Biografie

Archimedes „Vater war Phidias, ein Astronom. Wir wissen nichts anderes über Phidias als diese eine Tatsache und wir wissen dies erst seitdem Archimedes gibt uns diese Informationen in einem seiner Werke, The Sandreckoner. Ein Freund von Archimedes namens Heracleides schrieb eine Biographie von ihm, aber leider geht dieses Werk verloren. Wie unser Wissen über Archimedes sich verändern würde, wenn dieses verlorene Werk jemals gefunden würde oder sogar Auszüge aus dem Schreiben anderer.
Archimedes stammte aus Syrakus, Sizilien. Einige Autoren berichten, dass er Ägypten besuchte und dort ein Gerät erfand, das heute als Archimedes-Schraube bekannt ist. Dies ist eine Pumpe, die immer noch in vielen Teilen der Welt eingesetzt wird. Es ist sehr wahrscheinlich, dass Archimedes als junger Mann bei den Nachfolgern von Euklid in Alexandria studierte. Sicher war er mit der dort entwickelten Mathematik völlig vertraut, aber was diese Vermutung viel sicherer macht, er kannte die dort arbeitenden Mathematiker persönlich und schickte seine Ergebnisse mit persönlichen Nachrichten an Alexandria. Er betrachtete Conon von Samos, einen der Mathematiker in Alexandria, sowohl für seine Fähigkeiten als Mathematiker als auch als engen Freund.
Im Vorwort zu On spirals erzählt Archimedes eine amüsante Geschichte über seine Freunde in Alexandria. Er erzählt uns, dass er die Gewohnheit hatte, ihnen Aussagen seiner neuesten Theoreme zu schicken, ohne jedoch Beweise zu liefern. Anscheinend hatten einige der Mathematiker dort die Ergebnisse als ihre eigenen beansprucht, so dass Archimedes sagte, dass er beim letzten Mal, als er ihnen Theoreme schickte, zwei falsche eingeschlossen hatte: –

… also dass diejenigen, die behaupten, alles zu entdecken, aber keine Beweise dafür vorlegen, als solche vorgetäuscht werden können, die das Unmögliche entdecken.

Anders als in den Vorworten zu seinen Werken, Informationen über Archimedes kommt aus einer Reihe von Quellen zu uns, beispielsweise aus Geschichten von Plutarch, Livius und anderen. Plutarch erzählt uns, dass Archimedes mit König Hieron II von Syrakus verwandt war (siehe zum Beispiel): –

Archimedes … schriftlich an König Hiero, dessen Freund und nahe Verwandter er war. …

Ein weiterer Beweis für zumindest seine Freundschaft mit der Familie von König Hieron II ist die Tatsache, dass The Sandreckoner Gelon, dem Sohn von König Hieron, gewidmet war.
Tatsächlich gibt es in den Schriften der damaligen Zeit eine ganze Reihe von Hinweisen auf Archimedes, denn er hatte zu seiner Zeit einen Ruf erlangt, den nur wenige andere Mathematiker dieser Zeit erlangten. Der Grund dafür war nicht das weit verbreitete Interesse an neuen mathematischen Ideen, sondern dass Archimedes viele Maschinen erfunden hatte, die als Kriegsmotoren eingesetzt wurden. Diese waren besonders wirksam bei der Verteidigung von Syrakus, als es von den Römern unter dem Kommando von Marcellus angegriffen wurde.

Plutarch schreibt in seiner Arbeit über Marcellus, den römischen Befehlshaber, darüber, wie Archimedes ‚Kriegsmotoren gegen die Römer eingesetzt wurden die Belagerung von 212 v. Chr .: –

… als Archimedes anfing, seine Motoren einzusetzen, schoss er sofort gegen die Landstreitkräfte alle Arten von Raketenwaffen und riesige Steinmassen kam mit unglaublichem Lärm und Gewalt herunter, gegen die niemand stehen konnte, denn sie schlugen diejenigen nieder, auf die sie in Haufen fielen, und brachen alle ihre Reihen und Akten. In der Zwischenzeit stießen riesige Stangen aus den Mauern über die Schiffe und versenkten einige durch große Gewichte, die sie von oben auf sie herabließen, andere hoben sie mit einer eisernen Hand oder einem Schnabel wie ein Kranichschnabel in die Luft und, als sie sie am Bug hochgezogen hatten, und setzten sie auf ein Ende die Kacke, sie stürzten sie auf den Grund des Meeres; oder die Schiffe, die von Motoren angezogen und herumgewirbelt wurden, wurden gegen steile Felsen geschleudert, die unter den Mauern hervorstanden, wobei die Soldaten, die sich an Bord befanden, stark zerstört wurden. Ein Schiff wurde häufig bis zu einer großen Höhe in die Luft gehoben (eine schreckliche Sache), und es wurde hin und her gerollt und schwang weiter, bis die Seeleute alle hinausgeworfen wurden, als es schließlich gegen die Felsen geschleudert wurde. oder fallen lassen.

