→ Pentru mai multe tutoriale de matematică, consultați Math Hacks pe YouTube! ←

Prima dată când am auzit această problemă, stateam la un curs de statistică matematică de 300 de niveluri într-o mică universitate din nord-vestul Pacificului. A fost o clasă de aproximativ 30 de studenți, iar profesorul a pariat că cel puțin doi dintre noi au împărtășit aceeași zi de naștere.

Apoi a continuat ca toată lumea să-și declare ziua de naștere. Când a venit rândul meu, mi-am spus data nașterii ca „două în trei, trei în cuburi”, ceea ce a făcut să râdă clasa în timp ce profesorul nostru cerebral a luat o vreme să descifreze data.

Oricum așa cum a prezis înainte să ajungă la ultimul student care a fost găsit o pereche de zile de naștere potrivite.

Deci, cât de norocos a fost că a găsit o pereche potrivită?

Încălzire

Presupunere: din motive de simplitate, vom ignora posibilitatea de a ne naște pe 29 februarie.

Să începem cu un exemplu simplu pentru a ne încălzi creierul:

Care este probabilitatea ca două persoane au aceeași zi de naștere?

Persoana A se poate naște în orice zi a anului, deoarece este prima persoană pe care o întrebăm. Probabilitatea de a se naște în orice zi a anului este 1 sau mai precis: 365/365.

Deoarece persoana B trebuie să se nască în aceeași zi cu persoana A probabilitatea lor este 1/365.

Dorim ca ambele evenimente să se întâmple astfel înmulțiți probabilitățile:

Așadar, aveți o șansă de 0,27% să mergeți la un străin și să descoperiți că ziua lor de naștere este aceeași zi cu a voastră. Este destul de subțire.

Dar ce zici de un grup mai mare?

Care este șansa ca cel puțin 2 din 4 persoane să aibă aceeași zi de naștere?

Ei bine pentru rezolvăm această problemă, ar trebui să calculăm toate următoarele:

• Probabilitatea A și B au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea A și C au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea A și D au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea B și C au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea B și D au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea C și D au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea A, B și C au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea B, C și D au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea A , C și D au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea A, B și D au aceeași zi de naștere
• Probabilitatea A, B, C și D au aceeași zi de naștere

Da, sunt multe calcule! Imaginați-vă câte probabilități ar trebui să calculăm pentru o clasă de 30 de studenți!

Trebuie să existe o modalitate mai bună …

O cale mai bună: trucul complementului

Cel mai simplu mod de a te descurca calculând probabilitățile unui bajillion este să privești problema dintr-un unghi diferit:

Care este probabilitatea ca nimeni să nu aibă aceeași zi de naștere?

Acest exercițiu alternativ este util deoarece este opusul complet al problemei noastre inițiale (adică complementul). Probabil, știm că totalul tuturor rezultatelor posibile (adică spațiul eșantionului) este întotdeauna egal cu 1 sau 100% șanse.

Deoarece probabilitatea ca cel puțin 2 persoane să aibă aceeași zi de naștere și probabilitatea ca nimeni să nu aibă aceeași zi de naștere acoperă toate scenariile posibile, știm că suma probabilităților lor este 1.

Sau echivalent:

Da! Va fi mult mai ușor de calculat.

Calculul

Minunat! În sfârșit, suntem pregătiți să aflăm cât de sigur a făcut pariul profesorului.

Să stabilim probabilitatea ca nimeni să nu împărtășească aceeași zi de naștere dintr-o cameră de 30 de persoane.

Să facem acest pas cu pas:

• Primul student se poate naște în orice zi, așa că îi vom oferi o probabilitate de 365/365.
• Următorul student este acum limitat la 364 de zile posibile, deci probabilitatea celui de-al doilea student este 364/365.
• Al treilea student se poate naște în oricare dintre cele 363 de zile rămase, deci 363/365.

Acest model continuă astfel încât ultimul nostru student să aibă o probabilitate de 336 / 365 (365 – 29 de zile de când studenții dinaintea ei au consumat 29 de zile potențiale).

Înmulțiți din nou toate cele 30 de probabilități împreună:

Stai! Este puțin dezordonat. Să curățăm asta.

Deoarece numitorul este de treizeci de 365 înmulțit împreună, am putea să-l rescriem ca:

Să folosim factorialele (simbolic:!) pentru a curăța în continuare acest calcul.

(Amintiți-vă că factorialele sunt la îndemână pentru înmulțirea întregi numere întregi pozitive descendente. De exemplu 5! egal 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Folosind factoriale, 365! ar fi egal cu produsul tuturor numerelor întregi descendente de la 365 până la 1. Vrem produsul întregilor numai de la 365 la 336, deci vom împărți numerele străine împărțind 365! de 335 !.

Notă: dacă acest lucru vă încurcă, încercați o valoare mai mică, cum ar fi 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Observați cum sunt 3 • 2 • 1 atât în numărător, cât și în numitor. „Anulează” obținând 5! / 3! = 5 • 4.

Punând totul împreună avem acum o expresie care poate fi ușor introdusă pe un calculator științific:

Aceasta calculează la 0,294 sau 29,4% șanse ca nimeni din clasă să nu aibă aceeași zi de naștere. Desigur, dorim complementul, așa că îl vom scădea din 1 pentru a găsi probabilitatea ca cel puțin 2 persoane dintr-un grup de 30 să împărtășească aceeași zi de naștere.

Se pare că a fost un pariu destul de sigur pentru profesorul nostru! El a avut aproape 71% șanse ca 2 sau mai mulți dintre noi să împărtășească ziua de naștere.

O șansă cincizeci și cincizeci

Mulți oameni sunt surprinși să constate că dacă repetați acest calcul cu un grup de 23 de persoane veți avea în continuare 50% șanse ca cel puțin două persoane să se fi născut în aceeași zi.

Acesta este un grup relativ mic de oameni, având în vedere că există 365 de zile de naștere posibile! Adică, în orice grup de peste 23 de persoane, este probabil ca cel puțin 2 persoane să împărtășească aceeași zi de naștere.

Ce factoid nebun!

❤ Rămâi conectat ❤

Fiți la curent cu tot ceea ce face Math Hacks!