Biografie

Archimedes “vader was Phidias, een astronoom. We weten niets anders over Phidias dan dit ene feit en we weten dit pas sinds Archimedes geeft ons deze informatie in een van zijn werken, The Sandreckoner. Een vriend van Archimedes genaamd Heracleides schreef een biografie van hem, maar helaas is dit werk verloren. Hoe onze kennis van Archimedes zou worden getransformeerd als dit verloren werk ooit zou worden gevonden, of zelfs uittreksels gevonden in het schrijven van anderen.
Archimedes was een inwoner van Syracuse, Sicilië. Volgens sommige auteurs heeft hij Egypte bezocht en daar een apparaat uitgevonden dat nu bekend staat als de schroef van Archimedes. Dit is een pomp die in veel delen van de wereld nog steeds wordt gebruikt. Het is zeer waarschijnlijk dat Archimedes, toen hij een jonge man was, studeerde bij de opvolgers van Euclides in Alexandrië. Hij was zeker volledig bekend met de wiskunde die daar werd ontwikkeld, maar wat dit vermoeden veel zekerder maakt, was dat hij persoonlijk de wiskundigen kende die daar werkten en hij stuurde zijn resultaten met persoonlijke berichten naar Alexandrië. Hij beschouwde Conon van Samos, een van de wiskundigen in Alexandrië, zeer hoog vanwege zijn kwaliteiten als wiskundige en hij beschouwde hem ook als een goede vriend.
In het voorwoord van On spirals vertelt Archimedes een grappig verhaal over zijn vrienden in Alexandrië. Hij vertelt ons dat hij de gewoonte had hun verklaringen van zijn laatste stellingen te sturen, maar zonder bewijzen te leveren. Blijkbaar hadden enkele van de wiskundigen daar de resultaten geclaimd als hun eigen resultaten, dus Archimedes zegt dat hij er bij de laatste keer dat hij ze stuurde twee stellingen had toegevoegd die onjuist waren: –

… dus dat degenen die beweren alles te ontdekken, maar daarvan geen bewijzen leveren, kunnen worden verweten dat ze hebben gedaan alsof ze het onmogelijke hebben ontdekt.

Behalve in de voorwoorden van zijn werken, informatie over Archimedes komt naar ons toe uit een aantal bronnen, zoals in verhalen van Plutarchus, Livius en anderen. Plutarchus vertelt ons dat Archimedes verwant was aan koning Hieron II van Syracuse (zie bijvoorbeeld): –

Archimedes … schriftelijk aan koning Hiero, wiens vriend en naaste verwant hij was. …

Nogmaals bewijs van zijn vriendschap met de familie van koning Hieron II komt voort uit het feit dat The Sandreckoner was opgedragen aan Gelon, de zoon van koning Hieron.
Er zijn in feite nogal wat verwijzingen naar Archimedes in de geschriften van die tijd, want hij had in zijn eigen tijd een reputatie opgebouwd die maar weinig andere wiskundigen uit deze periode bereikten. De reden hiervoor was niet een wijdverbreide interesse in nieuwe wiskundige ideeën, maar eerder dat Archimedes veel machines had uitgevonden die als oorlogsmachines werden gebruikt. Deze waren bijzonder effectief bij de verdediging van Syracuse toen het werd aangevallen door de Romeinen onder het bevel van Marcellus.

Plutarchus schrijft in zijn werk over Marcellus, de Romeinse bevelhebber, over hoe Archimedes ‘oorlogsmotoren werden gebruikt tegen de Romeinen in de belegering van 212 v.Chr .: –

… toen Archimedes zijn motoren begon te gebruiken, schoot hij onmiddellijk allerlei raketwapens tegen de landmacht en enorme massa’s steen die kwam neer met ongelooflijk lawaai en geweld; waartegen niemand kon staan; want ze sloegen degenen op wie ze in hopen vielen, waarbij ze al hun rijen en dossiers braken.In de tussentijd staken enorme palen uit de muren over de schepen door grote gewichten die ze van bovenaf op hen lieten neerkomen; anderen tilden ze de lucht in met een ijzeren hand of snavel als de bek van een kraanvogel en, toen ze ze bij de boeg hadden opgetrokken, en de kak, ze stortten ze op de bodem van de zee; of anders werden de schepen, voortgetrokken door motoren naar binnen en rondgedraaid, tegen steile rotsen geslagen die onder de muren uitstaken, met grote vernietiging van de soldaten die aan boord waren. Een schip werd dikwijls tot een grote hoogte in de lucht gehesen (een vreselijk iets om te zien), en werd heen en weer gerold, en bleef slingeren, totdat de zeelieden allemaal eruit werden gegooid, en uiteindelijk tegen de rotsen werd geslagen, of laten vallen.