Archimedes war von seinem Freund und Verwandten König Hieron überredet worden, solche Maschinen zu bauen: –

Diese Maschinen hatten und entworfen erfunden, nicht als Angelegenheiten von Bedeutung, sondern als bloße Belustigung in der Geometrie; in Übereinstimmung mit König Hieros Wunsch und Bitte, einige Zeit zuvor, einen Teil seiner bewundernswerten Spekulation in der Wissenschaft zu praktizieren und die theoretische Wahrheit der Empfindung und dem gewöhnlichen Gebrauch anzupassen, bringen Sie sie mehr in die Wertschätzung von die Menschen im Allgemeinen.

Vielleicht ist es traurig, dass Kriegsmotoren von den Menschen dieser Zeit auf eine Weise geschätzt wurden, wie es die theoretische Mathematik nicht war, aber man müsste bemerken, dass die Welt nicht sehr ist anderer Ort am Ende des zweiten Jahrtausends nach Christus. Andere Erfindungen von Archimedes wie die zusammengesetzte Rolle brachten ihm auch großen Ruhm unter seinen Zeitgenossen. Wieder zitieren wir Plutarch: –

hatte erklärt, dass angesichts der Kraft jedes gegebene Gewicht bewegt und sogar gerühmt werden könnte, wenn man sich auf die Stärke der Demonstration stützt war eine andere Erde, indem er hinein ging, konnte er diese entfernen. Hiero war erstaunt darüber und bat ihn, dieses Problem durch tatsächliche Experimente zu lösen und ein großes Gewicht zu zeigen, das von einem kleinen Motor bewegt wurde. Er fixierte dementsprechend ein Lastschiff aus dem Arsenal des Königs, das es nicht konnte ohne große Arbeit und viele Männer aus dem Dock gezogen werden und sie mit vielen Passagieren und einer vollen Fracht beladen, sich in der Ferne ohne große Anstrengung hinsetzen, sondern nur den Kopf der Riemenscheibe in der Hand halten und zeichnen Nach und nach zog er das Schiff in einer geraden Linie, so glatt und gleichmäßig, als wäre sie im Meer gewesen.

Doch Archimedes, obwohl er durch seine mechanischen Erfindungen berühmt wurde glaubte, dass reine Mathematik das einzig würdige Streben war. Wiederum beschreibt Plutarch die Haltung von Archimedes wunderschön, aber wir werden später sehen, dass Archimedes tatsächlich einige sehr praktische Methoden verwendet hat, um Ergebnisse aus reiner Geometrie zu entdecken: –

Archimedes besaß so hohe a Geist, eine so tiefe Seele und solche Schätze wissenschaftlicher Erkenntnisse, dass er, obwohl diese Erfindungen ihm jetzt den Ruf von mehr als menschlicher Scharfsinnigkeit eingebracht hatten, sich dennoch nicht dazu herablassen würde, Kommentare oder Schriften zu solchen Themen zurückzulassen; Aber er lehnte das ganze Handwerk der Technik und jede Art von Kunst, die sich für bloßen Gebrauch und Profit eignet, als schmutzig und unedel ab und legte seine ganze Zuneigung und seinen Ehrgeiz in jene reineren Spekulationen, in denen es keinen Hinweis auf die vulgären Bedürfnisse des Lebens geben kann ;; Studien, deren Überlegenheit gegenüber allen anderen unbestritten ist und bei denen der einzige Zweifel darin bestehen kann, ob die Schönheit und Größe der untersuchten Themen, die Präzision und Kohärenz der Methoden und Beweismittel unsere Bewunderung am meisten verdienen.

Seine Faszination für Geometrie wird von Plutarch wunderbar beschrieben: –

Oft haben ihn Archimedes-Diener gegen seinen Willen in die Bäder gebracht, um sich zu waschen und zu salben er, und doch dort zu sein, würde er jemals aus den geometrischen Figuren herausziehen, selbst in der Glut des Schornsteins. Und während sie ihn mit Ölen und süßem Geschmack salbten, zeichnete er mit seinen Fingern Linien auf seinen nackten Körper Bisher wurde er mit der Freude, die er am Studium der Geometrie hatte, von sich genommen und in Ekstase oder Trance versetzt.

