Biografie

Tatăl lui Arhimede era Phidias, un astronom. Nu știm nimic altceva despre Phidias în afară de acest fapt și știm acest lucru doar din moment ce Arhimede ne oferă aceste informații într-una din lucrările sale, The Sandreckoner. Un prieten al lui Archimedes, numit Heracleides, a scris o biografie despre el, dar, din păcate, această lucrare este pierdută. Cum s-ar transforma cunoștințele noastre despre Arhimede dacă s-ar găsi vreodată această lucrare pierdută sau chiar extrase găsite în scrierea altora.
Arhimede era originar din Siracuza, Sicilia. Se spune că unii autori au vizitat Egiptul și acolo a inventat un dispozitiv cunoscut acum sub numele de „șurubul lui Arhimede”. Aceasta este o pompă, încă folosită în multe părți ale lumii. Este foarte probabil ca, când era tânăr, Arhimede să fi studiat cu succesorii lui Euclid în Alexandria. Cu siguranță, era complet familiarizat cu matematica dezvoltată acolo, dar ceea ce face această presupunere mult mai sigură, știa personal matematicienii care lucrau acolo și și-a trimis rezultatele la Alexandria cu mesaje personale. El l-a privit pe Conon din Samos, unul dintre matematicienii din Alexandria, amândoi foarte priceput pentru abilitățile sale de matematician și l-a considerat, de asemenea, ca pe un prieten apropiat.
În prefața la On spirals Archimedes relatează o poveste amuzantă despre prietenii săi din Alexandria. El ne spune că avea obiceiul să le trimită declarații ale ultimelor sale teoreme, dar fără să dea dovezi. Se pare că unii dintre matematicienii de acolo au susținut rezultatele ca fiind proprii, așa că Arhimede spune că, cu ultima ocazie, când le-a trimis teoreme, a inclus două care erau false: –

… așa că că cei care pretind că descoperă totul, dar nu produc dovezi ale acelorași, pot fi confuzați ca pretinzând că descoperă imposibilul.

Altele decât în prefațele lucrărilor sale, informații despre Arhimede vine la noi dintr-o serie de surse, cum ar fi în povești din Plutarh, Liviu și altele. Plutarh ne spune că Arhimede era înrudit cu regele Hieron al II-lea al Siracuzei (vezi de exemplu): –

Arhimede … în scris către regele Hiero, al cărui prieten și relație apropiată era. …

Din nou, dovada cel puțin a prieteniei sale cu familia regelui Hieron II provine din faptul că The Sandreckoner a fost dedicat lui Gelon, fiul regelui Hieron.
Există, de fapt, o mulțime de referințe la Arhimede în scrierile vremii, pentru că el a câștigat o reputație în timpul său, pe care puțini alți matematicieni din această perioadă și-au atins-o. Motivul pentru aceasta nu a fost un interes generalizat pentru noile idei matematice, ci mai degrabă faptul că Arhimede a inventat multe mașini care erau folosite ca motoare de război. Acestea au fost deosebit de eficiente în apărarea Siracuzei atunci când a fost atacată de romani sub comanda lui Marcellus.

Plutarh scrie în lucrarea sa despre Marcellus, comandantul roman, despre modul în care „motoarele de război ale lui Arhimede erau folosite împotriva romanilor în asediul din 212 î.Hr .: –

… când Arhimede a început să-și conducă motoarele, a împușcat imediat împotriva forțelor terestre tot felul de arme rachete și mase imense de piatră care au coborât cu zgomot și violență incredibile; împotriva cărora nimeni nu putea rezista; pentru că i-au doborât pe cei asupra cărora au căzut în grămezi, rupându-și toate rândurile și dosarele. Între timp, stâlpi uriași au ieșit de pe ziduri peste nave și au scufundat câteva cu greutăți mari pe care le-au dat jos de sus pe ele; pe altele le-au ridicat în aer printr-o mână sau cioc de fier ca ciocul unei macarale și, după ce le-au tras de pradă, și le-au pus la capăt caca, i-au aruncat până la fundul mării; sau, altfel, corăbiile, trase de motoare înăuntru, și care se învârteau în jurul lor, erau zdrobite de stânci abrupte care ieșeau sub ziduri, cu o mare distrugere a soldaților care erau la bord. O corabie a fost ridicată frecvent la o înălțime mare în aer (un lucru îngrozitor de văzut) și a fost rostogolită încolo și încolo și a continuat să se balanseze, până când marinarii au fost aruncați cu toții afară, când, în sfârșit, a fost aruncată împotriva pietrelor, sau să cadă.

