→ Voor meer wiskundelessen, ga naar wiskundige hacks op YouTube! ←

De eerste keer dat ik dit probleem hoorde, zat ik op een 300-niveau Mathematical Statistics cursus aan een kleine universiteit in het Pacific Northwest. Het was een klas van ongeveer 30 studenten en de professor wedde dat tenminste twee van ons dezelfde verjaardag deelden.

Vervolgens liet hij iedereen zijn verjaardag noemen. Toen ik aan de beurt was, vermeldde ik mijn geboortedatum als ‘twee blokjes, drie blokjes’, wat de klas aan het lachen maakte toen onze cerebrale professor even de tijd nam om de datum te ontcijferen.

Hoe dan ook, zoals hij voorspelde voordat hij kwam voor de laatste leerling was een paar bijpassende verjaardagen gevonden.

Dus hoe gelukkig was het dat hij een bijpassend paar vond?

Opwarmen

Veronderstelling: eenvoudigheidshalve negeren we de mogelijkheid om op 29 februari geboren te worden.

Laten we beginnen met een eenvoudig voorbeeld om onze hersenen op te warmen:

Wat is de kans dat twee mensen dezelfde verjaardag delen?

Persoon A kan op elke dag van het jaar geboren worden, aangezien zij de eerste persoon zijn die we vragen. De kans om op elke dag van het jaar geboren te worden is 1 of meer specifiek: 365/365.

Aangezien persoon B op dezelfde dag geboren moet worden als persoon A, is hun kans 1/365.

We willen dat beide gebeurtenissen zo plaatsvinden vermenigvuldig de kansen:

Dus je hebt een kans van 0,27% om naar een vreemde toe te lopen en te ontdekken dat hun verjaardag dezelfde dag is als die van jou. Dat is vrij klein.

Maar hoe zit het met een grotere groep?

Hoe groot is de kans dat minstens 2 op de 4 mensen dezelfde verjaardag delen?

Goed om dit probleem op te lossen, moeten we al het volgende berekenen:

• Kans A en B delen dezelfde geboortedatum
• Kans A en C delen dezelfde verjaardag
• Kans A en D delen dezelfde verjaardag
• Kans B en C delen dezelfde verjaardag
• Kans B en D delen dezelfde verjaardag
• Kans C en D delen dezelfde verjaardag
• Kans A, B en C delen dezelfde verjaardag
• Kans B, C en D delen dezelfde verjaardag
• Kans A , C en D delen dezelfde verjaardag
• Kans A, B en D delen dezelfde verjaardag
• Kans A, B, C en D delen allemaal dezelfde verjaardag

Bah, dat zijn veel berekeningen! Stel je voor hoeveel kansen we zouden moeten berekenen voor een klas met 30 leerlingen!

Er moet een betere manier zijn …

Een betere manier: de truc van het complement

De eenvoudigste manier om een bajiljoen kansen te berekenen, is door het probleem vanuit een andere hoek te bekijken:

Wat is de kans dat niemand dezelfde verjaardag deelt?

Deze alternatieve oefening is nuttig omdat het het tegenovergestelde is van ons oorspronkelijke probleem (dwz het complement). Waarschijnlijk weten we dat het totaal van alle mogelijke uitkomsten (dwz de steekproefruimte) altijd gelijk is aan 1, of 100% kans.

Aangezien de kans dat minstens 2 mensen dezelfde verjaardag hebben en de kans dat niemand dezelfde verjaardag heeft, omvat alle mogelijke scenario’s, we weten dat de som van hun kansen 1 is.

Of equivalent:

Yay! Dat zal veel gemakkelijker te berekenen zijn.

De berekening

Geweldig! We zijn eindelijk klaar om erachter te komen hoe veilig een weddenschap de professor heeft gemaakt.

Laten we eens kijken naar de kans dat niemand dezelfde verjaardag deelt in een kamer van 30 personen.

Laten we dit stap voor stap doen:

• De eerste leerling kan op elke dag geboren worden, dus we geven hem een kans van 365/365.
• De volgende leerling is nu beperkt tot 364 mogelijke dagen, dus de kans van de tweede leerling is 364/365.
• De derde leerling kan geboren worden op een van de resterende 363 dagen, dus 363/365.

Dit patroon gaat door zodat onze laatste leerling een kans van 336 heeft / 365 (365 – 29 dagen sinds de studenten voor haar 29 potentiële dagen opgebruikten).

Vermenigvuldig opnieuw alle 30 kansen samen:

Wacht even! Dat is een beetje rommelig. Laten we dit opruimen.

Aangezien de noemer dertig365-en vermenigvuldigd is, zouden we deze kunnen herschrijven als:

Laten we faculteiten gebruiken (symbolisch:!) om deze berekening verder op te schonen.

(Onthoud dat faculteiten handig zijn om aflopende positieve gehele getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld 5! is gelijk aan 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120.)

Faculteiten gebruiken, 365! zou gelijk zijn aan het product van alle aflopende gehele getallen van 365 tot 1. We willen alleen het product van de gehele getallen van 365 tot 336, dus delen we de externe getallen door 365 te delen! door 335 !.

Opmerking: als dit verwart, probeer dan een kleinere waarde zoals 5! / 3! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1/3 • 2 • 1. Merk op hoe de 3 • 2 • 1 in zowel de teller als de noemer staan. Ze ‘annuleren’ en maken 5! / 3! = 5 • 4.

Alles bij elkaar opgeteld hebben we nu een uitdrukking die gemakkelijk kan worden ingevoerd op een wetenschappelijke rekenmachine:

Dit komt neer op 0,294 of 29,4% kans dat niemand in de klas dezelfde geboortedatum heeft. We willen natuurlijk het complement, dus trekken we het af van 1 om de kans te vinden dat ten minste 2 mensen in een groep van 30 dezelfde geboortedag delen.

Blijkt dat het een redelijk veilige gok was voor onze professor! Hij had een kans van bijna 71% dat 2 of meer van ons een verjaardag zouden delen.

Een vijftig-vijftig kans

Veel mensen zijn verrast om te ontdekken dat als je deze berekening herhaalt met een groep van 23 mensen heb je nog steeds 50% kans dat er minstens twee mensen op dezelfde dag geboren zijn.

Dat is een relatief kleine groep mensen gezien het feit dat er 365 mogelijke verjaardagen zijn! Dit betekent dat in een groep van meer dan 23 mensen het waarschijnlijk is dat minstens 2 mensen dezelfde geboortedag delen.

Wat een gekke kleine feitje!

❤ BLIJF VERBONDEN ❤

Blijf up-to-date met alles wat Math Hacks van plan is!