Životopis

Archimedův otec byl Phidias, astronom. O Phidiasovi nevíme nic jiného než tento jediný fakt a víme to jen od roku Archimedes nám tuto informaci poskytuje v jednom ze svých děl Sandreckoner. Archimédův přítel Heracleides napsal jeho biografii, ale tato práce je bohužel ztracena. Jak by se naše znalosti Archimeda proměnily, kdyby se toto ztracené dílo někdy našlo, nebo dokonce výňatky nalezené při psaní jiných.
Archimedes byl rodák ze Syrakus na Sicílii. Někteří autoři uvádějí, že navštívil Egypt a vynalezl zařízení, nyní známé jako Archimedův šroub. Toto je čerpadlo, které se stále používá v mnoha částech světa. Je vysoce pravděpodobné, že když byl mladý, studoval Archimedes u nástupců Euklida v Alexandrii. Matematiku, která se tam vyvinula, jistě zcela znal, ale díky čemu je tato domněnka mnohem jistější, osobně znal matematiky, kteří tam pracují, a své výsledky poslal do Alexandrie osobními zprávami. Conona ze Samosu, jednoho z matematiků v Alexandrii, považoval za velmi důležité pro své schopnosti matematika a také ho považoval za blízkého přítele.
V předmluvě On Spirál Archimedes vypráví zábavný příběh o svých přátelích v Alexandrie. Říká nám, že měl ve zvyku posílat jim prohlášení o jeho nejnovějších větách, ale bez důkazů. Někteří z tamních matematiků podle všeho tvrdili, že jsou jejich výsledky vlastní, takže Archimedes říká, že při poslední příležitosti, když jim poslal věty, zahrnul dvě falešné: –

… takže že ti, kteří tvrdí, že objevují všechno, ale neprokazují to samé, mohou být zaměňováni za předstírané, že objevují nemožné.

Jiné než v předmluvě k jeho pracím, informace o Archimedes k nám přichází z řady zdrojů, například v příbězích od Plutarcha, Livy a dalších. Plútarchos nám říká, že Archimedes byl příbuzný s králem Hieronem II v Syrakusách (viz například): –

Archimedes … písemně králi Hierovi, jehož přítelem a blízkým příbuzným byl. …

Důkazy přinejmenším o jeho přátelství s rodinou krále Hierona II. pocházejí ze skutečnosti, že Sandreckoner byl zasvěcen Gelonovi, synovi krále Hierona.
Ve spisech té doby ve skutečnosti existuje celá řada odkazů na Archimeda, protože si ve své době získal pověst, kterou dosáhlo jen málo dalších matematiků tohoto období. Důvodem nebyl rozšířený zájem o nové matematické myšlenky, ale spíše to, že Archimedes vynalezl mnoho strojů, které se používaly jako válečné motory. Ty byly zvláště účinné při obraně Syrakus, když na ni zaútočili Římané pod velením Marcella.
Plútarchos píše ve své práci o Marcellovi, římském veliteli, o tom, jak byly Archimédovy válečné motory použity proti Římanům v obléhání roku 212 př. nl: –

… když Archimedes začal pohánět motory, okamžitě vystřelil proti pozemním silám všechny druhy raketových zbraní a obrovské masy kamene, které sestoupil s neuvěřitelným hlukem a násilím; proti kterému nemohl nikdo stát; neboť srazili ty, na něž padli v hromadách, rozbití všech jejich řad a složek. Mezitím ze zdí nad loděmi vyrazily obrovské tyče a některé potopily velkými závažími, které na ně sesadili z výšky; jiní se zvedli do vzduchu železnou rukou nebo zobákem jako zobák jeřábu, a když je vytáhli přídí, a postavili je na konec hovno, ponořili je na dno moře; nebo jinak, lodě tažené motory uvnitř a vířily kolem, byly hozeny proti strmým skalám, které stály vyčnívající pod zdmi, s velkým zničením vojáků, kteří byli na jejich palubách. Loď byla často zvedána do velké výšky ve vzduchu (strašná věc, kterou jsem viděl) a byla převrácena sem a tam a neustále se houpala, dokud nebyli všichni námořníci vyhozeni, když to nakonec dopadlo na skály, nebo nechte spadnout.

Archimeda přesvědčil jeho přítel a příbuzný král Hieron, aby takové stroje vyrobil: –

Tyto stroje navrhly a vymyšleno, nikoli jako záležitosti jakéhokoli významu, ale jako pouhá zábava v geometrii; v souladu s touhou a požadavkem krále Hiera, který měl před nějakou dobou omezit, aby procvičil část své obdivuhodné spekulace ve vědě, a přizpůsobením teoretické pravdy senzaci a běžnému používání ji přivedl více na uznání lidé obecně.