Arhimede fusese convins de prietenul său și de relația regelui Hieron să construiască astfel de mașini: –

Aceste mașini proiectaseră și concepute, nu ca chestiuni de vreo importanță, ci ca simple amuzamente în geometrie; în conformitate cu dorința și cererea regelui Hiero, cu puțin timp înainte, ca el să reducă la practică o parte din speculația sa admirabilă în știință și, adaptând adevărul teoretic la senzație și la utilizarea obișnuită, aduceți-l mai mult în aprecierea oamenii în general.

Poate că este trist faptul că motoarele războiului au fost apreciate de oamenii de atunci într-un mod în care matematica teoretică nu a fost, dar ar trebui să remarcăm că lumea nu este loc diferit la sfârșitul celui de-al doilea mileniu d.Hr. Alte invenții ale lui Arhimede, cum ar fi scripetele compuse, i-au adus, de asemenea, o mare faimă printre contemporanii săi. Din nou îl cităm pe Plutarh: –

afirmase că, dată fiind forța, orice greutate dată ar putea fi mutată și chiar lăudată, ni se spune, bazându-ne pe puterea demonstrației, că dacă există ar fi fost un alt pământ, intrând în el ar putea să înlăture acest lucru. Hiero a fost uimit de acest lucru și l-a rugat să rezolve această problemă prin experimentul propriu-zis și să arate o mare greutate mișcată de un mic motor, el s-a fixat în consecință asupra unei nave de povară din arsenalul regelui, care nu putea să fie scoasă din doc fără muncă mare și mulți oameni; și, încărcând-o cu mulți pasageri și o marfă completă, stând el însuși departe, fără nici un efort mare, ci ținând doar capul scripetei în mână și desenând corzile cu grade, el a tras nava în linie dreaptă, la fel de lin și uniform ca și cum ar fi fost în mare.

Cu toate acestea, Arhimede, deși a atins faima prin invențiile sale mecanice , credea că matematica pură era singura căutare demnă. Din nou Plutarh descrie frumos atitudinea lui Arhimede, totuși vom vedea mai târziu că Arhimede a folosit de fapt câteva metode foarte practice pentru a descoperi rezultate din geometria pură: –

Arhimede poseda atât de sus un spirit, un suflet atât de profund și astfel de comori ale cunoașterii științifice, încât, deși aceste invenții i-au dobândit acum renumele mai mult decât sagacitatea umană, totuși nu s-ar fi demis să lase în urma lui niciun comentariu sau scris despre astfel de subiecte; dar, respingând ca sordid și nobil tot comerțul de inginerie și orice fel de artă care se pretează la simpla utilizare și profit, și-a plasat întreaga afecțiune și ambiție în acele speculații mai pure, unde nu poate exista nicio referire la vulgarele nevoi ale vieții ; studii, a căror superioritate față de ceilalți nu este pusă la îndoială și în care singura îndoială poate fi dacă frumusețea și măreția subiecților examinați, precizia și convingerea metodelor și mijloacelor de probă, merită admirația noastră.

Fascinația sa pentru geometrie este descrisă frumos de Plutarh: –

De multe ori, slujitorii lui Arhimede îl aduceau împotriva voinței sale la băi, să se spele și să ungă El, și totuși, fiind acolo, ar fi extras vreodată din figurile geometrice, chiar în tăciunele coșului de fum. Și în timp ce îl ungeau cu uleiuri și arome dulci, cu degetele își trasa linii pe corpul gol. , până acum a fost luat de la sine și adus în extaz sau transă, cu încântarea pe care a avut-o în studiul geometriei.

