→ För mer matematiska självstudier, kolla in Math Hacks på YouTube! ←

Första gången jag hörde detta problem satt jag på en kurs i matematisk statistik på 300 nivåer i ett litet universitet i nordvästra Stillahavsområdet. Det var en klass på cirka 30 studenter och professorn satsade på att minst två av oss delade samma födelsedag.

Han fortsatte sedan med att alla skulle ange sin födelsedag. När det kom till min tur uppgav jag min födelsedatum som ”två kubad, tre kubad”, vilket fick klassen att skratta när vår cerebralprofessor tog en stund för att dechiffrera datumet.

Hur som helst som han förutsade innan han kom till den sista studenten hittades ett par matchande födelsedagar.

Så hur lycklig var det att han hittade ett matchande par?

Uppvärmning

Antagande: för enkelhets skull ignorerar vi möjligheten att bli född den 29 februari.

Låt oss börja med ett enkelt exempel för att värma upp hjärnan:

Vad är sannolikheten för att två personer delar samma födelsedag?

Person A kan födas varje dag på året eftersom de är den första personen vi frågar. Sannolikheten att bli född någon dag på året är 1 mer specifikt: 365/365.

Eftersom person B måste födas samma dag som person A är deras sannolikhet 1/365.

Vi vill att båda dessa händelser ska hända så multiplicera sannolikheterna:

Så du har 0,27% chans att gå upp till en främling och upptäcka att deras födelsedag är samma dag som din. Det är ganska smalt.

Men hur är det med en större grupp?

Vad är chansen att minst två av fyra personer delar samma födelsedag?

Väl att lösa detta problem skulle vi behöva beräkna alla följande:

• Sannolikhet A och B delar samma födelsedag
• Sannolikhet A och C delar samma födelsedag
• Sannolikhet A och D delar samma födelsedag
• Sannolikhet B och C delar samma födelsedag
• Sannolikhet B och D delar samma födelsedag
• Sannolikhet C och D delar samma födelsedag
• Sannolikhet A, B och C delar samma födelsedag
• Sannolikhet B, C och D delar samma födelsedag
• Sannolikhet A , C och D delar samma födelsedag
• Sannolikhet A, B och D delar samma födelsedag
• Sannolikhet A, B, C och D delar alla samma födelsedag

Yuck, det är många beräkningar! Föreställ dig hur många sannolikheter vi måste beräkna för ett klassrum med 30 elever!

Det måste finnas ett bättre sätt …

Ett bättre sätt: komplementets knep

Det enklaste sättet att komma runt beräkningen av bajillions sannolikheter är att titta på problemet från en annan vinkel:

Vad är sannolikheten för att ingen delar samma födelsedag?

Denna alternativa övning är till hjälp eftersom den är den fullständiga motsatsen till vårt ursprungliga problem (dvs. komplementet). Sannolikt vet vi att summan av alla möjliga resultat (dvs. provutrymmet) alltid är lika med 1 eller 100% chans.

Eftersom sannolikheten för att minst 2 personer har samma födelsedag och sannolikheten för att ingen ska ha samma födelsedag täcker alla möjliga scenarier, vi vet att summan av deras sannolikheter är 1.

Eller motsvarande:

Yay! Det blir mycket lättare att beräkna.

Beräkningen

Fantastiskt! Vi är äntligen redo att ta reda på hur säkert en satsning professorn gjorde.

Låt oss räkna ut sannolikheten att ingen delar samma födelsedag i ett rum på 30 personer.

Låt oss ta detta steg för steg:

• Den första eleven kan födas varje dag, så vi ger honom en sannolikhet på 365/365.
• Nästa elev är nu begränsad till 364 möjliga dagar, så den andra studentens sannolikhet är 364/365.
• Den tredje studenten kan födas någon av de återstående 363 dagarna, så 363/365.

Detta mönster fortsätter så att vår senaste elev har en sannolikhet på 336 / 365 (365 – 29 dagar sedan eleverna före henne använde 29 potentiella dagar).

Återigen multiplicerar alla 30 sannolikheterna tillsammans:

Vänta! Det är lite rörigt. Låt oss städa upp det här.

Eftersom nämnaren är trettio 365 multiplicerade tillsammans kan vi skriva om den som:

Låt oss använda faktoria (symboliskt:!) för att rensa upp denna beräkning ytterligare.

(Kom ihåg att faktoria är praktiska för att multiplicera tillsammans fallande positiva heltal. Till exempel 5! är lika med 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Med hjälp av faktablad, 365! skulle vara lika med produkten av alla fallande heltal från 365 ner till 1. Vi vill bara ha produkten av heltal från 365 till 336, så vi delar upp de främmande siffrorna genom att dela 365! av 335 !.

Obs! Om detta förvirrar försöker du ett mindre värde som 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Lägg märke till hur 3 • 2 • 1 är i både täljaren och nämnaren. De ”avbryter” och gör 5! / 3! = 5 • 4.

Att sätta ihop allt har vi nu ett uttryck som enkelt kan skrivas in på en vetenskaplig miniräknare:

Detta beräknar till 0,294 eller 29,4% chans att ingen i klassen har samma födelsedag. Naturligtvis vill vi ha komplementet så att vi subtraherar det från 1 för att hitta sannolikheten för att minst 2 personer i en grupp på 30 delar samma födelsedag.

Visar sig att det var en ganska säker satsning för vår professor! Han hade en nästan 71% chans att två eller fler av oss skulle dela en födelsedag.

En Fifty-Fifty Chance

Många är förvånade över att upptäcka att om du upprepar denna beräkning med en grupp på 23 personer har fortfarande 50% chans att minst två personer föddes samma dag.

Det är en relativt liten grupp människor med tanke på att det finns 365 möjliga födelsedagar! Det betyder att i alla grupper på mer än 23 personer är det troligt att minst två personer delar samma födelsedag.

Vilken galen liten faktoid!

❤ STAY CONNECTED ❤

Håll dig uppdaterad med allt Math Hacks gör!