også stabiliteten af forskellige flydende legemer med forskellige former og forskellige specifikke tyngdekrafter. I Måling af Circle Archimedes viser, at den nøjagtige værdi af π ligger mellem værdierne 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 og 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Dette opnåede han ved at omskrive og indskrive en cirkel med regelmæssige polygoner med 96 sider.
Sandreckoner er et bemærkelsesværdigt arbejde, hvor Archimedes foreslår et talesystem, der er i stand til at udtrykke tal op til 8 × 10638 \ gange 10 ^ {63} 8 × 1063 i moderne notation. Han argumenterer i dette arbejde på, at dette antal er stort nok til at tælle antallet af sandkorn, der kunne monteres i universet. Der er også vigtige historiske bemærkninger i dette arbejde, for Archimedes skal give universets dimensioner for at kunne tælle antallet af sandkorn whi ch det kunne indeholde. Han siger, at Aristarchus har foreslået et system med solen i centrum og planeterne, inklusive Jorden, der drejer rundt om det. Ved at citere resultater om dimensionerne angiver han resultater på grund af Eudoxus, Phidias (hans far) og Aristarchus. Der er andre kilder, der nævner Archimedes “arbejde med afstande til himmellegemerne. For eksempel i Osborne rekonstruerer og diskuterer: –

… en teori om himmellegemernes afstande tilskrevet til Archimedes, men den korrupte tilstand af tallene i det eneste overlevende manuskript betyder, at materialet er vanskeligt at håndtere.

I metoden beskrev Archimedes den måde, hvorpå han opdagede mange af hans geometriske resultater (se): –

… visse ting blev først klart for mig ved en mekanisk metode, skønt de skulle bevises ved geometri bagefter, fordi deres undersøgelse af den nævnte Metoden leverede ikke et faktisk bevis. Men det er naturligvis lettere, når vi tidligere har erhvervet noget kendskab til spørgsmålene til metoden at levere beviset, end det er at finde det uden nogen tidligere viden.

Måske er arkitekturen fra Archimedes ‘geometriske resultater st opsummeret af Plutarch, der skriver: –

Det er ikke muligt at finde sværere og mere indviklede spørgsmål i al geometri eller mere enkle og klare forklaringer. Nogle tilskriver dette hans naturlige geni; mens andre synes, at en utrolig indsats og slid frembragte disse, for alt udseende, lette og ugunstige resultater.Intet omfang af din efterforskning ville lykkes med at opnå beviset, og alligevel, når du først har set det, tror du straks, at du ville have opdaget det; ved en så glat og så hurtig vej, at han fører dig til den krævede konklusion.

Heath tilføjer sin mening om kvaliteten af Archimedes ‘arbejde: –

Afhandlingerne er uden undtagelse monumenter for matematisk redegørelse; den gradvise åbenbaring af angrebsplanen, den mesterlige rækkefølge af propositionerne, den strenge eliminering af alt, hvad der ikke umiddelbart er relevant for formålet, finishen af det hele, er så imponerende i deres perfektion, at de skaber en følelse, der ligner ærefrygt i læsernes sind.

Der er henvisninger til andre værker af Archimedes, som nu er gået tabt. Pappus henviser til et værk af Archimedes om semi-regelmæssig polyhedra, Archimedes selv henviser til et værk om det nummersystem, som han foreslog i Sandreckoner, Pappus nævner en afhandling om balance og løftestænger, og Theon nævner en afhandling af Archimedes om spejle. Bevis for yderligere mistede værker er diskuteret i, men beviserne er ikke samlede ly overbevisende.
Archimedes blev dræbt i 212 f.Kr. under erobringen af Syracuse af romerne i den anden puniske krig, efter at alle hans bestræbelser på at holde romerne i skak med sine krigsmaskiner mislykkedes. Plutarch fortæller tre versioner af historien om hans drab, der var kommet ned til ham. Den første version: –

Archimedes … var …, som skæbnen ville have det, med den hensigt at udarbejde et problem ved hjælp af et diagram og have fikset hans sind ens og hans øjne på emnet for hans spekulation, bemærkede han aldrig romernes indtrængen, heller ikke at byen blev taget. I denne transport af studium og kontemplation befalede en soldat, der uventet kom op til ham, ham at følge til Marcellus; som han nægtede at gøre, før han havde udarbejdet sit problem til en demonstration, blev soldaten rasende, trak sit sværd og løb ham igennem.

Den anden version: –

… en romersk soldat, der løb på ham med et trukket sværd, tilbød at dræbe ham; og at Archimedes ser tilbage, bad ham oprigtigt om at holde hånden en kort stund, for at han ikke måtte forlade det, han arbejdede på, på ufuldstændig og ufuldkommen; men soldaten dræbte ham med det samme, intet rørt af hans anmodning.

Endelig den tredje version, som Plutarch havde hørt: –

. … da Archimedes bar Marcellus matematiske instrumenter, urskiver, sfærer og vinkler, hvormed solens størrelse kunne måles til synet, nogle soldater så ham og tænkte, at han bar guld i et kar, dræbte ham.

Archimedes betragtede, at hans mest betydningsfulde præstationer var dem, der vedrørte en cylinder, der omskrev en kugle, og han bad om en repræsentation af dette sammen med sit resultat på forholdet mellem de to, der skulle indskrives på hans grav. Cicero var på Sicilien i 75 f.Kr., og han skriver, hvordan han søgte efter Archimedes-grav (se f.eks.): –

… og fandt den lukket rundt og dækket af armbånd og tykkelser ; for jeg huskede visse doggerel-streger, som jeg havde hørt, indskrevet på hans grav, der sagde, at en kugle sammen med en cylinder var blevet anbragt oven på hans grav. Efter at have kigget godt rundt … bemærkede jeg følgelig en lille søjle, der opstod lidt over buskene, hvor der var en figur af en kugle og en cylinder …. Slaver blev sendt ind med segl … og da en passage til stedet blev åbnet, nærmede vi os piedestalen foran os; epigramet kunne spores med omkring halvdelen af linjerne læselige, da sidstnævnte del blev slidt væk.

Det er måske overraskende, at Archimedes ‘matematiske værker var relativt ringe kendt umiddelbart efter hans død. . Som Clagett skriver i: –

I modsætning til elementerne i Euclid var Arkimedes værker ikke kendt i antikken. … Det er sandt, at … individuelle værker af Archimedes naturligvis blev studeret i Alexandria, da Archimedes ofte blev citeret af tre fremtrædende matematikere i Alexandria: Heron, Pappus og Theon.

Først efter Eutocius bragte udgaver af nogle af Archimedes-værker med kommentarer i det sjette århundrede e.Kr., blev de bemærkelsesværdige afhandlinger mere kendt. Endelig er det værd at bemærke, at den test, der blev brugt i dag til at bestemme, hvor tæt på originalteksten de forskellige versioner af hans afhandlinger af Archimedes er, er at afgøre, om de har bevaret Archimedes ‘doriske dialekt.