Možná je smutné, že válečné motory ocenili lidé této doby tak, že to teoretická matematika nebyla, ale je třeba poznamenat, že svět není příliš jiné místo na konci druhého tisíciletí našeho letopočtu. Další vynálezy Archimeda, jako je složená kladka, mu také přinesly velkou slávu mezi jeho současníky. Znovu citujeme Plútarchos: –

uvedl, že při dané síle lze jakoukoli danou váhu pohnout, a dokonce se chlubíme, jak se říká, spoléhajíc se na sílu demonstrace, byly jinou zemí, když do ní vstoupil, mohl ji odstranit. Hiero byl nad tím ohromen a prosil ho, aby tento problém napravil skutečným experimentem a prokázal velkou váhu pohnutou malým motorem, a podle toho se zafixoval na nákladovou loď z královského arzenálu, která nemohla být vytažen z doku bez velké práce a mnoha mužů; a naložil ji mnoha cestujícími a plným nákladem, seděl chvíli daleko, bez velkého úsilí, ale pouze držel hlavu kladky v ruce a kreslil šňůry po stupních, vytáhl loď v přímce, tak hladce a rovnoměrně, jako kdyby byla v moři.

Přesto Archimedes, i když slávy dosáhl svými mechanickými vynálezy , věřil, že čistá matematika je jediným hodným úsilím. Plútarchos opět krásně popisuje Archimédův přístup, ale později uvidíme, že Archiméd ve skutečnosti použil některé velmi praktické metody k objevení výsledků z čisté geometrie: –

Archimedes posedlý tak vysoko a duch, tak hluboká duše a takové poklady vědeckého poznání, že i když mu tyto vynálezy nyní získaly pověst více než lidské bystrosti, přesto by se neodvážil zanechat za sebou jakýkoli komentář nebo psaní o takových předmětech; ale zapudil jako špinavý a nepoctivý celý obchod se strojírenstvím a každý druh umění, který je vhodný k pouhému použití a zisku, vložil celou svou náklonnost a ambice do těch čistších spekulací, kde nelze zmínit vulgární potřeby života ; studia, jejichž nadřazenost nad všemi ostatními je nepochybná a ve kterých jedinou pochybností může být, zda si krása a vznešenost zkoumaných subjektů, přesnost a spolehlivost metod a důkazních prostředků, nejvíce zaslouží náš obdiv.

Jeho fascinace geometrií krásně popisuje Plutarchos: –

Služebníci Archimeda ho často proti jeho vůli dostali do lázní, aby se umyl a pomazal a přesto, že tam bude, někdy bude čerpat z geometrických obrazců, dokonce i v samotných uhlících komína. A zatímco ho pomazali oleji a sladkými příchutěmi, svými prsty kreslil čáry na své nahé tělo , doposud byl vzat ze sebe a přiveden do extáze nebo transu, s radostí, kterou měl při studiu geometrie.

Archimédovy úspěchy jsou zcela vynikající. Je považován za většina historiků matematiky jako jeden z největších matematiků všech dob . Zdokonalil metodu integrace, která mu umožnila najít oblasti, objemy a povrchové plochy mnoha těl. Chasles uvedl, že Archimedes „pracuje na integraci (viz): –

… zrodil počet nekonečně pojatých a dovedených k dokonalosti Keplerem, Cavalieri, Fermatem, Leibnizem a Newton.

Archimedes dokázal použít metodu vyčerpání, což je raná forma integrace, k získání celé řady důležitých výsledků a některé z nich zmiňujeme v popisech jeho práce níže. Archimedes také dal přesnou aproximaci k π a ukázal, že umí aproximovat druhé odmocniny přesně. Vynalezl systém pro vyjádření velkých čísel. V mechanice Archimedes objevil základní věty týkající se těžiště rovinných obrazců a těles. Jeho nejvíce slavná věta udává váhu těla ponořeného do kapaliny, tzv. Archimédův princip.
Archimédova díla, která přežila, jsou následující. Na rovinných rovnováhách (dvě knihy), Kvadratuře paraboly, Na kouli a válci (dvě knihy), Na spirálách, Na conoidech a sféroidech, Na plovoucích tělesech (dvě knihy), Měření kruhu a Sandreckoner. V létě roku 1906 JL Heiberg, profesor klasické filologie na univerzitě v Kodani, objevil rukopis z 10. století, který zahrnoval Archimedovu práci Metoda. Poskytuje pozoruhodný pohled na to, jak Archimedes objevil mnoho z jeho výsledků, a budeme o tom diskutovat níže, jakmile uvedeme další podrobnosti o přežívajících knihách.

