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O que é distribuição de Poisson?

Uma distribuição de Poisson é uma ferramenta que ajuda a prever a probabilidade de certos eventos acontecerem quando você sabe com que frequência o evento ocorreu. Ele nos dá a probabilidade de um determinado número de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo.

Distribuições de Poisson, válidas apenas para inteiros no eixo horizontal. λ (também escrito como μ) é o número esperado de ocorrências de eventos.

Usos práticos da distribuição de Poisson

Uma loja de livros aluga uma média de 200 livros todos os sábados noite. Usando esses dados, você pode prever a probabilidade de venda de mais livros (talvez 300 ou 400) nas noites de sábado seguintes. Outro exemplo é o número de clientes em um determinado restaurante todos os dias. Se o número médio de jantares em sete dias for 500, você pode prever a probabilidade de um determinado dia ter mais clientes.

Por causa desse aplicativo, as distribuições de Poisson são usadas por empresários para fazer previsões sobre o número de clientes ou vendas em determinados dias ou épocas do ano. Nos negócios, o excesso de estoque às vezes significa perdas se os produtos não forem vendidos. Da mesma forma, ter poucos estoques ainda significaria uma oportunidade de negócio perdida porque você não foi capaz de maximizar suas vendas devido à falta de estoque. Com essa ferramenta, os empresários podem estimar o momento em que a demanda é anormalmente maior, para que possam adquirir mais estoque. Hotéis e restaurantes poderiam se preparar para um fluxo de clientes, eles poderiam contratar trabalhadores temporários extras com antecedência, comprar mais suprimentos ou fazer planos de contingência caso não pudessem acomodar seus hóspedes que chegam à área.
Com a distribuição de Poisson, as empresas podem ajustar a oferta à demanda para manter seus negócios gerando bons lucros. Além disso, evita-se o desperdício de recursos.

Calculando a distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson pmf é: P (x; μ ) = (e-μ * μx) / x!

Onde:

• O símbolo “!” é um fatorial.
• μ (o número esperado de ocorrências) às vezes é escrito como λ. Às vezes é chamado de taxa de evento ou parâmetro de taxa.

Exemplo de pergunta

O número médio de grandes tempestades em sua cidade é 2 por ano. Qual é a probabilidade de exatamente 3 tempestades atingirem sua cidade no próximo ano?

Etapa 1: descobrir os componentes de que você precisa colocados na equação.

Etapa 2: insira os valores da Etapa 1 na fórmula de distribuição de Poisson:

• P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!
• = (2,71828 – 2) (23) / 3!
• = (0,13534) (8) / 6
• = 0,180

A probabilidade de 3 tempestades acontecendo no próximo ano é 0,180, ou 18%

Como você provavelmente pode dizer, você pode calcular a distribuição de Poisson manualmente, mas isso levaria uma quantidade extraordinária de tempo a menos que você tenha um conjunto simples de dados. A maneira usual calcular uma distribuição de Poisson em situações da vida real ns é com software como IBM SPSS.

Distribuição de Poisson vs. Binomial

O exemplo acima foi simplificado demais para mostrar como resolver um problema. No entanto, pode ser desafiador descobrir se você deve usar uma distribuição binomial ou uma distribuição de Poisson. Se você não receber uma orientação específica de seu instrutor, use a seguinte orientação geral.

• Se sua pergunta tem uma probabilidade média de um evento acontecer por unidade (ou seja, por unidade de tempo, ciclo, evento) e você deseja encontrar a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um período de tempo (ou número de eventos), use a distribuição de Poisson.
• Se você receber uma probabilidade exata e quiser encontrar a probabilidade de o evento acontecer um certo número de vezes fora de x (ou seja, 10 vezes em 100 ou 99 vezes em 1000), use a fórmula de distribuição binomial.

Primos e a distribuição de Poisson

Há uma conexão entre a distribuição de Poisson distribuição e o teorema dos números primos: Intervalos curtos de números primos têm a forma aproximada de uma distribuição de Poisson.

A fórmula de distribuição de Poisson é: P (x; μ) = (e-μ) (μx) / x!

Digamos que x (como na função de contagem de primos é um número muito grande, como x = 10100. Se você escolher um número aleatório menor que ou igual ax, a probabilidade desse número ser primo é de cerca de 0,43 por cento.Além disso, se você tornar esse intervalo muito curto, com μx > 0 ej abaixo de cerca de 20, então o número de primos no intervalo segue aproximadamente uma distribuição de Poisson (Croot, 2010).

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