Realizările lui Arhimede sunt destul de remarcabile. El este considerat de către majoritatea istoricilor matematicii ca unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile . El a perfecționat o metodă de integrare care i-a permis să găsească zone, volume și suprafețe ale multor corpuri. Chasles a spus că Arhimede „lucrează la integrare (vezi): –

… a dat naștere calculului infinitului conceput și adus la perfecțiune de Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz și Newton.

Arhimede a reușit să aplice metoda epuizării, care este forma timpurie a integrării, pentru a obține o gamă întreagă de rezultate importante și menționăm unele dintre acestea în descrierile lucrările sale de mai jos. Arhimede a dat, de asemenea, o aproximare exactă la π și a arătat că poate aproxima cu exactitate rădăcinile pătrate. A inventat un sistem de exprimare a numărului mare. În mecanică, Arhimede a descoperit teoreme fundamentale privind centrul de greutate al figurilor plane și al solidelor. celebra teoremă dă greutatea unui corp cufundat într-un lichid, numit principiul „Arhimede”.

Lucrările lui Arhimede care au supraviețuit sunt după cum urmează. Pe echilibrele plane (două cărți), Cadratura parabolei, Pe sfera și cilindrul (două cărți), Pe spirale, Pe conoide și sferoide, Pe corpurile plutitoare (două cărți), Măsurarea unui cerc și Sandreckoner. În vara anului 1906, JL Heiberg, profesor de filologie clasică la Universitatea din Copenhaga, a descoperit un manuscris din secolul al X-lea care includea lucrarea lui Arhimede Metoda. Aceasta oferă o perspectivă remarcabilă asupra modului în care Arhimede a descoperit multe dintre rezultatele sale și vom discuta despre acest lucru mai jos, odată ce am dat mai multe detalii despre ceea ce este în cărțile care au supraviețuit.
Ordinea în care Arhimede și-a scris lucrările nu este cunoscută cu certitudine.Am folosit ordinea cronologică sugerată de Heath în enumerarea acestor lucrări de mai sus, cu excepția Metodei pe care Heath a plasat-o imediat înainte de Sfera și cilindrul. Lucrarea analizează argumentele pentru o ordine cronologică diferită a lucrărilor lui Arhimede.
Tratatul privind echilibrele plane stabilește principiile fundamentale ale mecanicii, folosind metodele geometriei. Arhimede a descoperit teoreme fundamentale privind centrul de greutate al figurilor plane și acestea sunt date în această lucrare. În special, el găsește, în cartea 1, centrul de greutate al unui paralelogram, un triunghi și un trapez. Cartea a doua este dedicată în întregime găsirii centrului de greutate al unui segment al unei parabole. Cadratura parabolei Arhimede găsește aria unui segment al unei parabole tăiată de orice coardă.
În prima carte din Despre sferă și cilindru, Arhimede arată că suprafața unei sfere este de patru ori mai mare decât cea a unui cerc mare , găsește aria oricărui segment al unei sfere, arată că volumul unei sfere este de două treimi volumul unui cilindru circumscris și că suprafața unei sfere este de două treimi suprafața unui cilindru circumscris inc jucându-și bazele. O discuție bună despre modul în care Arhimede ar fi putut fi condus la unele dintre aceste rezultate folosind infinitesimale este prezentată în. În cea de-a doua carte a acestei lucrări, Arhimede „cel mai important rezultat este de a arăta cum se poate tăia o anumită sferă cu un plan, astfel încât raportul volumelor celor două segmente să aibă un raport prescris.
În spirale, Arhimede definește o spirală , el dă proprietăți fundamentale care leagă lungimea vectorului de rază de unghiurile prin care acesta s-a rotit. El dă rezultate asupra tangențelor spiralei, precum și găsirea zonei porțiunilor spiralei. În lucrarea Despre conoizi și sferoizi Archimedes examinează paraboloizi de revoluție, hiperboloizi de revoluție și sferoizi obținuți prin rotirea unei elipse fie în jurul axei sale majore, fie în jurul axei sale minore. Scopul principal al lucrării este de a investiga volumul segmentelor acestor figuri tridimensionale. Unii susțin că există o lipsă de rigoare în anumite rezultate ale acestei lucrări, dar discuția interesantă din aceasta o atribuie unei reconstrucții moderne.

