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A primeira vez que ouvi esse problema, estava cursando um curso de Estatística Matemática, nível 300, em uma pequena universidade no noroeste do Pacífico. Era uma turma de cerca de 30 alunos e o professor apostou que pelo menos dois de nós fazíamos aniversário no mesmo dia.

Ele então pediu a todos que declarassem sua data de aniversário. Quando chegou a minha vez, declarei minha data de nascimento como “dois cubos, três cubos”, o que fez a classe rir, pois nosso professor cerebral demorou um pouco para decifrar a data. para o último aluno, um par de aniversários correspondentes foi encontrado.

Então, que sorte teve de ele ter encontrado um par correspondente?

Aquecimento

Suposição: por uma questão de simplicidade, ignoraremos a possibilidade de nascer em 29 de fevereiro.

Vamos começar com um exemplo simples para aquecer nossos cérebros:

Qual é a probabilidade de que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia?

A pessoa A pode nascer em qualquer dia do ano, pois é a primeira pessoa que estamos perguntando. A probabilidade de nascer em qualquer dia do ano é 1 ou mais especificamente: 365/365.

Como a pessoa B deve nascer no mesmo dia que a pessoa A, sua probabilidade é de 1/365.

Queremos que esses dois eventos aconteçam, multiplique as probabilidades:

Então você tem 0,27% de chance de se aproximar de um estranho e descobrir que o aniversário dele é no mesmo dia que o seu. Isso é muito reduzido.

Mas e um grupo maior?

Qual é a chance de que pelo menos 2 em 4 pessoas façam aniversário no mesmo dia?

Bem, resolver este problema, teríamos que calcular tudo a seguir:

• Probabilidade A e B compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade A e C compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade A e D compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade B e C compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade B e D compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade C e D compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade A, B e C compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade B, C e D compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade A , C e D compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade A, B e D compartilham o mesmo aniversário
• Probabilidade A, B, C e D compartilham o mesmo aniversário

Eca, isso são muitos cálculos! Imagine quantas probabilidades teríamos que calcular para uma sala de aula de 30 alunos!

Deve haver uma maneira melhor …

Uma maneira melhor: o truque do complemento

A maneira mais simples de contornar o cálculo de probabilidades de um bilhão é olhar para o problema de um ângulo diferente:

Qual é a probabilidade de que ninguém faça aniversário no mesmo dia?

Este exercício alternativo é útil porque é o completo oposto de nosso problema original (isto é, o complemento). Em probabilidade, sabemos que o total de todos os resultados possíveis (ou seja, o espaço amostral) é sempre igual a 1, ou 100% de chance.

Uma vez que a probabilidade de pelo menos 2 pessoas terem o mesmo aniversário e a probabilidade de ninguém ter o mesmo aniversário cobrir todos os cenários possíveis, sabemos que a soma de suas probabilidades é 1.

Ou equivalentemente:

Oba! Isso será muito mais fácil de calcular.

O cálculo

Incrível! Estamos finalmente prontos para descobrir o quão segura foi a aposta que o professor fez.

Vamos calcular a probabilidade de ninguém fazer aniversário no mesmo dia em uma sala com 30 pessoas.

Vamos dar um passo a passo:

• O primeiro aluno pode nascer em qualquer dia, então daremos a ele uma probabilidade de 365/365.
• O próximo aluno agora está limitado a 364 dias possíveis, então a probabilidade do segundo aluno é 364/365.
• O terceiro aluno pode nascer em qualquer um dos 363 dias restantes, portanto, 363/365.

Este padrão continua de forma que nosso último aluno tem uma probabilidade de 336 / 365 (365 – 29 dias desde que os alunos anteriores usaram 29 dias potenciais).

Mais uma vez, multiplique todas as 30 probabilidades:

Espere! Isso é um pouco confuso. Vamos limpar isso.

Como o denominador é trinta e 365 multiplicados, podemos reescrevê-lo como:

Vamos usar fatoriais (simbolicamente:!) para limpar ainda mais esse cálculo.

(Lembre-se de que os fatoriais são úteis para multiplicar inteiros positivos descendentes. Por exemplo, 5! é igual a 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Usando fatoriais, 365! seria igual ao produto de todos os inteiros descendentes de 365 para 1. Queremos apenas o produto dos inteiros de 365 a 336, então dividiremos os números estranhos dividindo 365! por 335 !.

Observação: se isso confundir, tente um valor menor, como 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Observe como os 3 • 2 • 1 estão tanto no numerador quanto no denominador. Eles ‘cancelam’ fazendo 5! / 3! = 5 • 4.

Juntando tudo, agora temos uma expressão que pode ser facilmente inserida em uma calculadora científica:

Isso calcula para 0,294 ou 29,4% de chance de ninguém na classe fazer o mesmo aniversário. Claro, queremos o complemento, então vamos subtraí-lo de 1 para encontrar a probabilidade de que pelo menos 2 pessoas em um grupo de 30 compartilhem o mesmo dia de nascimento.

Acontece que foi uma aposta bastante segura para nosso professor! Ele tinha quase 71% de chance de que 2 ou mais de nós compartilhassem um aniversário.

Uma chance de cinquenta e cinquenta anos

Muitas pessoas ficam surpresas ao descobrir que, se você repetir esse cálculo com com um grupo de 23 pessoas, você ainda terá 50% de chance de que pelo menos duas pessoas tenham nascido no mesmo dia.

Esse é um grupo relativamente pequeno de pessoas, considerando que há 365 aniversários possíveis! O que significa que em qualquer grupo de mais de 23 pessoas é provável que pelo menos 2 pessoas compartilhem o mesmo dia de nascimento.

Que factóide maluco!

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