Se a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória (ou vetor) X for dada como fX (x), é possível (mas muitas vezes não é necessário; veja abaixo) calcular o função de densidade de probabilidade de alguma variável Y = g (X). Isso também é chamado de “mudança de variável” e é na prática usado para gerar uma variável aleatória de forma arbitrária fg (X) = fY usando um gerador de número aleatório conhecido (por exemplo, uniforme).

Ele É tentador pensar que, para encontrar o valor esperado E (g (X)), deve-se primeiro encontrar a densidade de probabilidade fg (X) da nova variável aleatória Y = g (X). No entanto, em vez de calcular

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ yfg (X) (y) dy, {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} yf_ {g (X)} (y) \, dy,}

pode-se encontrar em vez disso

E ⁡ (g (X)) = ∫ – ∞ ∞ g (x) f X (x) dx. {\ displaystyle \ operatorname {E} {\ big (} g (X) {\ big)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, dx.}

Os valores das duas integrais são os mesmos em todos os casos em que X e g (X) realmente têm funções de densidade de probabilidade. Não é necessário que g seja um função um-para-um. Em alguns casos, a última integral é calculada muito mais facilmente do que a primeira. Consulte a Lei da un estatístico consciente.

Escalar para editar escalar

Seja g: R → R {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} ser um função monotônica, a função densidade resultante é

f Y (y) = f X (g – 1 (y)) | d d y (g – 1 (y)) | . {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right |.}

Aqui g − 1 denota a função inversa.

Isso segue do fato de que a probabilidade contida em uma área diferencial deve ser invariante sob mudança de variáveis. Ou seja,

| f Y (y) d y | = | f X (x) d x | , {\ displaystyle \ left | f_ {Y} (y) \, dy \ right | = \ left | f_ {X} (x) \, dx \ right |,}

ou

f Y ( y) = | d x d y | f X (x) = | d d y (x) | f X (x) = | d d y (g – 1 (y)) | f X (g – 1 (y)) = | (g – 1) ′ (y) | ⋅ f X (g – 1 (y)). {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ left | {\ frac {dx} {dy}} \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} (x ) \ right | f_ {X} (x) = \ left | {\ frac {d} {dy}} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} \ right | f_ {X } {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)} = {{\ big |} {\ big (} g ^ {- 1} {\ big)} “(y) {\ big |}} \ cdot f_ {X} {\ big (} g ^ {- 1} (y) {\ big)}.}

Para funções que não são monotônicas, a função de densidade de probabilidade para y é

∑ k = 1 n (y) | ddygk – 1 (y) | ⋅ f X (gk – 1 (y)), {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n (y)} \ left | {\ frac {d} {dy}} g_ {k} ^ {- 1} (y) \ right | \ cdot f_ {X} {\ big (} g_ {k} ^ {- 1} (y) {\ big)},}

Vetor para vetorEditar

As fórmulas acima podem ser generalizadas para variáveis (que novamente chamaremos de y) dependendo de mais de uma variável. f (x1, …, xn) deve denotar a função de densidade de probabilidade das variáveis das quais y depende, e a dependência deve ser y = g (x1, …, xn). Então, a função de densidade resultante é

∫ y = g (x 1 ,…, Xn) f (x 1,…, xn) ∑ j = 1 n ∂ g ∂ xj (x 1,…, xn) 2 d V, {\ displaystyle \ int \ lim its _ {y = g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ sqrt {\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial g} {\ partial x_ {j}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) ^ {2}}}} \, dV,}

onde a integral está sobre toda a solução (n – 1) -dimensional da equação subscrita e o dV simbólico deve ser substituído por uma parametrização desta solução para um cálculo particular; as variáveis x1, …, xn são então obviamente funções dessa parametrização.

Isso deriva da seguinte representação, talvez mais intuitiva: Suponha que x seja uma variável aleatória n-dimensional com densidade conjunta f. Se y = H (x), onde H é uma função bijetiva diferenciável, então y tem densidade g:

g (y) = f (H – 1 (y)) | det | {\ displaystyle g (\ mathbf {y}) = f {\ Big (} H ^ {- 1} (\ mathbf {y}) {\ Big)} \ left \ vert \ det \ left \ right \ vert}

com o diferencial considerado como o Jacobiano do inverso de H (.), avaliado em y.

g (y 1, y 2) = f X 1, X 2 (H 1 – 1 (y 1, y 2), H 2 – 1 (y 1, y 2)) | ∂ H 1 – 1 ∂ y 1 ∂ H 2 – 1 ∂ y 2 – ∂ H 1 – 1 ∂ y 2 ∂ H 2 – 1 ∂ y 1 | . {\ displaystyle g (y_ {1}, y_ {2}) = f_ {X_ {1}, X_ {2}} {\ big (} H_ {1} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ { 2}), H_ {2} ^ {- 1} (y_ {1}, y_ {2}) {\ big)} \ left \ vert {\ frac {\ partial H_ {1} ^ {- 1}} { \ parcial y_ {1}}} {\ frac {\ parcial H_ {2} ^ {- 1}} {\ parcial y_ {2}}} – {\ frac {\ parcial H_ {1} ^ {- 1}} {\ parcial y_ {2}}} {\ frac {\ parcial H_ {2} ^ {- 1}} {\ parcial y_ {1}}} \ direita \ vert.}

Vetor para editar escalar

f Y (y) = ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dx. {\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf { x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x}.}

Este resultado leva à Lei do estatístico inconsciente:

EY ⁡ = ∫ R yf Y (y) dy = ∫ R y ∫ R nf X (x) δ (y – V (x)) dxdy = ∫ R n ∫ R yf X (x) δ (y – V (x)) dydx = ∫ R n V (x) f X ( x) dx = EX ⁡.{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {Y} = \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {Y} (y) dy = \ int _ {\ mathbb {R}} y \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)} \, d \ mathbf {x} dy = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R}} yf_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x }) {\ big)} \, dyd \ mathbf {x} = \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {n}} V (\ mathbf {x}) f_ {X} (\ mathbf {x} ) d \ mathbf {x} = \ operatorname {E} _ {X}.}

Prova:

H (Z, X) = = {\ displaystyle H (Z, X) = {\ begin { bmatriz} Z + V (X) \\ X \ end {bmatriz}} = {\ begin {bmatrix} Y \\ {\ tilde {X}} \ end {bmatrix}}}.

É claro que H {\ displaystyle H} é um mapeamento bijetivo, e o Jacobiano de H – 1 {\ displaystyle H ^ {- 1}} é dado por:

d H – 1 (y, x ~) dydx ~ = {\ displaystyle {\ frac {dH ^ {- 1} (y, {\ tilde {\ mathbf {x}}})} {dy \, d {\ tilde {\ mathbf {x}} }}} = {\ begin {bmatrix} 1 & – {\ frac {dV ({\ tilde {\ mathbf {x}}})} {d {\ tilde {\ mathbf {x}}}}} \\\ mathbf {0} _ {n \ times 1} & \ mathbf {I} _ {n \ times n} \ end {bmatrix }}},

que é uma matriz triangular superior com uns na diagonal principal, portanto seu determinante é 1. Aplicando o teorema da mudança da variável da seção anterior, obtemos que

f Y, X (y, x) = f X (x) δ (y – V (x)) {\ displaystyle f_ {Y, X} (y, x) = f_ {X} (\ mathbf {x}) \ delta {\ big (} yV (\ mathbf {x}) {\ big)}},

que se marginalizado sobre x {\ displaystyle x} leva à função de densidade de probabilidade desejada.