Pořadí, ve kterém Archimedes psal svá díla, není jisté.Použili jsme chronologické pořadí navržené Heathem v seznamu těchto prací výše, s výjimkou Metody, kterou Heath umístil bezprostředně před Na kouli a válec. Příspěvek se zabývá argumenty pro různé chronologické pořadí Archimédových prací.
Pojednání o rovinných rovnováhách stanoví základní principy mechaniky s využitím metod geometrie. Archimedes objevil základní věty týkající se těžiště rovinných obrazců a ty jsou uvedeny v této práci. Zejména v knize 1 nachází těžiště rovnoběžníku, trojúhelníku a lichoběžníku. Kniha dvě se věnuje výhradně hledání těžiště segmentu paraboly. kvadratura paraboly Archimedes najde oblast segmentu paraboly odříznutou jakýmkoli akordem.
V první knize Na kouli a válci Archimedes ukazuje, že povrch koule je čtyřikrát větší než u velkého kruhu , najde plochu libovolného segmentu koule, ukáže, že objem koule je ze dvou třetin objemem popsaného válce a že povrch koule je ze dvou třetin povrchem popsaného válce včetně chválí jeho základny. Dobrá diskuse o tom, jak mohl být Archimedes veden k některým z těchto výsledků pomocí infinitesimals, je uvedena v. Ve druhé knize této práce Archimedes „nejdůležitějším výsledkem je ukázat, jak snížit danou kouli o rovinu tak, aby poměr objemů těchto dvou segmentů měl předepsaný poměr.
V části Na spirálách Archimedes definuje spirálu , dává základní vlastnosti spojující délku vektoru poloměru s úhly, kterými se točí. Dává výsledky tečen ke spirále, stejně jako zjištění oblasti částí spirály. V práci O conoidech a sféroidech Archimedes zkoumá paraboloidy revoluce, hyperboloidy revoluce a sféroidy získané rotací elipsy buď kolem její hlavní osy, nebo kolem její vedlejší osy. Hlavním účelem práce je prozkoumat objem segmentů těchto trojrozměrných obrazců. Někteří tvrdí, že existuje nedostatek přísnosti u některých výsledků této práce, ale zajímavá diskuse o atributech, které to připisují rekonstrukci moderní doby.
Na plovoucích tělesech je dílo, ve kterém Archimedes stanoví základní pravidla základní principy hydrostatiky. Jeho nejslavnější věta, která udává váhu tělesa ponořeného do kapaliny, tzv. Archimédův princip, je obsažena v této práci. Studoval také stabilitu různých plovoucích těles různých tvarů a různých měrných hmot. In Measurement of the Circle Archimedes ukazuje, že přesná hodnota π leží mezi hodnotami 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 a 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Toho bylo dosaženo opsáním a vepsáním kruhu s pravidelnými polygony s 96 stranami.

Sandreckoner je pozoruhodné dílo, ve kterém Archimedes navrhuje číselný systém schopný v moderní notaci vyjádřit čísla až 8 × 10638 \ krát 10 ^ {63} 8 × 1063. Tvrdí v tom práce, že toto číslo je dostatečně velké na to, aby spočítalo počet zrn písku, které by se mohly dostat do vesmíru. V této práci jsou také důležité historické poznámky, protože Archimedes musí dát rozměry vesmíru, aby mohl spočítat počet zrn písku whi ch to může obsahovat. Tvrdí, že Aristarchos navrhl systém se sluncem uprostřed a planetami, včetně Země, které se točí kolem něj. Při citování výsledků na dimenzích uvádí výsledky kvůli Eudoxovi, Phidiasovi (jeho otci) a Aristarchovi. Existují i další zdroje, které zmiňují Archimedovu „práci na vzdálenostech k nebeským tělesům. Například v Osbornově rekonstruuje a diskutuje: –

… teorie vzdáleností nebeských těles připisovaná Archimédovi, ale zkorumpovaný stav číslic v jediném přežívajícím rukopisu znamená, že s materiálem je obtížné zacházet.

V metodě Archimedes popsal způsob, jakým objevil mnoho z jeho geometrické výsledky (viz): –

… určité věci mi byly nejprve objasněny mechanickou metodou, i když to muselo být následně prokázáno geometrií, protože jejich vyšetřování uvedenou metoda neposkytla skutečný důkaz. Je však samozřejmě jednodušší, když jsme dříve metodou získali určité znalosti otázek, poskytnout důkaz, než je najít jej bez předchozích znalostí.

