Biografia

Ojcem Archimedesa był Phidias, astronom. Nie wiemy nic więcej o Fidiasach poza tym jednym faktem i wiemy to dopiero od tego czasu Archimedes podaje nam te informacje w jednej ze swoich prac, The Sandreckoner. Przyjaciel Archimedesa imieniem Heracleides napisał o nim biografię, ale niestety ta praca została utracona. Jak zmieniłaby się nasza wiedza o Archimedesie, gdyby to zaginione dzieło kiedykolwiek zostało znalezione, a nawet fragmenty znalezione w pismach innych osób.
Archimedes pochodził z Syrakuz na Sycylii. Niektórzy autorzy donoszą, że odwiedził Egipt i tam wynalazł urządzenie znane obecnie jako śruba Archimedesa. To pompa, nadal używana w wielu częściach świata. Jest wysoce prawdopodobne, że gdy był młodym mężczyzną, Archimedes studiował u następców Euclida w Aleksandrii. Z pewnością doskonale znał opracowaną tam matematykę, ale co czyni to przypuszczenie znacznie bardziej pewnym, znał osobiście pracujących tam matematyków i przesłał swoje wyniki do Aleksandrii z osobistymi wiadomościami. Uważał Conona z Samos, jednego z matematyków w Aleksandrii, zarówno bardzo wysoko ze względu na jego zdolności matematyczne, jak i uważał go za bliskiego przyjaciela.
W przedmowie do O spirali Archimedes opowiada zabawną historię dotyczącą swoich przyjaciół w Aleksandria. Mówi nam, że miał w zwyczaju wysyłać im oświadczenia ze swoich ostatnich twierdzeń, ale bez podawania dowodów. Najwyraźniej niektórzy matematycy twierdzili, że wyniki są własne, więc Archimedes mówi, że przy ostatniej okazji, kiedy wysyłał im twierdzenia, uwzględnił dwa fałszywe: –

… więc że ci, którzy twierdzą, że odkryli wszystko, ale nie przedstawiają na to dowodów, mogą zostać uznani za udających, że odkrywają niemożliwe.

Poza wstępami do jego dzieł, informacje o Archimedes przychodzi do nas z wielu źródeł, takich jak opowiadania Plutarcha, Liwiusza i innych. Plutarch mówi nam, że Archimedes był spokrewniony z królem Hieronem II z Syrakuz (patrz na przykład): –

Archimedes … na piśmie do króla Hiero, którego był przyjacielem i bliskim krewnym. …

Znowu dowód przynajmniej na jego przyjaźń z rodziną króla Hierona II pochodzi z faktu, że Sandreckoner był poświęcony Gelonowi, synowi króla Hierona.
W rzeczywistości w pismach tamtych czasów znajduje się całkiem sporo odniesień do Archimedesa, ponieważ w swoim czasie zyskał on reputację, którą osiągnęło niewielu innych matematyków tego okresu. Powodem tego nie było powszechne zainteresowanie nowymi ideami matematycznymi, ale raczej fakt, że Archimedes wynalazł wiele maszyn, które były używane jako silniki wojenne. Były one szczególnie skuteczne w obronie Syrakuz, kiedy zostało zaatakowane przez Rzymian pod dowództwem Marcellusa.

Plutarch w swojej pracy o Marcellusie, rzymskim dowódcy, pisze o tym, jak Archimedes użył machin wojennych przeciwko Rzymianom w oblężenie w 212 rpne: –

… kiedy Archimedes zaczął eksploatować swoje silniki, natychmiast strzelił do sił lądowych wszelkiego rodzaju bronią rakietową i ogromnymi masami kamienia, które spadali z niewiarygodnym hałasem i gwałtownością, przeciw której żaden człowiek nie mógł się ostać, bo powalili tych, na których padli, w stosach, łamiąc wszystkie ich szeregi i akta. W międzyczasie ogromne słupy wysunęły się ze ścian nad statki i zatopiły niektóre przez wielkie ciężary, które spuszczali z góry na nich; inni podnieśli w powietrze żelazną ręką lub dziobem jak dziób żurawia, a kiedy wyciągnęli je za dziób i postawili na końcu kupa, wrzucili je na dno morza; albo statki, ciągnięte przez silniki wewnątrz i wirujące wokół, uderzały o strome skały sterczące pod ścianami, powodując wielkie zniszczenie żołnierzy, którzy byli na ich pokładzie. Statek często był podnoszony na dużą wysokość w powietrze (straszna rzecz do oglądania) i był toczony tam iz powrotem, i kołysał się, aż wszyscy marynarze zostali wyrzuceni, kiedy w końcu roztrzaskał się o skały, lub upaść.

