→ Aby uzyskać więcej samouczków matematycznych, sprawdź Math Hacks na YouTube! ←

Gdy pierwszy raz usłyszałem ten problem, siedziałem na 300-stopniowym kursie statystyki matematycznej na małym uniwersytecie w północno-zachodnim Pacyfiku. Była to klasa około 30 uczniów i profesor założył się, że przynajmniej dwoje z nas obchodziło te same urodziny.

Następnie poprosił wszystkich o podanie swoich urodzin. Kiedy przyszła moja kolej, podałem moją datę urodzenia jako „dwa, trzy, trzy”, co rozśmieszyło całą klasę, ponieważ nasz mózgowy profesor potrzebował trochę czasu, aby rozszyfrować datę.

W każdym razie tak, jak przewidział, zanim zdążył dla ostatniego ucznia znaleziono parę pasujących urodzin.

Więc jakie to szczęście, że znalazł taką samą parę?

Rozgrzewka

Założenie: dla uproszczenia zignorujemy możliwość urodzenia się 29 lutego.

Zacznijmy od prostego przykładu, aby rozgrzać nasz mózg:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie osoby mają te same urodziny?

Osoba A może urodzić się dowolnego dnia w roku, ponieważ jest pierwszą osobą, o którą prosimy. Prawdopodobieństwo urodzenia się dowolnego dnia w roku wynosi 1 lub dokładniej: 365/365.

Ponieważ osoba B musi urodzić się tego samego dnia co osoba A, ich prawdopodobieństwo wynosi 1/365.

Chcemy, aby oba te zdarzenia miały miejsce, więc pomnóż prawdopodobieństwa:

Masz więc 0,27% szansy, że podejdziesz do nieznajomej i odkryjesz, że ich urodziny są tego samego dnia co twoje. To dość szczupłe.

Ale co z większą grupą?

Jaka jest szansa, że co najmniej 2 na 4 osoby obchodzą te same urodziny?

Cóż, rozwiązać ten problem, musielibyśmy obliczyć wszystkie z poniższych:

• Prawdopodobieństwo A i B mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo A i C mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo, że A i D mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo B i C mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo B i D mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo C i D mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo A, B i C mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo B, C i D mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo A , C i D mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo A, B i D mają te same urodziny
• Prawdopodobieństwo A, B, C i D mają te same urodziny

Fuj, to dużo obliczeń! Wyobraź sobie, ile prawdopodobieństw musielibyśmy obliczyć dla klasy złożonej z 30 uczniów!

Musi być lepszy sposób…

Lepszy sposób: sztuczka uzupełnienia

Najprostszym sposobem obliczenia prawdopodobieństwa rzędu miliarda jest spojrzenie na problem z innej perspektywy:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że nikt nie obchodzi tych samych urodzin?

To alternatywne ćwiczenie jest pomocne, ponieważ jest całkowitym przeciwieństwem naszego pierwotnego problemu (tj. Uzupełnienia). Prawdopodobnie wiemy, że suma wszystkich możliwych wyników (tj. Przestrzeń próbna) jest zawsze równa 1, czyli 100% szansy.

Ponieważ prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 osoby będą miały te same urodziny i prawdopodobieństwo, że nikt nie będzie miał tych samych urodzin obejmuje wszystkie możliwe scenariusze, wiemy, że suma ich prawdopodobieństw wynosi 1.

Lub równoważnie:

Hurra! To będzie znacznie łatwiejsze do obliczenia.

Obliczenia

Super! W końcu jesteśmy gotowi, aby dowiedzieć się, jak bezpieczny zakład postawił profesor.

Obliczmy prawdopodobieństwo, że nikt nie obchodzi tych samych urodzin z 30-osobowego pokoju.

Zróbmy to krok po kroku:

• Pierwszy uczeń może urodzić się każdego dnia, więc damy mu prawdopodobieństwo 365/365.
• Następny uczeń jest teraz ograniczony do 364 możliwych dni, więc prawdopodobieństwo drugiego ucznia wynosi 364/365.
• Trzeci uczeń może urodzić się w dowolnym z pozostałych 363 dni, więc 363/365.

Ten wzorzec jest kontynuowany, więc prawdopodobieństwo naszego ostatniego ucznia wynosi 336 / 365 (365 – 29 dni, odkąd uczniowie wykorzystali 29 potencjalnych dni).

Ponownie pomnóż razem wszystkie 30 prawdopodobieństw:

Czekaj! To trochę niechlujne. Uporządkujmy to.

Ponieważ mianownik jest pomnożony przez trzydzieści 365, możemy go przepisać jako:

Użyjmy silni (symbolicznie:!), aby dokładniej oczyścić to obliczenie.

(Pamiętaj, że silnie są przydatne do mnożenia malejących liczb całkowitych dodatnich. Na przykład 5! równa się 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Używając silni, 365! równa się iloczynowi wszystkich malejących liczb całkowitych od 365 do 1. Chcemy tylko iloczynu liczb całkowitych od 365 do 336, więc podzielimy obce liczby przez podzielenie 365! autor: 335 !.

Uwaga: jeśli to myli, wypróbuj mniejszą wartość, na przykład 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Zwróć uwagę, że 3 • 2 • 1 są zarówno w liczniku, jak i w mianowniku. „Przerywają” tworząc 5! / 3! = 5 • 4.

Łącząc to wszystko, mamy teraz wyrażenie, które można łatwo wpisać w kalkulatorze naukowym:

To daje 0,294 lub 29,4% szansy, że nikt w klasie nie ma takich samych urodzin. Oczywiście chcemy uzupełnienia, więc odejmiemy go od 1, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 osoby w grupie 30 osób mają ten sam dzień urodzenia.

Okazuje się, że dla naszego profesora był to całkiem bezpieczny zakład! Miał prawie 71% szans, że co najmniej 2 z nas będzie obchodzić urodziny.

Szansa na pięćdziesiąt pięćdziesiąt

Wiele osób jest zaskoczonych, gdy powtórzy to obliczenie z grupa 23 osób nadal będzie mieć 50% szans, że co najmniej dwie osoby urodziły się tego samego dnia.

To stosunkowo niewielka grupa osób, biorąc pod uwagę, że istnieje 365 możliwych urodzin! Oznacza to, że w dowolnej grupie ponad 23 osób jest prawdopodobne, że co najmniej 2 osoby mają ten sam dzień urodzenia.

Co za szalony mały fakt!

❤ BĄDŹ W KONTAKCIE ❤

Bądź na bieżąco ze wszystkim, co robi Math Hacks!