Možná brilantnost Archimedových „geometrických výsledků je shrnuto Plutarchem, který píše: –

Není možné najít ve všech geometriích složitější a složitější otázky nebo jednodušší a přehlednější vysvětlení. Někteří to připisují jeho přirozené genialitě; zatímco jiní si myslí, že to neuvěřitelné úsilí a námaha vyprodukovaly tyto, ke všemu zdání, snadné a neprojevené výsledky.Žádného z vašich vyšetřování by se nepodařilo získat důkaz, a přesto, jakmile ho jednou uvidíte, okamžitě věříte, že byste jej objevili; tak hladkou a tak rychlou cestou vás dovede k požadovanému závěru.

Heath přidává svůj názor na kvalitu Archimédovy „práce: –

Pojednání jsou bez výjimky památkami matematické expozice; postupné odhalení plánu útoku, mistrovské uspořádání návrhů, přísné odstranění všeho, co není bezprostředně relevantní pro účel, dokončení celku ve své dokonalosti tak působivé, že v mysli čtenáře vyvolaly pocit podobný úžasu.

Existují odkazy na další archimédova díla, která jsou nyní ztracena. Pappus odkazuje na dílo Archimedes na polopravidelném mnohostěnu, Archimedes sám odkazuje na práci na číselném systému, kterou navrhl v Sandreckoneru, Pappus zmiňuje pojednání O rovnováhách a pákách a Theon zmiňuje pojednání Archimeda o zrcadlech. diskutovány, ale důkazy nejsou úplné ly přesvědčivý.

Archimedes byl zabit v roce 212 př. n.l. během zajetí Syrakus Římany ve druhé punské válce poté, co selhaly všechny jeho snahy udržet Římany na uzdě svými válečnými stroji. Plútarchos líčí tři verze příběhu o jeho zabití, které se k němu dostaly. První verze: –

Archimedes … byla …, jak by to měl osud, s úmyslem vyřešit nějaký problém pomocí diagramu a napravit svou mysl stejně jako jeho Při pohledu na předmět své spekulace si nikdy nevšiml vpádu Římanů, ani toho, že by bylo město dobyto. V tomto transportu studia a rozjímání mu voják, který k němu nečekaně přišel, přikázal, aby následoval Marcella; voják, kterého rozzuřil, vytasil meč a prošel ho.

Druhá verze: –

… římský voják, který na něj narazil s taseným mečem, nabídl, že ho zabije; a to, že se Archimedes ohlédl, ho upřímně prosil, aby ho chvíli držel za ruku, aby po neprůkazném a nedokonalém stavu nemohl opustit to, co tehdy pracoval; ale voják, nic pohnuto jeho prosbou, ho okamžitě zabilo.

Nakonec třetí verze, kterou Plútarchoslechl: –

. … když Archimedes nesl Marcellovi matematické nástroje, číselníky, koule a úhly, kterými by bylo možné měřit velikost slunce na dohled, někteří vojáci ho viděli a mysleli si, že nosí v nádobě zlato, ho zabili.

Archimedes považoval za jeho nejvýznamnější úspěchy úspěchy týkající se válce ohraničujícího kouli, a požádal o vyjádření tohoto spolu s jeho výsledkem o poměru těchto dvou, který bude zapsán na jeho hrobka. Cicero byl na Sicílii v roce 75 před naším letopočtem a píše, jak hledal Archimedovu hrobku (viz například): –

… a našel ji všude kolem uzavřenou a pokrytou ostružinami a houštinami ; protože jsem si vzpomněl na určité doggerelské linie zapsané, jak jsem slyšel, do jeho hrobky, které uváděly, že na jeho hrob byla položena koule spolu s válcem. V souladu s tím, když jsem se dobře rozhlédl všude kolem …, všiml jsem si malého sloupu vycházejícího trochu nad keři, na kterém byla postava koule a válce …. Otroci byli posláni srpem … a když byl otevřen průchod na místo, přiblížili jsme se k podstavci před námi; epigram byl sledovatelný a přibližně polovina řádků byla čitelná, protože druhá část byla opotřebovaná.

Je možná překvapivé, že matematické práce Archimeda byly relativně málo známé bezprostředně po jeho smrti . Jak píše Clagett: –

Na rozdíl od Euklidových prvků nebyla díla Archimeda ve starověku široce známá. … Je pravda, že … jednotlivé práce Archimeda byly zjevně studovány v Alexandrii, protože Archimeda často citovali tři významní Alexandrijští matematici: Heron, Pappus a Theon.

Teprve poté, co Eutocius vydal vydání některých Archimédových děl s komentáři, v šestém století našeho letopočtu byly pozoruhodné pojednání, aby se staly známějšími. Nakonec stojí za zmínku, že test, který se dnes používá k určení toho, jak blízko k původnímu textu jsou různé verze jeho pojednání o Archimédovi, je zjistit, zda si uchovaly archimédský „Dorianův dialekt“.