Archimedes został przekonany przez swojego przyjaciela i krewnego króla Hierona do zbudowania takich maszyn: –

Te maszyny zaprojektowały i wymyślone nie jako sprawy o jakimkolwiek znaczeniu, ale jako zwykłe rozrywki w geometrii; w zgodzie z pragnieniem i prośbą króla Hiero, jakiś czas wcześniej, aby ograniczył się do praktykowania jakiejś części swoich godnych podziwu spekulacji w nauce i dostosowując teoretyczną prawdę do odczuć i zwykłego użycia, przybliżył ją bardziej do zrozumienia ludzi w ogóle.

Może to smutne, że ludzie tamtych czasów docenili machiny wojenne w sposób, w jaki nie była to matematyka teoretyczna, ale należałoby zauważyć, że świat nie jest zbyt inne miejsce pod koniec drugiego tysiąclecia naszej ery. Inne wynalazki Archimedesa, takie jak koło pasowe złożone, również przyniosły mu wielką sławę wśród współczesnych. Ponownie cytujemy Plutarcha: –

stwierdził, że biorąc pod uwagę siłę, każdy ciężar może zostać przesunięty, a nawet chwalił się, opierając się na sile demonstracji, że jeśli były inną ziemią, wchodząc do niej, mógł to usunąć. Hiero, zdumiony tym i błagając go, by naprawił ten problem przez rzeczywisty eksperyment i pokazał jakąś wielką wagę przenoszoną przez mały silnik, odpowiednio zamocował na statku ciężarowym z arsenału króla, który nie mógł być wyciągniętym z doku bez wielkiego wysiłku i wielu ludzi; i ładując ją wieloma pasażerami i pełnym ładunkiem, siedząc samemu daleko, bez większego wysiłku, ale tylko trzymając główkę bloczka w dłoni i rysując stopniami narysował statek w linii prostej, tak gładko i równo, jakby był na morzu.

Jednak Archimedes, chociaż zdobył sławę dzięki swoim wynalazkom mechanicznym , uważał, że czysta matematyka jest jedynym godnym zajęciem. Ponownie Plutarch pięknie opisuje postawę Archimedesa, ale później zobaczymy, że Archimedes faktycznie użył kilku bardzo praktycznych metod, aby odkryć wyniki z czystej geometrii: –

Archimedes posiadał tak wysoką a duch, tak głęboka dusza, i takie skarby wiedzy naukowej, że chociaż te wynalazki przyniosły mu teraz sławę bardziej niż ludzką mądrość, nie raczył jednak zostawić za sobą żadnego komentarza ani pisma na takie tematy; ale odrzucając jako podłe i niecne, cały handel inżynierią i wszelką sztuką, która nadaje się tylko do użytku i zysku, całą swoją miłość i ambicję umieścił w tych czystszych spekulacjach, w których nie ma odniesienia do wulgarnych potrzeb życia ; studia, których wyższość nad wszystkimi innymi jest niekwestionowana i w których jedyną wątpliwością może być to, czy piękno i wielkość badanych przedmiotów, precyzja i przekonanie metod i środków dowodowych, najbardziej zasługują na nasz podziw.

Plutarch pięknie opisuje jego fascynację geometrią: –

Często słudzy Archimedesa zabierali go wbrew jego woli do kąpieli, do mycia i namaszczania on, a jednak będąc tam, zawsze rysowałby z figur geometrycznych, nawet w samym żarze komina. I kiedy namaszczali go olejkami i słodkimi aromatami, palcami rysował linie na nagim ciele , do tej pory został zabrany samemu sobie i wprowadzony w ekstazę lub trans, z zachwytem, jaki miał podczas studiowania geometrii.

