→ Další výukové materiály z matematiky najdete v Matematické hacky na YouTube! ←

Poprvé, když jsem tento problém slyšel, seděl jsem na 300hodinovém kurzu matematické statistiky na malé univerzitě na severozápadě Pacifiku. Jednalo se o třídu asi 30 studentů a profesor se vsadil, že nejméně dva z nás sdíleli stejné narozeniny.

Poté pokračoval, aby každý uvedl své narozeniny. Když jsem přišel na řadu, uvedl jsem své datum narození jako „dva krychle, tři krychle“, což třídu rozesmálo, protože náš profesor mozku chvíli dešifroval datum.

Každopádně, jak předpovídal, než se dostal poslední student našel pár odpovídajících narozenin.

Takže jaké bylo štěstí, že našel odpovídající pár?

Rozcvička

Předpoklad: z důvodu jednoduchosti budeme ignorovat možnost, že se narodíme 29. února.

Začněme jednoduchým příkladem, jak zahřát naše mozky:

Jaká je pravděpodobnost, že dva lidé mají stejné narozeniny?

Osoba A se může narodit v kterýkoli den v roce, protože je to první osoba, na kterou se ptáme. Pravděpodobnost, že se narodí v kterýkoli den v roce, je 1 nebo konkrétněji: 365/365.

Protože Osoba B se musí narodit ve stejný den jako Osoba A, jejich pravděpodobnost je 1/365.

Chceme, aby se obě tyto události staly tak znásobte pravděpodobnosti:

Máte tedy 0,27% šanci přijít k neznámému člověku a zjistit, že jeho narozeniny jsou ve stejný den jako vy. To je docela štíhlé.

Ale co větší skupina?

Jaká je šance, že alespoň 2 ze 4 lidí sdílí stejné narozeniny?

No k vyřešení tohoto problému bychom museli spočítat všechny následující skutečnosti:

• Pravděpodobnost A a B mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost A a C mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost A a D mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost B a C mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost B a D mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost C a D mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost A, B a C mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost B, C a D mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost A , C a D sdílejí stejné narozeniny
• Pravděpodobnost A, B a D mají stejné narozeniny
• Pravděpodobnost A, B, C a D sdílejí stejné narozeniny

Fuj, to je spousta výpočtů! Představte si, kolik pravděpodobností bychom museli vypočítat pro třídu 30 studentů!

Musí existovat lepší způsob …

Lepší způsob: trik doplňku

Nejjednodušší způsob, jak obejít výpočet bajillionových pravděpodobností, je podívat se na problém z jiného úhlu:

Jaká je pravděpodobnost, že nikdo nesdílí stejné narozeniny?

Toto alternativní cvičení je užitečné, protože je úplným opakem našeho původního problému (tj. Doplňku). Pravděpodobně víme, že součet všech možných výsledků (tj. Ukázkový prostor) se vždy rovná 1 nebo 100% šanci.

Protože pravděpodobnost, že alespoň 2 lidé budou mít stejné narozeniny a pravděpodobnost, že nikdo nebude mít stejné narozeniny, pokryje všechny možné scénáře, víme, že součet jejich pravděpodobností je 1.

Nebo ekvivalentně:

Hej! Výpočet bude mnohem snazší.

Výpočet

Úžasné! Konečně jsme připraveni zjistit, jak bezpečná byla sázka, kterou profesor učinil.

Pojďme zjistit pravděpodobnost, že nikdo nebude sdílet stejné narozeniny z místnosti 30 lidí.

Pojďme krok za krokem:

• První student se může narodit v kterýkoli den, takže mu dáme pravděpodobnost 365/365.
• Další student je nyní omezen na 364 možných dnů, takže pravděpodobnost druhého studenta je 364/365.
• Třetí student se může narodit v kterémkoli ze zbývajících 363 dnů, tedy 363/365.

Tento model pokračuje, takže náš poslední student má pravděpodobnost 336 / 365 (365 – 29 dní, protože studenti před ní vyčerpali 29 potenciálních dní).

Znásobte znovu všech 30 pravděpodobností společně:

Počkejte! To je trochu špinavé. Pojďme to uklidit.

Jelikož jmenovatelem je třicet 365 vynásobených společně, mohli bychom jej přepsat jako:

Pojďme použít faktoriály (symbolicky:!) k dalšímu vyčištění tohoto výpočtu.

(Nezapomeňte, že faktoriály jsou užitečné pro násobení sestupných kladných celých čísel. Například 5! se rovná 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Používání faktoriálů, 365! by se rovnal součinu všech sestupných celých čísel od 365 do 1. Chceme pouze součin celých čísel od 365 do 336, takže cizí čísla rozdělíme dělením 365! autor: 335 !.

Poznámka: Pokud to má zmatek, zkuste menší hodnotu, například 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Všimněte si, jak jsou 3 • 2 • 1 v čitateli i jmenovateli. ‚Zruší ‚a vydělá 5! / 3! = 5 • 4.

Když to dáme dohromady, máme nyní výraz, který lze snadno zadat do vědecké kalkulačky:

To spočítá 0,294 nebo 29,4% šanci, že nikdo ve třídě nebude mít stejné narozeniny. Samozřejmě chceme doplněk, takže jej odečteme od 1, abychom zjistili pravděpodobnost, že alespoň 2 lidé ve skupině 30 sdílejí stejný den narození.

Ukázalo se, že to byla docela bezpečná sázka pro našeho profesora! Měl téměř 71% šanci, že 2 nebo více z nás bude mít narozeniny.

Padesát padesát šance

Mnoho lidí je překvapeno, když zjistíte, že pokud tento výpočet zopakujete s ve skupině 23 lidí budete mít 50% šanci, že se ve stejný den narodili nejméně dva lidé.

To je relativně malá skupina lidí, vzhledem k tomu, že existuje 365 možných narozenin! To znamená, že v jakékoli skupině více než 23 lidí je pravděpodobné, že alespoň 2 lidé sdílejí stejný den narození.

Jaký bláznivý malý faktoid!

❤ ZBYTEK PŘIPOJENI ❤

Zůstaňte v obraze se vším, co Math Hacks obsahuje!