Die Leistungen von Archimedes sind ziemlich herausragend. Er gilt als von den meisten Mathematikhistorikern als einer der größten Mathematiker aller Zeiten . Er perfektionierte eine Integrationsmethode, die es ihm ermöglichte, Bereiche, Volumina und Oberflächen vieler Körper zu finden. Chasles sagte, dass Archimedes „Arbeit an der Integration (siehe): –

… den Kalkül des Unendlichen hervorgebracht hat, das von Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz und Newton.

Archimedes konnte die Erschöpfungsmethode, die die frühe Form der Integration darstellt, anwenden, um eine ganze Reihe wichtiger Ergebnisse zu erhalten, und wir erwähnen einige davon in den Beschreibungen von Archimedes gab auch eine genaue Annäherung an π und zeigte, dass er Quadratwurzeln genau approximieren konnte. Er erfand ein System zum Ausdrücken großer Zahlen. In der Mechanik entdeckte Archimedes grundlegende Theoreme bezüglich des Schwerpunkts ebener Figuren und Körper Der berühmte Satz gibt das Gewicht eines Körpers an, der in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, genannt Archimedes „-Prinzip.

Die Werke von Archimedes, die überlebt haben, sind wie folgt. Auf ebenen Gleichgewichten (zwei Bücher), Quadratur der Parabel, Auf Kugel und Zylinder (zwei Bücher), Auf Spiralen, Auf Konoiden und Sphäroiden, Auf Schwimmkörpern (zwei Bücher), Messung eines Kreises und Der Sandreckoner. Im Sommer 1906 entdeckte JL Heiberg, Professor für klassische Philologie an der Universität Kopenhagen, ein Manuskript aus dem 10. Jahrhundert, das Archimedes ‚Arbeit Die Methode enthielt. Dies bietet einen bemerkenswerten Einblick, wie Archimedes viele seiner Ergebnisse entdeckte, und wir werden dies diskutieren Im Folgenden haben wir weitere Einzelheiten zu den erhaltenen Büchern angegeben.
Die Reihenfolge, in der Archimedes seine Werke schrieb, ist nicht sicher bekannt.Wir haben die von Heath vorgeschlagene chronologische Reihenfolge verwendet, um diese Werke oben aufzulisten, mit Ausnahme der Methode, die Heath unmittelbar vor der Kugel und dem Zylinder platziert hat. Die Arbeit befasst sich mit Argumenten für eine andere chronologische Reihenfolge von Archimedes „Werken.
Die Abhandlung über ebene Gleichgewichte beschreibt die Grundprinzipien der Mechanik unter Verwendung der Methoden der Geometrie. Archimedes entdeckte grundlegende Theoreme bezüglich des Schwerpunkts von ebenen Figuren und Diese werden in dieser Arbeit gegeben. Insbesondere findet er in Buch 1 den Schwerpunkt eines Parallelogramms, eines Dreiecks und eines Trapezes. Buch zwei widmet sich ausschließlich der Ermittlung des Schwerpunkts eines Parabelsegments Die Quadratur der Parabel Archimedes findet die Fläche eines Parabelsegments, das durch einen beliebigen Akkord abgeschnitten ist.
Im ersten Buch von Über Kugel und Zylinder zeigt Archimedes, dass die Oberfläche einer Kugel viermal so groß ist wie die eines Großkreises , er findet die Fläche eines beliebigen Segments einer Kugel, er zeigt, dass das Volumen einer Kugel zwei Drittel des Volumens eines umschriebenen Zylinders beträgt und dass die Oberfläche einer Kugel zwei Drittel der Oberfläche eines umschriebenen Zylinders beträgt luding seine Basen. Eine gute Diskussion darüber, wie Archimedes unter Verwendung von Infinitesimalen zu einigen dieser Ergebnisse geführt haben könnte, findet sich in. Im zweiten Buch dieser Arbeit ist Archimedes „das wichtigste Ergebnis, zu zeigen, wie eine gegebene Kugel durch eine Ebene geschnitten wird, so dass das Volumenverhältnis der beiden Segmente ein vorgeschriebenes Verhältnis hat.
In Auf Spiralen definiert Archimedes eine Spirale Er gibt grundlegende Eigenschaften an, die die Länge des Radiusvektors mit den Winkeln verbinden, um die er sich gedreht hat. Er gibt Ergebnisse zu Tangenten an die Spirale sowie zum Auffinden der Fläche von Teilen der Spirale. In der Arbeit über Konoide und Sphäroide untersucht Archimedes Rotationsparaboloide, Rotationshyperboloide und Sphäroide, die durch Drehen einer Ellipse entweder um ihre Hauptachse oder um ihre Nebenachse erhalten werden. Der Hauptzweck der Arbeit besteht darin, das Volumen der Segmente dieser dreidimensionalen Figuren zu untersuchen. Einige behaupten, dass dies der Fall ist Ein Mangel an Strenge in bestimmten Ergebnissen dieser Arbeit, aber die interessante Diskussion in führt dies auf eine moderne Rekonstruktion zurück.