Pe corpurile plutitoare este o lucrare în care Arhimede stabilește principiile hidrostatice. Cea mai faimoasă teoremă a sa, care dă greutatea unui corp cufundat într-un lichid, numit principiul lui Arhimede, este conținută în această lucrare. El a studiat, de asemenea, stabilitatea diferitelor corpuri plutitoare de diferite forme și diferite greutăți specifice. În Măsurarea cercului Arhimede arată că valoarea exactă a lui π se află între valorile 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 și 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Aceasta a obținut prin circumscrierea și inscrierea unui cerc cu poligoane regulate cu 96 de laturi.
Sandreckoner este o lucrare remarcabilă în care Arhimede propune un sistem numeric capabil să exprime numere de până la 8 × 10638 \ ori 10 ^ {63} 8 × 1063 în notația modernă. lucrare că acest număr este suficient de mare pentru a număra numărul de boabe de nisip care ar putea fi încorporate în univers. Există, de asemenea, remarci istorice importante în această lucrare, pentru că Arhimede trebuie să dea dimensiunile universului pentru a putea număra numărul de boabe de nisip whi ch ar putea conține. El afirmă că Aristarh a propus un sistem cu soarele în centru și planetele, inclusiv Pământul, care se învârt în jurul său. Citând rezultatele dimensiunilor, el afirmă rezultatele datorate lui Eudox, Fidias (tatăl său) și lui Aristarh. Există și alte surse care menționează „lucrarea lui Arhimede asupra distanțelor față de corpurile cerești. De exemplu, în Osborne reconstituie și discută: –

… o teorie a distanțelor corpurilor cerești atribuite pentru Arhimede, dar starea coruptă a numerelor din singurul manuscris care a supraviețuit înseamnă că materialul este dificil de manipulat.

În metodă, Arhimede a descris modul în care a descoperit multe dintre rezultatele sale geometrice (a se vedea): –

… anumite lucruri mi-au devenit mai întâi clare printr-o metodă mecanică, deși trebuiau dovedite ulterior prin geometrie, deoarece investigația lor de către metoda nu a furnizat o dovadă reală. Dar este desigur mai ușor, atunci când am dobândit anterior, prin metodă, o anumită cunoaștere a întrebărilor, să furnizăm dovada decât să o găsim fără cunoștințe anterioare.

Poate că strălucirea rezultatelor geometrice ale lui Arhimede este st rezumat de Plutarh, care scrie: –

Nu este posibil să găsim în toată geometria întrebări mai dificile și mai complicate sau explicații mai simple și mai lucide. Unii atribuie acest lucru geniului său natural; în timp ce alții consideră că efortul și truda incredibile au produs aceste rezultate, după toate aparențele, ușoare și nemulțumite.Niciunul dintre investigațiile dvs. nu ar reuși să obțină dovada și totuși, odată văzut, credeți imediat că ați fi descoperit-o; printr-o cale atât de lină și atât de rapidă, el vă conduce la concluzia necesară.

Heath își adaugă opinia despre calitatea lucrării „Arhimede”: –

Tratatele sunt, fără excepție, monumente ale expunerii matematice; revelația treptată a planului de atac, ordonarea magistrală a propozițiilor, eliminarea severă a tot ceea ce nu este imediat relevant pentru scop, finalizarea întregului, sunt atât de impresionant în perfecțiunea lor încât să creeze un sentiment asemănător cu uimirea în mintea cititorului.

