Om sannolikhetsdensitetsfunktionen för en slumpmässig variabel (eller vektor) X ges som fX (x) är det möjligt (men ofta inte nödvändigt; se nedan) att beräkna sannolikhetsdensitetsfunktion för någon variabel Y = g (X). Detta kallas också en ”förändring av variabel” och används i praktiken för att generera en slumpmässig variabel med godtycklig form fg (X) = fY med en känd (till exempel enhetlig) slumpgenerator.

Det är frestande att tro att för att hitta det förväntade värdet E (g (X)) måste man först hitta sannolikhetstätheten fg (X) för den nya slumpmässiga variabeln Y = g (X). I stället för att beräkna

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

man kan hitta istället

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

Värdena för de två integralerna är desamma i alla fall där både X och g (X) faktiskt har sannolikhetsdensitetsfunktioner. Det är inte nödvändigt att g är en en-till-en-funktion. I vissa fall beräknas den senare integralen mycket lättare än den förra. Se lag om un medveten statistiker.

Scalar to scalarEdit

Låt g: R → R {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} vara en monoton funktion, då är den resulterande densitetsfunktionen

f Y (y) = f X (g – 1 (y)) | d d y (g – 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right |.}

Här betecknar g − 1 den inversa funktionen.

Detta följer av det faktum att sannolikheten i ett differentiellt område måste vara oförändrat vid förändring av variabler. Det vill säga

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ left | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

eller

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g – 1 (y)) | f X (g – 1 (y)) = | (g – 1) ′ (y) | ⋅ f X (g – 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ höger | f_ {X} (x) = \ vänster | {\ frac {d} {dy}} {\ stor (} g ^ {- 1} (y) {\ stor)} \ höger | f_ {X } {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} = {{\ big |} {\ big (} g ^ {- 1} {\ big)} ”(y) {\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)}.}

För funktioner som inte är monotona är sannolikhetsdensitetsfunktionen för y

∑ k = 1 n (y) | ddygk – 1 (y) | ⋅ f X (gk – 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ left | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) \ höger | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) {\ stor)},}

Vector to vectorEdit

Ovanstående formler kan generaliseras till variabler (som vi återigen kommer att kalla y) beroende på mer än en annan variabel. f (x1, …, xn) ska beteckna sannolikhetsdensitetsfunktionen för de variabler som y beror på och beroendet ska vara y = g (x1, …, xn). Därefter är den resulterande densitetsfunktionen

∫ y = g (x 1 ,…, Xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ xj (x 1,…, xn) 2 d V, {\ displaystyle \ int \ lim dess _ {y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

där integralen är över hela (n – 1) -dimensionell lösning av den abonnerade ekvationen och den symboliska dV måste ersättas av en parametrisering av denna lösning för en viss beräkning; variablerna x1, …, xn är naturligtvis funktioner för denna parametrisering.

Detta härrör från följande, kanske mer intuitiva representation: Antag att x är en n-dimensionell slumpmässig variabel med leddensitet f. Om y = H (x), där H är en bijektiv, differentierbar funktion, har y densitet g:

g (y) = f (H – 1 (y)) | det | {\ displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Big (} H ^ {- 1} (\ mathbf {y}) {\ Big)} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

med differentialen betraktad som den jakobiska av den inversa av H (.), utvärderad vid y.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 – 1 (y 1, y 2), H2 – 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 – 1 ∂ y 1 ∂ H 2 – 1 ∂ y 2 – ∂ H 1 – 1 ∂ y 2 ∂ H 2 – 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ big (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ big)} \ left \ vert {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} { \ partial y_ {1}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {- 1}} {\ partial y_ {2}}} – {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} {\ partial y_ {2}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {- 1}} {\ partial y_ {1}}} \ right \ vert.}

Vector to scalarEdit

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

Detta resultat leder till den omedvetna statistikens lag:

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y – V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operatornamn {E} _ {X}.}

Bevis:

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ begin { bmatrix} Z + V (X) \\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}.

Det är tydligt att H {\ displaystyle H} är en bijektiv kartläggning, och Jacobian av H – 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}} ges av:

d H – 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {- 1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 & – {\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}},

som är en övre triangulär matris med en på huvuddiagonalen, därför är dess determinant 1. Tillämpa ändringen av variabelteorem från föregående avsnitt får vi att

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y – V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

som om marginaliseras över x {\ displaystyle x} leder till önskad sannolikhetsdensitetsfunktion.