Archimedes was door zijn vriend en relatie koning Hieron overgehaald om dergelijke machines te bouwen: –

Deze machines hadden ontworpen en bedacht, niet als zaken van enig belang, maar als louter amusement in de meetkunde; in overeenstemming met de wens en het verzoek van koning Hiero, enige tijd daarvoor, dat hij zou verminderen om een deel van zijn bewonderenswaardige speculatie in de wetenschap in praktijk te brengen, en door de theoretische waarheid aan te passen aan gevoel en normaal gebruik, het meer binnen de waardering van de mensen in het algemeen.

Misschien is het triest dat oorlogsmotoren werden gewaardeerd door de mensen van deze tijd op een manier die theoretische wiskunde niet was, maar je zou moeten opmerken dat de wereld niet een erg andere plaats aan het einde van het tweede millennium na Christus. Andere uitvindingen van Archimedes, zoals de samengestelde katrol, brachten hem ook grote bekendheid onder zijn tijdgenoten. Opnieuw citeren we Plutarchus: –

had verklaard dat gegeven de kracht, elk gegeven gewicht zou kunnen worden verplaatst, en zelfs zou opscheppen, wordt ons verteld, vertrouwend op de kracht van demonstratie, dat als er waren een andere aarde, door erin te gaan kon hij deze verwijderen. Hiero verbaasd over dit, en hem smekend om dit probleem op te lossen door een werkelijk experiment, en een groot gewicht te laten zien dat door een kleine motor werd bewogen, vestigde hij zich dienovereenkomstig op een lastschip uit het arsenaal van de koning, dat niet kon zonder veel moeite en veel mannen uit het dok worden getrokken; en haar met veel passagiers en een volle vracht beladen, terwijl hij een tijdje ver weg zat, zonder veel moeite, maar alleen de kop van de katrol in zijn hand hield en de koorden geleidelijk aan, trok hij het schip in een rechte lijn, zo soepel en gelijkmatig alsof het in de zee was geweest.

Toch Archimedes, hoewel hij beroemd werd door zijn mechanische uitvindingen , geloofde dat zuivere wiskunde de enige waardige bezigheid was. Plutarchus beschrijft wederom prachtig de houding van Archimedes, maar we zullen later zien dat Archimedes inderdaad enkele zeer praktische methoden gebruikte om resultaten van zuivere meetkunde te ontdekken: –

Archimedes bezat zo’n hoge a geest, zo’n diepe ziel en zulke schatten aan wetenschappelijke kennis, dat hoewel deze uitvindingen hem nu de bekendheid van meer dan menselijke scherpzinnigheid hadden bezorgd, hij zich toch niet verwaardigde commentaar of schrijven over dergelijke onderwerpen achter te laten; maar omdat hij het hele vak van techniek en elke soort kunst die zich louter voor louter gebruik en winst leende als smerig en onwaardig verwerpend, plaatste hij zijn hele genegenheid en ambitie in die zuiverdere speculaties waarin er geen verwijzing kan zijn naar de vulgaire behoeften van het leven ; studies, waarvan de superioriteit ten opzichte van alle andere onbetwistbaar is, en waarbij de enige twijfel kan zijn of de schoonheid en grootsheid van de onderzochte onderwerpen, de precisie en overtuigingskracht van de methoden en bewijsmiddelen het meest onze bewondering verdienen. id = “9e04897abd”> Zijn fascinatie voor geometrie wordt prachtig beschreven door Plutarchus: –

Vaak brachten Archimedes “bedienden hem tegen zijn wil naar de baden, om zich te wassen en te zalven hem, en toch daar, zou hij ooit uit de geometrische figuren tekenen, zelfs in de sintels van de schoorsteen. En terwijl ze hem met olie en zoete smaken zouden zalven, trok hij met zijn vingers lijnen op zijn naakte lichaam , werd hij tot dusver bij zichzelf weggenomen en in extase of trance gebracht, met het plezier dat hij had in de studie van meetkunde.