Auf Schwimmkörpern ist eine Arbeit, in der Archimedes den Ba festlegt Grundsätze der Hydrostatik. Sein berühmtestes Theorem, das das Gewicht eines in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers angibt, das Archimedes-Prinzip, ist in dieser Arbeit enthalten. Er untersuchte auch die Stabilität verschiedener Schwimmkörper unterschiedlicher Formen und unterschiedlicher spezifischer Gewichte. Bei der Messung des Kreises Archimedes zeigt, dass der genaue Wert von π zwischen den Werten 310713 \ large \ frac {10} {71} \ normalsize37110 und 3173 \ large \ frac {1} {7} \ normalsize371 liegt. Dies erhielt er durch Umschreiben und Beschriften eines Kreises mit regulären Polygonen mit 96 Seiten.
Der Sandreckoner ist eine bemerkenswerte Arbeit, in der Archimedes ein Zahlensystem vorschlägt, das Zahlen bis zu 8 × 10638 \ mal 10 ^ {63} 8 × 1063 in moderner Notation ausdrücken kann. Er argumentiert darin Arbeit, dass diese Zahl groß genug ist, um die Anzahl der Sandkörner zu zählen, die in das Universum eingepasst werden könnten. Es gibt auch wichtige historische Bemerkungen in dieser Arbeit, denn Archimedes muss die Dimensionen des Universums angeben, um die Anzahl zählen zu können von Sandkörnern whi ch könnte es enthalten. Er gibt an, dass Aristarchus ein System vorgeschlagen hat, bei dem die Sonne im Zentrum steht und die Planeten, einschließlich der Erde, sich darum drehen. Indem er Ergebnisse zu den Dimensionen zitiert, gibt er Ergebnisse an, die Eudoxus, Phidias (seinem Vater) und Aristarchus zu verdanken sind. Es gibt andere Quellen, die Archimedes „Arbeit an Entfernungen zu den Himmelskörpern“ erwähnen. Zum Beispiel in Osborne rekonstruiert und diskutiert: –

… eine Theorie der Entfernungen der zugeschriebenen Himmelskörper für Archimedes, aber der korrupte Zustand der Ziffern im einzigen erhaltenen Manuskript bedeutet, dass das Material schwer zu handhaben ist.

In der Methode beschrieb Archimedes die Art und Weise, wie er viele entdeckte seine geometrischen Ergebnisse (siehe): –

… bestimmte Dinge wurden mir zuerst durch eine mechanische Methode klar, obwohl sie später durch Geometrie bewiesen werden mussten, weil ihre Untersuchung durch die besagten Die Methode lieferte keinen tatsächlichen Beweis. Aber es ist natürlich einfacher, wenn wir zuvor durch die Methode einige Kenntnisse über die Fragen erworben haben, den Beweis zu liefern, als ihn ohne Vorkenntnisse zu finden.

Vielleicht ist die Brillanz der geometrischen Ergebnisse von Archimedes “ st zusammengefasst von Plutarch, der schreibt: –

Es ist nicht möglich, in jeder Geometrie schwierigere und kompliziertere Fragen oder einfachere und klarere Erklärungen zu finden. Einige schreiben dies seinem natürlichen Genie zu; während andere denken, dass unglaubliche Anstrengung und Mühe diese scheinbar einfachen und arbeitslosen Ergebnisse hervorgebracht haben.Keine Untersuchung von Ihnen würde es schaffen, den Beweis zu erhalten, und dennoch glauben Sie, sobald Sie ihn gesehen haben, sofort, dass Sie ihn entdeckt hätten; Durch einen so reibungslosen und schnellen Weg führt er Sie zu der erforderlichen Schlussfolgerung.

Heath fügt seine Meinung zur Qualität der Arbeit von Archimedes hinzu: –

Die Abhandlungen sind ausnahmslos Denkmäler der mathematischen Darstellung, die schrittweise Enthüllung des Angriffsplans, die meisterhafte Anordnung der Sätze, die strenge Beseitigung von allem, was für den Zweck nicht unmittelbar relevant ist, das Ende des Ganzen In ihrer Perfektion so beeindruckend, dass sie beim Leser ein Gefühl der Ehrfurcht hervorrufen.