Osiągnięcia Archimedesa są dość wybitne. Uważa się go przez większość historyków matematyki jako jeden z największych matematyków wszechczasów . Udoskonalił metodę integracji, która pozwoliła mu znaleźć obszary, objętości i pola powierzchni wielu ciał. Chasles powiedział, że Archimedes „praca nad integracją (patrz): –

… dała początek rachunku nieskończoności wymyślonemu i doprowadzonym do perfekcji przez Keplera, Cavalieriego, Fermata, Leibniza i Newton.

Archimedes był w stanie zastosować metodę wyczerpania, która jest wczesną formą integracji, w celu uzyskania całego szeregu ważnych wyników. Niektóre z nich wymieniamy w opisach swoje prace poniżej. Archimedes podał również dokładne przybliżenie do π i pokazał, że potrafi dokładnie przybliżać pierwiastki kwadratowe. Wynalazł system wyrażania dużych liczb. W mechanice Archimedes odkrył podstawowe twierdzenia dotyczące środka ciężkości płaskich figur i ciał stałych. Jego najbardziej słynne twierdzenie podaje ciężar ciała zanurzonego w cieczy, zwany zasadą Archimedesa.

Dzieła Archimedesa, które przetrwały, są następujące. Równowagi płaskie (dwie książki), Kwadratura paraboli, Na kuli i cylindrze (dwie książki), Na spiralach, Na konoidach i sferoidach, Na pływających ciałach (dwie książki), Pomiar koła i The Sandreckoner. Latem 1906 roku, JL Heiberg, profesor filologii klasycznej na Uniwersytecie w Kopenhadze, odkrył rękopis z X wieku, który zawierał pracę Archimedesa Metoda. To daje niezwykły wgląd w to, jak Archimedes odkrył wiele swoich wyników i omówimy to poniżej, gdy podaliśmy dalsze szczegóły tego, co znajduje się w zachowanych księgach.
Kolejność, w jakiej Archimedes pisał swoje dzieła, nie jest pewna.Użyliśmy porządku chronologicznego zasugerowanego przez Heatha przy wymienianiu tych prac powyżej, z wyjątkiem metody, którą Heath umieścił bezpośrednio przed kulą i cylindrem. Artykuł analizuje argumenty przemawiające za odmiennym porządkiem chronologicznym prac Archimedesa.
Traktat O równowagach płaszczyznowych przedstawia podstawowe zasady mechaniki przy użyciu metod geometrii. Archimedes odkrył podstawowe twierdzenia dotyczące środka ciężkości figur płaskich i są one podane w tej pracy. W szczególności znajduje on w księdze 1 środek ciężkości równoległoboku, trójkąta i trapezu. Druga księga jest całkowicie poświęcona znalezieniu środka ciężkości fragmentu paraboli. Kwadratura paraboli Archimedes znajduje obszar odcinka paraboli odcięty przez dowolny akord.
W pierwszej książce O kuli i cylindrze Archimedes pokazuje, że powierzchnia kuli jest czterokrotnie większa od powierzchni wielkiego koła , znajduje pole dowolnego segmentu kuli, pokazuje, że objętość kuli jest równa 2/3 objętości opisanego cylindra, a powierzchnia kuli jest 2/3 powierzchni opisanego cylindra, ludowanie jego podstaw. Dobra dyskusja na temat tego, w jaki sposób Archimedes mógł zostać doprowadzony do niektórych z tych wyników przy użyciu nieskończenie małych, znajduje się w. W drugiej książce tej pracy Archimedes „najważniejszym rezultatem jest pokazanie, jak przeciąć daną kulę płaszczyzną tak, aby stosunek objętości dwóch segmentów miał określony stosunek.
W Na spirali Archimedes definiuje spiralę , podaje podstawowe właściwości łączące długość wektora promienia z kątami, o które się on obracał. Podaje wyniki na stycznych do spirali oraz wyznaczenie pola powierzchni odcinków spirali. W pracy O konoidach i sferoidach Archimedes bada paraboloidy obrotu, hiperboloidy obrotu i sferoidy otrzymane przez obrót elipsy wokół jej większej lub mniejszej osi. Głównym celem pracy jest zbadanie objętości segmentów tych trójwymiarowych figur. Niektórzy twierdzą, że istnieje brak rygoru w niektórych wynikach tej pracy, ale interesująca dyskusja przypisuje to współczesnej rekonstrukcji.