Există referințe la alte lucrări ale lui Arhimede care sunt acum pierdute. Pappus se referă la o operă de către Arhimede cu privire la poliedrele semi-regulate, Arhimede însuși se referă la o lucrare asupra sistemului numeric pe care a propus-o în Sandreckoner, Pappus menționează un tratat Despre solduri și pârghii, iar Theon menționează un tratat al lui Arhimede despre oglinzi. discutate în dar dovezile nu sunt totale convingător.
Arhimede a fost ucis în 212 î.Hr. în timpul capturării Siracuzei de către romani în cel de-al doilea război punic, după ce toate eforturile sale de a ține romanii la distanță cu mașinile sale de război au eșuat. Plutarh povestește trei versiuni ale poveștii uciderii sale care îi venise. Prima versiune: –

Arhimede … a fost … așa cum ar vrea soarta, intenționată să rezolve o problemă printr-o diagramă și să-și fi fixat mintea la fel și a lui Privind subiectul speculației sale, el nu a observat niciodată incursiunea romanilor și nici că orașul a fost luat. În acest transport de studiu și contemplare, un soldat, venind neașteptat la el, i-a poruncit să urmeze la Marcellus; ceea ce a refuzat să facă înainte de a-și rezolva problema la o demonstrație, soldatul, supărat, și-a scos sabia și l-a fugit.

A doua versiune: –

… un soldat roman, alergând peste el cu o sabie trasă, s-a oferit să-l omoare; și că Arhimede, privind înapoi, l-a rugat cu seriozitate să-l țină de mână puțin timp, ca să nu lase ceea ce era atunci la lucru neconcludent și imperfect; dar soldatul, nimic mișcat de rugăciunea sa, l-a ucis instantaneu.

În cele din urmă, a treia versiune pe care o auzise Plutarh: –

. .. în timp ce Arhimede ducea la Marcellus instrumente matematice, cadrane, sfere și unghiuri, prin care mărimea soarelui putea fi măsurată la vedere, unii soldați văzându-l și gândindu-se că transportă aur într-un vas, l-au ucis.

Arhimede a considerat că cele mai semnificative realizări ale sale au fost cele referitoare la un cilindru care circumscrie o sferă și a cerut o reprezentare a acesteia împreună cu rezultatul său pe raportul celor două, care să fie înscris pe mormântul său. Cicero a fost în Sicilia în 75 î.Hr. și scrie cum a căutat mormântul lui Arhimede (vezi de exemplu): –

… și a găsit-o închisă de jur împrejur și acoperită cu mărăcini și desișuri ; pentru că mi-am amintit de anumite linii de doggerel inscripționate, după cum auzisem, pe mormântul său, care afirma că o sferă împreună cu un cilindru au fost puse deasupra mormântului său. În consecință, după ce am arătat bine în jur … am observat o mică coloană care se ridica puțin deasupra tufișurilor, pe care era o figură a unei sfere și a unui cilindru …. Sclavii au fost trimiși cu secera … și când a fost deschis un pasaj către locul respectiv, ne-am apropiat de piedestalul din fața noastră; epigrama a fost trasabilă cu aproximativ jumătate din linii lizibile, deoarece ultima porțiune a fost uzată.

Este probabil surprinzător faptul că lucrările matematice ale lui Arhimede au fost relativ puțin cunoscute imediat după moartea sa . După cum scrie Clagett în: –

Spre deosebire de Elementele lui Euclid, lucrările lui Arhimede nu erau cunoscute pe scară largă în antichitate. … Este adevărat că … lucrările individuale ale lui Arhimede au fost în mod evident studiate la Alexandria, deoarece Arhimede a fost adesea citat de trei eminenți matematicieni din Alexandria: Heron, Pappus și Theon.

Abia după ce Eutocius a scos edițiile unor lucrări ale lui Arhimede, cu comentarii, în secolul al VI-lea d.Hr., tratatele remarcabile au devenit mai cunoscute. În cele din urmă, merită remarcat faptul că testul folosit astăzi pentru a determina cât de aproape de textul original sunt diferitele versiuni ale tratatelor sale despre Arhimede este de a determina dacă au păstrat dialectul dorian al lui Arhimede.