Dacă funcția densității probabilității unei variabile aleatorii (sau a unui vector) X este dată ca fX (x), este posibil (dar deseori nu este necesar; vezi mai jos) să calculați funcția densității probabilității unei variabile Y = g (X). Aceasta se mai numește „schimbare de variabilă” și este practic utilizată pentru a genera o variabilă aleatorie de formă arbitrară fg (X) = fY utilizând un generator de numere aleatorii cunoscut (de exemplu, uniform).

este tentant să credem că, pentru a găsi valoarea așteptată E (g (X)), trebuie mai întâi să găsim densitatea probabilității fg (X) a noii variabile aleatoare Y = g (X). p> E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

se poate găsi în schimb

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

Valorile celor două integrale sunt aceleași în toate cazurile în care atât X cât și g (X) au de fapt funcții de densitate de probabilitate. Nu este necesar ca g să fie funcție one-to-one. În unele cazuri, ultima integrală este calculată mult mai ușor decât prima. A se vedea Legea un statistician conștient.

Scalar to scalarEdit

Fie g: R → R {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} funcție monotonă, atunci funcția de densitate rezultată este

f Y (y) = f X (g – 1 (y)) | d d y (g – 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right |.}

Aici g − 1 denotă funcția inversă.

Acest lucru rezultă din faptul că probabilitatea conținută în o zonă diferențială trebuie să fie invariantă sub schimbarea variabilelor. Adică,

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ left | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

sau

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g – 1 (y)) | f X (g – 1 (y)) = | (g – 1) ′ (y) | ⋅ f X (g – 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right | f_ {X } {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} = {{\ big |} {\ big (} g ^ {- 1} {\ big)} „(y) {\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)}.}

Pentru funcțiile care nu sunt monotone, funcția densității probabilității pentru y este

∑ k = 1 n (y) | ddygk – 1 (y) | ⋅ f X (gk – 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ left | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) \ right | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) {\ mare)},}

Vector to vectorEdit

Formulele de mai sus pot fi generalizate la variabile (pe care le vom numi din nou y) în funcție de mai mult de o altă variabilă. f (x1, …, xn) va indica funcția de densitate a probabilității variabilelor de care depinde y, iar dependența va fi y = g (x1, …, xn). Apoi, funcția de densitate rezultată este

∫ y = g (x 1 ,…, Xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ xj (x 1,…, xn) 2 d V, {\ displaystyle \ int \ lim __ y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

unde integrala este peste întreaga soluție (n – 1) -dimensională a ecuației subscrise și dV-ul simbolic trebuie înlocuit cu o parametrizare a acestei soluții pentru un anumit calcul; variabilele x1, …, xn sunt, desigur, funcții ale acestei parametrizări.

Aceasta derivă din următoarea reprezentare, poate mai intuitivă: Să presupunem că x este o variabilă aleatorie n-dimensională cu densitate articulară f. Dacă y = H (x), unde H este o funcție bijectivă, diferențiată, atunci y are densitate g:

g (y) = f (H – 1 (y)) | det | {\ displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Big (} H ^ {- 1} (\ mathbf {y}) {\ Big)} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

cu diferențialul considerat ca Jacobianul inversului lui H (.), evaluat la y.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 – 1 (y 1, y 2), H 2 – 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 – 1 ∂ y 1 ∂ H 2 – 1 ∂ y 2 – ∂ H 1 – 1 ∂ y 2 ∂ H 2 – 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ big (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ big)} \ left \ vert {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} { \ partial y_ {1}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {- 1}} {\ partial y_ {2}}} – {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} {\ partial y_ {2}}} {\ frac {\ partial H_ {2} ^ {- 1}} {\ partial y_ {1}}} \ right \ vert.}

Vector către scalarEdit

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

Acest rezultat duce la Legea statisticianului inconștient:

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y – V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operatorname {E} _ {X}.}

Dovadă:

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ begin { bmatrix} Z + V (X) \\ X \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}.

Este clar că H {\ displaystyle H} este o mapare bijectivă, iar Jacobianul lui H – 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}} este dat de:

d H – 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {- 1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 & – {\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}},

care este o matrice triunghiulară superioară cu unele pe diagonala principală, prin urmare determinantul său este 1. Aplicând teorema schimbării variabilei din secțiunea anterioară obținem că

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y – V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

care dacă este marginalizat peste x {\ displaystyle x} duce la funcția de densitate de probabilitate dorită.