O pływających ciałach to praca, w której Archimedes kładzie ba sic zasady hydrostatyki. Jego najsłynniejsze twierdzenie, które podaje ciężar ciała zanurzonego w cieczy, zwane zasadą Archimedesa, jest zawarte w tej pracy. Badał również stabilność różnych ciał pływających o różnych kształtach i różnych ciężarach właściwych. W pomiarze koła Archimedes pokazuje, że dokładna wartość π znajduje się między wartościami 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 i 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371. Uzyskał to, opisując i wpisując okrąg z regularnymi wielokątami o 96 bokach.
Sandreckoner to niezwykłe dzieło, w którym Archimedes proponuje system liczbowy zdolny do wyrażania liczb do 8 × 10638 \ times 10 ^ {63} 8 × 1063 we współczesnej notacji. praca, że ta liczba jest wystarczająco duża, aby policzyć liczbę ziaren piasku, które można zmieścić we wszechświecie. Istnieją również ważne uwagi historyczne w tej pracy, ponieważ Archimedes musi podać wymiary wszechświata, aby móc policzyć liczbę ziaren piasku whi ch to może zawierać. Stwierdza, że Arystarch zaproponował układ ze słońcem w środku i planetami, w tym Ziemią, obracającymi się wokół niego. Cytując wyniki dotyczące wymiarów, podaje wyniki należne Eudoksosowi, Fidiaszowi (jego ojcu) i Arystarchowi. Istnieją inne źródła, które wspominają o pracy Archimedesa nad odległościami do ciał niebieskich. Na przykład w Osborne rekonstruuje i omawia: –

… teorię odległości ciał niebieskich przypisaną Archimedesowi, ale uszkodzony stan cyfr w jedynym zachowanym rękopisie oznacza, że materiał jest trudny w obsłudze.

W Metodzie Archimedes opisał sposób, w jaki odkrył wiele z jego wyniki geometryczne (patrz): –

… pewne rzeczy stały się dla mnie najpierw jasne metodą mechaniczną, chociaż później musiały zostać udowodnione przez geometrię, ponieważ ich badanie przez wspomniany metoda nie dostarczyła rzeczywistego dowodu. Ale oczywiście łatwiej jest, gdy już uzyskaliśmy za pomocą metody pewną wiedzę na temat pytań, aby dostarczyć dowód, niż znaleźć go bez żadnej wcześniejszej wiedzy.

Być może błyskotliwość wyników geometrycznych Archimedesa jest st podsumował Plutarch, który pisze: –

Nie we wszystkich geometriach można znaleźć trudniejsze i bardziej zawiłe pytania, czy bardziej proste i przejrzyste wyjaśnienia. Niektórzy przypisują to jego naturalnemu geniuszowi; podczas gdy inni myślą, że niesamowity wysiłek i trud przyniosły te pozornie łatwe i niewytłumaczalne rezultaty.Żadne z twoich dochodzeń nie pomogłoby w uzyskaniu dowodu, a jednak gdy już go zobaczysz, od razu uwierzysz, że go odkryłeś; tak płynną i szybką ścieżką prowadzi cię do wymaganego wniosku.

Heath dodaje swoją opinię o jakości pracy Archimedesa: –

Traktaty są bez wyjątku pomnikami matematycznego wykładu; stopniowe ujawnianie planu ataku, mistrzowskie uporządkowanie twierdzeń, surowa eliminacja wszystkiego, co nie jest bezpośrednio związane z celem, zakończenie całości, są tak imponujące w swojej doskonałości, że wywołują w umyśle czytelnika uczucie zbliżone do podziwu.