De prestaties van Archimedes zijn vrij opmerkelijk. Hij wordt beschouwd als door de meeste wiskundehistorici als een van de grootste wiskundigen aller tijdenHij perfectioneerde een integratiemethode waarmee hij gebieden, volumes en oppervlaktes van vele lichamen kon vinden. Chasles zei dat Archimedes “werkt aan integratie (zie): –

… de calculus van het oneindige heeft voortgebracht, bedacht en tot perfectie gebracht door Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz en Newton.

Archimedes was in staat om de methode van uitputting toe te passen, wat de vroege vorm van integratie is, om een hele reeks belangrijke resultaten te verkrijgen en we noemen er enkele in de beschrijvingen van zijn werken hieronder. Archimedes gaf ook een nauwkeurige benadering van π en toonde aan dat hij vierkantswortels nauwkeurig kon benaderen. Hij vond een systeem uit om grote getallen uit te drukken. In de mechanica ontdekte Archimedes fundamentele stellingen over het zwaartepunt van vlakke figuren en lichamen. beroemde stelling geeft het gewicht van een lichaam ondergedompeld in een vloeistof, het zogenaamde Archimedes-principe.
De werken van Archimedes die bewaard zijn gebleven, zijn als volgt. Over vlakke evenwichten (twee boeken), Kwadratuur van de parabool, Over de bol en cilinder (twee boeken), Over spiralen, Over conoïden en sferoïden, Op drijvende lichamen (twee boeken), Meting van een cirkel en The Sandreckoner. In de zomer van 1906 ontdekte JL Heiberg, hoogleraar klassieke filologie aan de Universiteit van Kopenhagen, een 10e-eeuws manuscript dat Archimedes ‘werk De methode bevatte. Dit geeft een opmerkelijk inzicht in hoe Archimedes veel van zijn resultaten ontdekte en we zullen dit bespreken. hieronder hebben we eenmaal meer details gegeven over wat er in de overgebleven boeken staat.
De volgorde waarin Archimedes zijn werken schreef is niet zeker bekend.We hebben de door Heath voorgestelde chronologische volgorde gebruikt bij het opsommen van deze werken hierboven, met uitzondering van The Method die Heath onmiddellijk daarvoor op de bol en cilinder heeft geplaatst. Het artikel behandelt argumenten voor een andere chronologische volgorde van Archimedes ‘werken.
De verhandeling On plane equilibriums zet de fundamentele principes van de mechanica uiteen, gebruikmakend van de meetkundemethoden. Archimedes ontdekte fundamentele stellingen over het zwaartepunt van vlakke figuren en deze worden in dit werk gegeven. In het bijzonder vindt hij in boek 1 het zwaartepunt van een parallellogram, een driehoek en een trapezium. Boek twee is geheel gewijd aan het vinden van het zwaartepunt van een segment van een parabool. de kwadratuur van de parabool Archimedes vindt de oppervlakte van een segment van een parabool afgesneden door een akkoord.
In het eerste boek van Over de bol en cilinder laat Archimedes zien dat het oppervlak van een bol vier keer zo groot is als dat van een grootcirkel , hij vindt de oppervlakte van een willekeurig segment van een bol, hij laat zien dat het volume van een bol tweederde is van het volume van een omgeschreven cilinder en dat het oppervlak van een bol tweederde van het oppervlak van een omgeschreven cilinder is. ludeert zijn bases. Een goede bespreking van hoe Archimedes mogelijk tot enkele van deze resultaten is geleid met behulp van infinitesimalen, wordt gegeven in. In het tweede boek van dit werk is Archimedes “het belangrijkste resultaat om te laten zien hoe je een bepaalde bol door een vlak snijdt, zodat de verhouding van de volumes van de twee segmenten een voorgeschreven verhouding heeft.
In On spirals definieert Archimedes een spiraal , geeft hij fundamentele eigenschappen die de lengte van de straalvector verbinden met de hoeken waardoor deze is gedraaid. Hij geeft resultaten over raaklijnen aan de spiraal en het vinden van de oppervlakte van delen van de spiraal. In het werk Over conoïden en sferoïden onderzoekt Archimedes paraboloïden van revolutie, hyperboloïden van revolutie en sferoïden die worden verkregen door een ellips te roteren om zijn hoofdas of om zijn secundaire as. Het belangrijkste doel van het werk is om het volume van segmenten van deze driedimensionale figuren te onderzoeken. een gebrek aan nauwkeurigheid in bepaalde resultaten van dit werk, maar de interessante discussie schrijft dit toe aan een moderne reconstructie.
Over drijvende lichamen is een werk waarin Archimedes de ba sic principes van hydrostatica. Zijn beroemdste stelling die het gewicht geeft van een lichaam dat is ondergedompeld in een vloeistof, het zogenaamde Archimedes-principe, is vervat in dit werk. Hij bestudeerde ook de stabiliteit van verschillende drijvende lichamen met verschillende vormen en verschillende specifieke zwaartekrachten. In Measurement of the Circle Archimedes laat zien dat de exacte waarde van π tussen de waarden 310713 \ groot \ frac {10} {71} \ normalsize37110 en 3173 \ groot \ frac {1} {7} \ normalsize371 ligt. Dit bekomt hij door een cirkel te omschrijven en te schrijven met regelmatige polygonen met 96 zijden.
De Sandreckoner is een opmerkelijk werk waarin Archimedes een getalsysteem voorstelt dat getallen tot 8 × 10638 \ maal 10 ^ {63} 8 × 1063 in moderne notatie kan uitdrukken. Hij beargumenteert hierin werk dat dit aantal groot genoeg is om het aantal zandkorrels te tellen dat in het universum past. Er zijn ook belangrijke historische opmerkingen in dit werk, want Archimedes moet de afmetingen van het universum geven om het aantal te kunnen tellen van zandkorrels whi ch het zou kunnen bevatten. Hij stelt dat Aristarchus een systeem heeft voorgesteld met de zon in het midden en de planeten, inclusief de aarde, die eromheen draaien. Bij het citeren van resultaten over de dimensies noemt hij resultaten die te wijten zijn aan Eudoxus, Phidias (zijn vader) en aan Aristarchus. Er zijn andere bronnen die Archimedes noemen “werk aan afstanden tot de hemellichamen. Bijvoorbeeld in Osborne reconstrueert en bespreekt hij: –