Es gibt Hinweise auf andere Werke von Archimedes, die jetzt verloren gehen. Pappus bezieht sich auf ein Werk von Archimedes über semi-reguläre Polyeder, Archimedes selbst bezieht sich auf eine Arbeit über das Zahlensystem, das er im Sandreckoner vorgeschlagen hat, Pappus erwähnt eine Abhandlung über Waagen und Hebel, und Theon erwähnt eine Abhandlung von Archimedes über Spiegel. Beweise für weitere verlorene Werke sind diskutiert in, aber die Beweise sind nicht vollständig überzeugend.
Archimedes wurde 212 v. Chr. während der Eroberung von Syrakus durch die Römer im Zweiten Punischen Krieg getötet, nachdem alle seine Bemühungen, die Römer mit seinen Kriegsmaschinen in Schach zu halten, gescheitert waren. Plutarch erzählt drei Versionen der Geschichte seines Mordes, die auf ihn zurückzuführen war. Die erste Version: –

Archimedes … war …, wie es das Schicksal wollte, darauf bedacht, ein Problem anhand eines Diagramms zu lösen und seinen Geist gleichermaßen und seinen zu fixieren Als er das Thema seiner Spekulationen ansah, bemerkte er weder den Einfall der Römer noch die Einnahme der Stadt. In diesem Transport des Studiums und der Kontemplation befahl ihm ein Soldat, der unerwartet auf ihn zukam, Marcellus zu folgen; Was er ablehnte, bevor er sein Problem zu einer Demonstration herausgearbeitet hatte, zog der Soldat wütend sein Schwert und führte ihn durch.

Die zweite Version: –

… ein römischer Soldat, der mit einem gezogenen Schwert auf ihn rannte, bot an, ihn zu töten; und dass Archimedes im Rückblick ernsthaft darum bat, seine Hand ein wenig zu halten, damit er nicht das, was er damals bei der Arbeit war, unschlüssig und unvollkommen ließ; aber der Soldat, nichts bewegt von seiner Bitte, tötete ihn sofort.

Schließlich die dritte Version, die Plutarch gehört hatte: –

. .. als Archimedes zu Marcellus mathematische Instrumente, Zifferblätter, Kugeln und Winkel trug, mit denen die Größe der Sonne bis zum Anblick gemessen werden konnte, töteten ihn einige Soldaten, die ihn sahen und dachten, dass er Gold in einem Gefäß trug.

Archimedes betrachtete seine bedeutendsten Errungenschaften als die eines Zylinders, der eine Kugel umschreibt, und bat um eine Darstellung davon zusammen mit seinem Ergebnis über das Verhältnis der beiden, das eingeschrieben werden sollte sein Grab. Cicero war 75 v. Chr. In Sizilien und schreibt, wie er nach dem Grab von Archimedes suchte (siehe zum Beispiel): –

… und fand es ringsum eingeschlossen und mit Brombeeren und Dickichten bedeckt ;; denn ich erinnerte mich an bestimmte Doggerel-Linien, die, wie ich gehört hatte, in sein Grab eingeschrieben waren und besagten, dass eine Kugel zusammen mit einem Zylinder auf sein Grab gelegt worden war. Nachdem ich mich umgesehen hatte, bemerkte ich eine kleine Säule, die etwas über den Büschen auftauchte und auf der sich eine Kugel und ein Zylinder befanden. Sklaven wurden mit Sicheln eingeschickt … und als ein Durchgang zu dem Ort geöffnet wurde, näherten wir uns dem Sockel vor uns; Das Epigramm war mit etwa der Hälfte der lesbaren Linien nachvollziehbar, da der letzte Teil abgenutzt war.

Es ist vielleicht überraschend, dass die mathematischen Werke von Archimedes unmittelbar nach seinem Tod relativ wenig bekannt waren . Wie Clagett schreibt in: –

Im Gegensatz zu den Elementen von Euklid waren die Werke von Archimedes in der Antike nicht allgemein bekannt. … Es ist wahr, dass … einzelne Werke von Archimedes offensichtlich in Alexandria studiert wurden, da Archimedes oft von drei bedeutenden Mathematikern Alexandrias zitiert wurde: Heron, Pappus und Theon.

Erst nachdem Eutocius im 6. Jahrhundert n. Chr. Ausgaben einiger Werke von Archimedes mit Kommentaren herausgebracht hatte, wurden die bemerkenswerten Abhandlungen bekannter. Abschließend ist anzumerken, dass der Test, mit dem heute festgestellt wird, wie nahe die verschiedenen Versionen seiner Abhandlungen von Archimedes am Originaltext sind, darin besteht, festzustellen, ob sie den dorischen Dialekt von Archimedes beibehalten haben.