Istnieją odniesienia do innych dzieł Archimedesa, które są teraz zagubione. Pappus odnosi się do dzieła Archimedesa na temat pół-regularnych wielościanów, sam Archimedes odnosi się do pracy nad systemem liczbowym, który zaproponował w Sandreckoner, Pappus wspomina o traktacie o balansach i dźwigniach, a Theon wspomina o traktacie Archimedesa o lustrach. omówione w, ale dowody nie są pełne bardzo przekonujące.
Archimedes został zabity w 212 rpne podczas zdobywania Syrakuz przez Rzymian w drugiej wojnie punickiej, po tym, jak wszystkie jego wysiłki, aby powstrzymać Rzymian za pomocą maszyn wojennych, zawiodły. Plutarch przytacza trzy wersje historii swojego zabójstwa, które do niego dotarły. Pierwsza wersja: –

Archimedes … był … zgodnie z przeznaczeniem, zamierzał rozwiązać jakiś problem za pomocą diagramu i naprawić swój umysł i swój Patrząc na przedmiot swoich spekulacji, nigdy nie zauważył wtargnięcia Rzymian ani zdobycia miasta. W tym transporcie studiów i kontemplacji żołnierz, niespodziewanie podszedł do niego, rozkazał mu iść do Marcellusa; czego odmówił, zanim rozwiązał swój problem na demonstrację, wściekły żołnierz wyciągnął miecz i przebił go.

Druga wersja: –

… rzymski żołnierz, biegnący na niego z wyciągniętym mieczem, zaproponował, że go zabije; a Archimedes, patrząc wstecz, usilnie błagał go, aby trzymał go na chwilę za rękę, aby nie zostawił tego, co wtedy pracował, bez rozstrzygnięcia i niedoskonałości; ale żołnierz, nic poruszonego jego błaganiem, natychmiast go zabił.

Wreszcie trzecia wersja, którą Plutarch usłyszał: –

. … kiedy Archimedes niósł do Marcellusa matematyczne instrumenty, tarcze, kule i kąty, według których można było zmierzyć jasność słońca, niektórzy żołnierze go zobaczyli i myśleli, że niósł złoto w statku, zabili go.

Archimedes uważał, że jego najważniejszymi osiągnięciami były te dotyczące cylindra otaczającego sferę i poprosił o przedstawienie tego wraz z jego wynikiem w stosunku tych dwóch do wpisania jego grób. Cyceron był na Sycylii w 75 rpne i pisze, jak szukał grobowca Archimedesa (patrz na przykład): –

… i znalazł go otoczonego dookoła i pokrytego jeżynami i zaroślami ; Przypomniałem sobie bowiem, jak słyszałem, na jego grobie wyryte, jak słyszałem, pewne psie wiersze, które głosiły, że na jego grobie umieszczono kulę wraz z cylindrem. W związku z tym, po dokładnym rozejrzeniu się dookoła … zauważyłem niewielką kolumnę wyrastającą nieco ponad krzakami, na której znajdowała się postać kuli i cylindra …. Przysłano niewolników z sierpami… a kiedy przejście do tego miejsca zostało otwarte, podeszliśmy do piedestału przed nami; epigram był możliwy do prześledzenia z mniej więcej połową linii czytelnych, ponieważ druga część została wytarta.

Być może jest zaskakujące, że prace matematyczne Archimedesa były stosunkowo mało znane bezpośrednio po jego śmierci . Jak pisze Clagett w: –

W przeciwieństwie do elementów Euklidesa, dzieła Archimedesa nie były szeroko znane w starożytności. … Prawdą jest, że … poszczególne prace Archimedesa były oczywiście badane w Aleksandrii, ponieważ Archimedes był często cytowany przez trzech wybitnych matematyków z Aleksandrii: Herona, Pappusa i Theona.

Dopiero po wydaniu przez Eutociusza niektórych prac Archimedesa z komentarzami, w VI wieku naszej ery, niezwykłe traktaty stały się szerzej znane. Na koniec warto zauważyć, że testem używanym dzisiaj do określenia, jak bliskie oryginalnemu tekstowi są różne wersje jego traktatów Archimedesa, jest ustalenie, czy zachowały one dialekt archimedesa „dorycki”.