… een theorie van de afstanden van de hemellichamen die worden toegeschreven naar Archimedes, maar de corrupte staat van de cijfers in het enige overgebleven manuscript betekent dat het materiaal moeilijk te hanteren is.

In de methode beschreef Archimedes de manier waarop hij veel van zijn geometrische resultaten (zie): –

… bepaalde dingen werden me eerst duidelijk door een mechanische methode, hoewel ze later door geometrie moesten worden bewezen omdat hun onderzoek door de genoemde de methode leverde geen feitelijk bewijs. Maar het is natuurlijk gemakkelijker, wanneer we eerder, door de methode, enige kennis van de vragen hebben verworven, om het bewijs te leveren dan het te vinden zonder enige voorafgaande kennis.

Misschien is de schittering van de geometrische resultaten van Archimedes s samengevat door Plutarchus, die schrijft: –

Het is niet mogelijk om in alle geometrie moeilijkere en ingewikkelde vragen te vinden, of eenvoudigere en helderdere verklaringen. Sommigen schrijven dit toe aan zijn natuurlijke genialiteit; terwijl anderen denken dat ongelooflijke inspanning en zwoegen deze, naar alle schijn, gemakkelijke en onbewerkte resultaten hebben opgeleverd.Geen enkel onderzoek van u zou erin slagen het bewijs te verkrijgen, en toch, eenmaal gezien, gelooft u onmiddellijk dat u het ontdekt zou hebben; door een zo vlot en zo snel pad leidt hij je naar de vereiste conclusie.

Heath voegt zijn mening toe over de kwaliteit van het werk van Archimedes “: –

De verhandelingen zijn, zonder uitzondering, monumenten van wiskundige uiteenzettingen; de geleidelijke onthulling van het aanvalsplan, de meesterlijke ordening van de stellingen, de strenge eliminatie van alles wat niet onmiddellijk relevant is voor het doel, de afwerking van het geheel, zijn zo indrukwekkend in hun perfectie dat ze een gevoel creëren dat lijkt op ontzag in de geest van de lezer.

Er zijn verwijzingen naar andere werken van Archimedes die nu verloren zijn gegaan. Pappus verwijst naar een werk door Archimedes over semi-regelmatige veelvlakken, Archimedes zelf verwijst naar een werk over het getalsysteem dat hij voorstelde in de Sandreckoner, Pappus noemt een verhandeling over balansen en hefbomen, en Theon noemt een verhandeling van Archimedes over spiegels. Bewijs voor verder verloren werken zijn besproken, maar het bewijs is niet totaal en overtuigend.
Archimedes werd in 212 voor Christus gedood tijdens de verovering van Syracuse door de Romeinen in de Tweede Punische Oorlog, nadat al zijn pogingen om de Romeinen op afstand te houden met zijn oorlogsmachines waren mislukt. Plutarchus vertelt drie versies van het verhaal van zijn moord dat hem was overkomen. De eerste versie: –

Archimedes … was …, zoals het lot het zou hebben, met de bedoeling een probleem op te lossen door middel van een diagram, en zijn geest en zijn ogen gericht op het onderwerp van zijn speculatie, merkte hij nooit de inval van de Romeinen op, noch dat de stad werd ingenomen. In dit transport van studie en contemplatie beval een soldaat, die onverwachts op hem afkwam, hem Marcellus te volgen; wat hij weigerde te doen voordat hij zijn probleem tot een demonstratie had uitgewerkt, de soldaat, woedend, trok zijn zwaard en haalde hem erdoor.

De tweede versie: –

… een Romeinse soldaat, die op hem af kwam rennen met een getrokken zwaard, bood aan hem te doden; en dat Archimedes, terugkijkend, hem ernstig smeekte zijn hand een poosje vast te houden, opdat hij datgene waaraan hij toen aan het werk was, niet onduidelijk en onvolmaakt zou laten; maar de soldaat, niets bewogen door zijn smeekbede, doodde hem onmiddellijk.

Eindelijk, de derde versie die Plutarchus had gehoord: –

. … terwijl Archimedes wiskundige instrumenten, wijzerplaten, bollen en hoeken naar Marcellus droeg, waarmee de grootte van de zon kon worden afgemeten aan de aanblik, terwijl sommige soldaten hem zagen en dachten dat hij goud in een vat droeg, doodden ze hem.

Archimedes was van mening dat zijn belangrijkste prestaties die waren met betrekking tot een cilinder die een bol omschrijft, en hij vroeg om een weergave hiervan samen met zijn resultaat over de verhouding van de twee, om op te schrijven zijn tombe. Cicero was in 75 v.Chr. Op Sicilië en hij schrijft hoe hij naar het graf van Archimedes zocht (zie bijvoorbeeld): –

… en vond het rondom ingesloten en bedekt met braamstruiken en struikgewas ; want ik herinnerde me bepaalde rijmelarijen die, zoals ik had gehoord, op zijn graf waren gegraveerd, waarin stond dat een bol samen met een cilinder bovenop zijn graf was geplaatst. Dienovereenkomstig, na goed rond te hebben gekeken …, zag ik een kleine kolom iets boven de struiken opkomen, waarop een figuur van een bol en een cilinder stond …. Slaven werden met sikkels naar binnen gestuurd … en toen een doorgang naar de plaats werd geopend, naderden we het voetstuk voor ons; het epigram was traceerbaar met ongeveer de helft van de regels leesbaar, aangezien het laatste gedeelte was weggesleten.

Het is misschien verrassend dat de wiskundige werken van Archimedes onmiddellijk na zijn dood relatief weinig bekend waren . Zoals Clagett schrijft in: –

In tegenstelling tot de Elementen van Euclides waren de werken van Archimedes in de oudheid niet algemeen bekend. … Het is waar dat … individuele werken van Archimedes duidelijk werden bestudeerd in Alexandrië, aangezien Archimedes vaak werd geciteerd door drie vooraanstaande wiskundigen uit Alexandrië: Heron, Pappus en Theon.

Pas nadat Eutocius edities van enkele werken van Archimedes, met commentaren, uitbracht in de zesde eeuw na Christus, werden de opmerkelijke verhandelingen breder bekend. Ten slotte is het de moeite waard om op te merken dat de test die tegenwoordig wordt gebruikt om te bepalen hoe dicht de verschillende versies van zijn verhandelingen van Archimedes bij de originele tekst staan, is om te bepalen of ze het Dorische dialect van Archimedes hebben behouden.